高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.3.1数列的通项与求和(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.3.1数列的通项与求和(题型战法)(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了利用与的关系，累加法与累乘法，构造法等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 数列的通项
1.利用与的关系
依据求出.
2.累加法与累乘法
（1）累加法：形如的解析式
（2）累乘法：形如的解析式
3.构造法
（1）形如的解析式
设,求出,则是公比为的等比数列
（2）形如型
可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求..我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以, 重新构造数列，来求.
（3）形如的解析式
可化为的形式来求通项.
二 数列的求和
1.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。
如： ； 等。
2.裂项相消法
裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：
(1)，，
(2)
(3)
(4)
(5)
3.错位相减法
这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ，
其中和 一个是等差数列，一个是等比数列.
题型战法
题型战法一 利用Sn与an的关系求通项
典例1．已知数列的前项和，求数列的通项公式；
变式1-1．已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
变式1-2．已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式求数列的通项公式
变式1-3．已知正项数列的前n项和为，且和满足：.求的通项公式；
变式1-4．已知正项数列满足．求数列的通项公式；
题型战法二 累加法与累乘法
典例2．已知数列中，，且时，，求.
变式2-1．已知数列中，，当时，.求数列的通项公式；
变式2-2．已知数列中，a1＝2，且满足an+1＝an＋2n＋n，求数列的通项公式.
变式2-3．已知数列，a1＝1，(n＋1) an+1＝nan，求数列的通项公式.
变式2-4．已知数列满足，，求数列的通项公式.
题型战法三 构造法
典例3．已知数列中，，．求数列的通项公式；
变式3-1．已知数列满足，求出数列的通项公式；
变式3-2．已知数列满足，且，求的通项公式．
变式3-3．已知数列中，，求数列的通项公式；
变式3-4．在数列中，已知，求数列的通项公式．
题型战法四 分组求和
典例4．已知数列前n项和=.为等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
变式4-1．已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
变式4-2．已知正项数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
变式4-3．已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
变式4-4．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.
题型战法五 裂项相消
典例5．已知等差数列满足：，，的前项和为．
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和．
变式5-1．已知数列满足，（）.
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
变式5-2．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
变式5-3．在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知是等差数列的前n项和，，___________.
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式5-4．已知数列是递增的等差数列，，若成等比
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求.
题型战法六 错位相减
典例6．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
变式6-1．已知等比数列的前项和为，，是与18的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
变式6-2．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
变式6-3．设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
变式6-4．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
题型战法七 并项求和、倒序相加
典例7．在等差数列中，是数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
变式7-1．已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
变式7-2．已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
变式7-3．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
变式7-4．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求.
第六章 数列
6.3.1 数列的通项与求和（题型战法）
知识梳理
一 数列的通项
1.利用与的关系
依据求出.
2.累加法与累乘法
（1）累加法：形如的解析式
（2）累乘法：形如的解析式
3.构造法
（1）形如的解析式
设,求出,则是公比为的等比数列
（2）形如型
可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求..我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以, 重新构造数列，来求.
（3）形如的解析式
可化为的形式来求通项.
二 数列的求和
1.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。
如： ； 等。
2.裂项相消法
裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：
(1)，，
(2)
(3)
(4)
(5)
3.错位相减法
这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ，
其中和 一个是等差数列，一个是等比数列.
题型战法
题型战法一 利用Sn与an的关系求通项
典例1．已知数列的前项和，求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用时,可求得通项公式;
【详解】解：当时，；当时，；
所以：；
【点睛】本题考查了由与的递推关系式求通项公式,数列前项和的最小值,易错点警示: 的适用条件是,求出后要检验是否成立,如果不成立,要写成分段的形式,属于基础题.
变式1-1．已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】根据 的关系作差即可求解是公比为的等比数列，即可求解.
【详解】，
两式相减得到.
当时，可得，
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为.
变式1-2．已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式求数列的通项公式
【答案】
【分析】由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列；
解：因为，所以当时，，可得；
当时，由可得，
所以，所以.
