2024年广东省广州市中考数学试卷（含答案）

这是一份2024年广东省广州市中考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.四个数−10，−1，0，10中，最小的数是( )
A. −10B. −1C. 0D. 10
2.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )
A. B. C. D.
3.若a≠0，则下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3⋅a2=a5C. 2a⋅3a=5aD. a3÷a2=1
4.若aA. a+3>b+3B. a−2>b−2C. −a<−bD. 2a<2b
5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0A. a的值为20
B. 用地面积在8C. 用地面积在4D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( )
A. 1.2x+1100=35060B. 1.2x−1100=35060
C. 1.2(x+1100)=35060D. x−1100=35060×1.2
7.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )
A. 18
B. 9 2
C. 9
D. 6 2
8.函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当( )时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A. x<−1
B. −1C. 0D. x>1
9.如图，⊙O中，弦AB的长为4 3，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O上
B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O外
D. 无法确定
10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是( )
A. 3 118π
B. 118π
C. 2 6π
D. 2 63π
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，直线l分别与直线a，b相交，a/​/b，若∠1=71°，则∠2的度数为______．
12.如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3，当R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2时，U的值为______．
13.如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE= ______．
14.若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ______．
15.定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0.例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1.若x⊗1=−34，则x的值为______．
16.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kx(x>0)的图象上，A(1,0)，C(0,2).将线段AB沿x轴正方向平移得线段A′B′(点A平移后的对应点为A′)，A′B′交函数y=kx(x>0)的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③AE的最小值是 2；
④∠B′BD=∠BB′O
其中正确的结论有______.(填写所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：12x−5=3x．
18.(本小题4分)
如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2.求证：△ABE∽△ECF．
19.(本小题6分)
如图，Rt△ABC中，∠B=90°．
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD.求证：四边形ABCD是矩形．
20.(本小题6分)
关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1．
21.(本小题8分)
善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位：分)：
(1)求A组同学得分的中位数和众数；
(2)现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
22.(本小题10分)
2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．
参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
23.(本小题10分)
一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；
(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y=kx(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
24.(本小题12分)
如图，在菱形ABCD中，∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B，点C重合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若AB=6+6 3，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r．
①求r的取值范围；
②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
已知抛物线G：y=ax2−6ax−a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2)，直线l：y=m2x+n过点C(3,1)，交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1=C2+2．
(1)求抛物线G的对称轴；
(2)求m的值；
(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l′，当l′//AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点．
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a>0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.A
7.C
8.D
9.C
10.D
11.109°
12.220
13.5
14.11
15.−12或74
16.①②③
17.解：原方程去分母得：x=6x−15，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x(2x−5)≠0，
故原方程的解为x=3．
18.证明：∵BE=3，EC=6，CF=2，
∴BC=3+6=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°，
∵ABCE=96=32，BECF=32，
∴ABCE=BECF，
∴△ABE∽△ECF．
19.(1)解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；
(2)证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
20.解：(1)根据题意得Δ=(−2)2−4(4−m)>0，
解得m>3；
(2)∵m>3，
∴m−3>0，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=(1+m)(1−m)m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2．
21.解：(1)将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为(84+86)÷2=85(分)．
由表格可知，A组同学得分的众数为82分．
(2)将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
∴这2名同学恰好来自同一组的概率为412=13．
22.解：(1)如图：

由题意得：AC⊥CD，BE/​/CD，
∴∠EBD=∠BDC=36.87°，
在Rt△BCD中，BD=10米，
∴CD=BD⋅cs36.87°≈10×0.80=8(米)，
∴CD的长约为8米；
(2)在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°，
∴BC=BD⋅sin36.87°≈10×0.6=6(米)，
在Rt△ACD中，AD=17米，CD=8米，
∴AC= AD2−CD2= 172−82=15(米)，
∴AB=AC−BC=15−6=9(米)，
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5(秒)，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒．
23.解：(1)描点如图示：

(2)∵y=kx(k≠0)转化为k=xy=23×156≠24×163≠25×170≠⋅⋅⋅，
∴y与x的函数不可能是y=kx，
故选一次函数y=ax+b(a≠0)，将点(23,156)、(24,163)代入解析式得：
23a+b=15624a+b=163，解得a=7b=−5，
∴一次函数解析式为y=7x−5．
(3)当x=25.8时，y=7×25.8−5=175.6(cm)．
答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．
24.解：(1)AF=AD，AF⊥AD，理由如下，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAD=∠C=120°，
∵△ABE和△AFE关于AE轴对称，
∴AB=AF，
∴AF=AD，
∵∠BAF=30°，
∴∠DAF=∠BAD−∠BAF=90°，
∴AF⊥AD，
综上，AF=AD，AF⊥AD．
(2)①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H．
∵∠AFE=∠ABE=60°，
∴∠AOE=120°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OA=AGcs30∘=2 33AG，
∵r=OA=2 33AG=2 33⋅12AE= 33AE，
在Rt△ABH中，AH=AB⋅sin60°=9+3 3，
∵AE≥AH，且点E不与B、C重合，
∴AE≥9+3 3，且AE≠6+6 3，
∴r≥3 3+3，且r≠2 3+6．

(3)能相切，此时BE=12，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，
设∠AFD=α，则∠AEF=∠AEB=α(弦切角)，
∴∠CEF=180°−∠AEB−∠AEF=180°−2α，
∵AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD=α，
∴∠DAF=180°−2α，
∵∠CEF=∠CAF，
∴∠CAF=180°−2α=∠DAF，
∵∠CAD=12∠BAD=60°，
∴∠CAF=180°−2α=∠DAF=30°，
∴α=75°，即∠AEB=75°，
作EH⊥AB于点H，
∵∠B=60°，
∴∠BEH=30°，
∴∠AEH=∠EAH=45°，
设BH=m，则EH=AH= 3m，BE=2m，
∵AB=6+6 3，
∴m+ 3m=6+6 3，
∴m=6，
∴BE=12．

25.解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=−b2a=−−6a2a=3；
(2)直线l：y=m2x+n过点C(3,1)，则该直线的表达式为：y=m2(x−3)+1，
当y=2时，2=m2(x−3)+1，
则xD=1m2+3，
∵C1=C2+2，即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2，
其中，AC=BC，上式变为：AD=BD+2，
即2xD=xA+xB+2，
而函数的对称轴为直线x=3，由函数的对称性知，xA+xB=2×3=6，
即2xD=xA+xB+2=8，
则xD=4=1m2+3，
解得：m=±1；
(3)①当m=±1时，一次函数的表达式为：y=m2(x−3)+1=x−2，
该直线和x轴的夹角为45°，
则t=45÷3=14(秒)；
②由①知，l为：y=1，如下图：

则S=12×EF×(yA−yE)=12EF，
联立直线l和抛物线的表达式得：ax2−6ax−a3+2a2+1=1，
即x2−6x−a2+2a=0，
设点E、F的横坐标为m，n，
则m+m=6，nm=−a2+2a，
则EF2=(m−n)2=(m+n)2−4mn=4(a2−2a+9)，
则S=12EF= a2−2a+9= (a−1)2+8≥2 2，
当a=1时，等号成立，
即k的最大值为：2 2，a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−6x+2． A组
75
78
82
82
84
86
87
88
93
95
B组
75
77
80
83
85
86
88
88
92
96
脚长x(cm)
…
23
24
25
26
27
28
…
身高y(cm)
…
156
163
170
177
184
191
…