即是首项为，公比为的等比数列，所以，.
变式1-3．已知正项数列的前n项和为，且和满足：.求的通项公式；
【答案】
【分析】当时，，时，利用,求得通项公式为；
当时，有，得，
由，有，①
∴，②
①－②得.
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
变式1-4．已知正项数列满足．求数列的通项公式；
【答案】
【分析】根据，即可得到（），两式作差即可得解；
解：因为，①当时，．②①②得，所以．当时，，也满足上式，所以．
题型战法二 累加法与累乘法
典例2．已知数列中，，且时，，求.
【答案】
【解析】由可得，相加即可.
【详解】当时，∵
∴
∴，
∴，
又符合上式，
∴.
【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，是基础题.
变式2-1．已知数列中，，当时，.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用累加法计算可得；
解：因为，当时，，
所以，，，，
，；
变式2-2．已知数列中，a1＝2，且满足an+1＝an＋2n＋n，求数列的通项公式.
【答案】.
【分析】把已知条件an＋1＝an＋2n＋n变形为an＋1－an＝2n＋n，然后利用累加法即可求出数列的通项公式.
【详解】由条件知an＋1－an＝2n＋n，
所以a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋2，a4－a3＝23＋3，…，an－an－1＝，
把以上个式子相加，得
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋()，
∴an－a1＝(21＋22＋…＋)＋(1＋2＋…＋n－1)
，
∵a1＝2，∴.
变式2-3．已知数列，a1＝1，(n＋1) an+1＝nan，求数列的通项公式.
【答案】an＝
【分析】由题得＝，再利用累乘法求解.
【详解】∵(n＋1)an＋1＝nan，∴＝.
∴＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得.∵an＝ (n≥2)，
又a1＝1满足上式，∴an＝(n∈N*)．
变式2-4．已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】将题中条件变形为，再利用累乘法求出数列的通项公式.
【详解】由，得，
所以当时，，
因为，
所以，
又因为时，满足上式，
所以
题型战法三 构造法
典例3．已知数列中，，．求数列的通项公式；
【答案】
【分析】首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
【详解】解：因为，
所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以；
【点睛】
变式3-1．已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【分析】根据题意，构造为等比数列，进而根据等比数列通项公式求解即可.
【详解】解：由，可得，
又，所以，
即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，∴
所以．
即数列的通项公式为．
变式3-2．已知数列满足，且，求的通项公式．
【答案】
【分析】符合类型的标准形式，故构造为等比数列即可求解.
【详解】解：由可得：，
因为，所以，
所以是以1为首项3为公比的等比数列，
所以，
所以．
变式3-3．已知数列中，，求数列的通项公式；
【答案】．
【分析】由已知可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得数列的通项公式；
【详解】解：由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
变式3-4．在数列中，已知，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】利用构造等比数列的方法求得.
【详解】依题意，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
题型战法四 分组求和
典例4．已知数列前n项和=.为等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系求出，利用等比数列的基本量法求得通项公式；
（2）由分组求和法求得．
（1）
时，，
时，，
所以，
设的公比是，则，，所以，
所以；
（2）
由（1），
所以．
变式4-1．已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．
（1）由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为
（2）由（1）知，令则所以．．综上．
变式4-2．已知正项数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解结合可知为等差数列，然后可得；
（2）由分组求和法可得.
(1)
因为
所以
又因为为正项数列，所以，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
(2)
由（1）知
所以
变式4-3．已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可得，求得公差d之后可得到通项公式；
（2）由（1）知的通项公式，采用分组求和可求得前项和.
(1)
设等差数列的公差为，∵，
所以，
可得，
两式相减可得：，所以
所以
可得：；
(2)
由（1）知：，所以，
变式4-4．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；
（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.
(1)
解：由题可知，①，
所以，②，
①②得，所以（*），
又因为，所以，符合（*）式，
所以；
(2)
由（1）知，，
所以
.
题型战法五 裂项相消
典例5．已知等差数列满足：，，的前项和为．
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项的知识，由，可得，即，由，可求得该数列公差，可得答案；
（2）由（1）所得，根据裂项，可得，再求和，可得答案.
（1）
由，则，即，
因此，数列的公差，
即，且.
（2）
由，则，
即.
变式5-1．已知数列满足，（）.
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系式求得，利用配凑法求得.
（2）利用裂项求和法求得.
（1），，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2），，所以.
变式5-2．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意求出的值，再利用等差数列的通项公式可求得；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
（1）解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，因为，解得，因此，.
（2）解：由（1）可得，所以，.
变式5-3．在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知是等差数列的前n项和，，___________.
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用基本量法求得公差d，进而求得；
（2）由（1）得，利用裂项相消求和法即可求得.
(1)
解：选条件①：设等差数列的公差为d，
则由得，将代入，解得或，
因为，所以，
所以；
选条件②：设等差数列的公差为d，则，
由数列的前3项和为6及得，解得，
所以；
选条件③：设等差数列的公差为d，
则由，，成等比数列得，
将代入得，解得或，
因为，所以，
所以；
(2)
解：由（1）得，
所以.
变式5-4．已知数列是递增的等差数列，，若成等比
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算以及等比中项即可求解.
（2）根据裂项求和即可求解.
（1）
由是递增的等差数列，
又
又成等比数列，
，又
（2）
由（1），
题型战法六 错位相减
典例6．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由等差数列的基本量法求得后可得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
（1）
设的公差为d，则：，
解得：，所以的通项公式为，；
（2）
由（1）知，得：，
所以①，
②，
由①－②得： ，
所以．
变式6-1．已知等比数列的前项和为，，是与18的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件列方程计算可得的值，进而可求通项，（2）根据错位相减求和.
(1)
由解得
所以的公比
故
(2)
由（1）可知，，设数列的前项和为
则，
两式相减得
故.
变式6-2．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以
（2），则①，②，两式相减得：，所以
变式6-3．设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据以及，即可求解数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.
(1)
，①
当时，，②
①-②得，∴，∴，
∵，∴，∴也满足上式，
∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴.
即的通项公式为.
(2)
由（1）知，所以，
令，①
得，②
①-②得，
所以.
变式6-4．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式；
（2）由（1）可得，应用错位相减法求.
(1)
当时，，解得.
当时，，整理得，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故.
(2)
由（1）知，，则①，
所以②，
①-②得：，
故.
题型战法七 并项求和、倒序相加
典例7．在等差数列中，是数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组，求解首项，公差d即可；
（2）由（1）可得，分别求解n为偶数时和n为奇数时的前n项和即可.
（1）解：设数列的首项为，公差为d，因为，，则，解得，故．
（2）解：由（1）得．当n为偶数时，；当n为奇数时，．所以．
变式7-1．已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；
（1）解：当时，，解得，由题知①，②，由②①得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；
（2）解：由（1）可得，.
变式7-2．已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得出数列的递推关系式，再求得，确定数列是等比数列，从而得通项公式；
（2）求出，然后根据的奇偶分类讨论求和．
(1)
当时，，即
当时，，即
所以得
即以为首相，公比为2的等比数列
所以数列的通项公式为
(2)
①当为偶数时，
②当为奇数时，
综上：
变式7-3．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点均在函数的图象上，
∴．
当时，；
当时，，适合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，
∴．
变式7-4．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用与之间的关系即可求得；根据的函数性质，利用倒序相加法即可容易求得；
（2）由（1）中所求，即可求得，利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）因为即
当时，，
当时，，
，即
是等比数列，首项为，公比为，
；
因为，.
故….
….
①+②，得，
（2）因为，
…. ①
… ②
①－②得…
则，
故.
【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法和倒序相加法求数列的前项和，涉及等比数列前项和的计算，属综合中档题.
感悟升华（核心秘籍：注意判断已知条件是否符合标准形式）
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造等差数列（1）
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2（1）的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造等差数列（2）
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2（2）的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列