57-2024年广东省广州市中考数学试卷

这是一份57-2024年广东省广州市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．0D．10
2．（3分）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．a3•a2＝a5C．•＝D．a3÷a2＝1
4．（3分）若a＜b，则（ ）
A．a+3＞b+3B．a﹣2＞b﹣2C．﹣a＜﹣bD．2a＜2b
5．（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．a的值为20
B．用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多
C．用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
6．（3分）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（ ）
A．1.2x+1100＝35060B．1.2x﹣1100＝35060
C．1.2（x+1100）＝35060D．x﹣1100＝35060×1.2
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．9C．9D．6
8．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．x＞1
9．（3分）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
10．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（ ）
A．πB．πC．2πD．π
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为 .
12．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 ．
13．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝ ．
15．（3分）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③AE的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：＝．
18．（4分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
19．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
20．（6分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：÷•．
21．（8分）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
（1）求A组同学得分的中位数和众数；
（2）现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．
参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
23．（10分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
24．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．（1）当∠BAF＝30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6+6，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r．
①求r的取值范围；
②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．
25．（12分）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2．
（1）求抛物线G的对称轴；
（2）求m的值；
（3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点．
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
2024年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．0D．10
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，
∴最小的数是：﹣10．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
2．（3分）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【解答】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键．
3．（3分）若a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．a3•a2＝a5C．•＝D．a3÷a2＝1
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：+＝＝，则A不符合题意；
a3•a2＝a5，则B符合题意；
•＝，则C不符合题意；
a3÷a2＝a，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）若a＜b，则（ ）
A．a+3＞b+3B．a﹣2＞b﹣2C．﹣a＜﹣bD．2a＜2b
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＜b，两边同时加上3得a+3＜b+3，则A不符合题意；
若a＜b，两边同时减去2得a﹣2＜b﹣2，则B不符合题意；
若a＜b，两边同时乘﹣1得﹣a＞﹣b，则C不符合题意；
若a＜b，两边同时乘2得2a＜2b，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．a的值为20
B．用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多
C．用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多，用地面积在0＜x≤4这一组的公园个数最少，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷．
【解答】解：由题意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故选项A不符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多，故选项B符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在0＜x≤4这一组的公园个数最少，故选项C不符合题意；
由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，没有达到一半，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，解决问题的关键是在频数分布直方图中获取数据进行计算．
6．（3分）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（ ）
A．1.2x+1100＝35060B．1.2x﹣1100＝35060
C．1.2（x+1100）＝35060D．x﹣1100＝35060×1.2
【分析】等量关系：今年5月交付新车的数量＝1.2×去年5月交付的新车数量+1100．
【解答】解：根据题意，得1.2x+1100＝35060．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．9C．9D．6
【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴四边形AEDF的面积＝S△ADC＝S△ABC＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．x＞1
【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可．
【解答】解：根据二次函数图象当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
9．（3分）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【分析】先根据垂径定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：设AB与OC交于点D，
∵弦AB的长为4，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴OA＝2OD，
设OD＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2，
解得x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．
10．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（ ）
A．πB．πC．2πD．π
【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为＝2π，
故圆锥的底面圆的半径为＝1，
所以圆锥的高为：＝，
该圆锥的体积是：＝π．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为 109° .
【分析】由邻补角的性质得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°．
【解答】解：∵∠1＝71°，
∴∠3＝180°﹣71°＝109°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝109°．
故答案为：109°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°．
12．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 220 ．
【分析】根据题干条件代值即可．
【解答】解：由题意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．
故答案为：220．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键．
13．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 5 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC＝2，则∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，则AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，
故答案为：5．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、“等角对等边”等知识，推导出∠EAB＝∠EBA是解题的关键．
14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝ 11 ．
【分析】由已知条件可得a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，
∴a2﹣2a＝5，
∴原式＝2（a2﹣2a）+1
＝2×5+1
＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
15．（3分）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 ﹣或 ．
【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x⊗1＝﹣，
∴当x≤0时，x2﹣1＝﹣，
解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）；
当x＞0时，﹣x+1＝﹣，
解得x＝；
由上可得，x的值为﹣或，
故答案为：﹣或．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
16．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③AE的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点B、点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；
③随着线段AB向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以AE的最小值逐渐趋向于OA的长度，故③错误；
④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：＝．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（2x﹣5）≠0，
故原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18．（4分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
【分析】先根据BE＝3，EC＝6得出BC的长，进而可得出AB的长，由相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3+6＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∴△ABE∽△ECF．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
19．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于O，连接BO，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；
（2）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
20．（6分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：÷•．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根据m的取值范围化简即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，
解得m＞3；
（2）∵m＞3，
∴m﹣3＞0，
∴÷•
＝••
＝﹣2．
【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
21．（8分）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
（1）求A组同学得分的中位数和众数；
（2）现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这2名同学恰好来自同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为（84+86）÷2＝85（分）．
由表格可知，A组同学得分的众数为82分．
（2）将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
∴这2名同学恰好来自同一组的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．
参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
【分析】（1）根据题意可得：AC⊥CD，BE∥CD，从而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，即可解答；
（2）在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，从而利用线段的和差关系求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，
在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD•cs36.87°≈10×0.80＝8（米），
∴CD的长约为8米；
（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD•sin36.87°≈10×0.6＝6（米），
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
∴AC＝＝＝15（米），
∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间＝9÷2＝4.5（秒），
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（10分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
（1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）；
（2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可；
（2）先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）将x＝25.8代入一次函数解析式求出y值即可．
【解答】解：（1）描点如图示：
（2）∵y＝（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••，
∴y与x的函数不可能是y＝，
故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得：
，解得，
∴一次函数解析式为y＝7x﹣5．
（3）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．
答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
24．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．（1）当∠BAF＝30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6+6，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r．
①求r的取值范围；
②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质和菱形的性质易得AB＝AF＝AD再根据角度求出∠DAF＝90°即可得证；
（2）画出示意图，找到半径r和AE的关系，在求出AE的范围即可求解；
（3）画出示意图，利用弦切角定理和圆周角定理以及等腰三角形的性质可求得∠AEF＝∠AEB＝75°，再在解三角形ABE即可求解．
【解答】解：（1）AF＝AD，AF⊥AD，理由如下，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，
∵△ABE和△AFE关于AE轴对称，
∴AB＝AF，
∴AF＝AD，
∵∠BAF＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴AF⊥AD，
综上，AF＝AD，AF⊥AD．
（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H．
∵∠AFE＝∠ABE＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴OA＝＝AG，
∵r＝OA＝AG＝•AE＝AE，
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin60°＝9+3，
∵AE≥AH，且点E不与B、C重合，
∴AE≥9+3，且AE≠6+6，
∴r≥3+3，且r≠2+6．
（3）能相切，此时BE＝12，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，
设∠AFD＝α，则∠AEF＝∠AEB＝α（弦切角），
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝α，
∴∠DAF＝180°﹣2α，
∵∠CEF＝∠CAF，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF，
∵∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF＝30°，
∴α＝75°，即∠AEB＝75°，
作EH⊥AB于点H，
∵∠B＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴∠AEH＝∠EAH＝45°，
设BH＝m，则EH＝AH＝m，BE＝2m，
∵AB＝6+6，
∴m+m＝6+6，
∴m＝6，
∴BE＝12．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识和画出示意图是解题关键．
25．（12分）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2．
（1）求抛物线G的对称轴；
（2）求m的值；
（3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点．
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
【分析】（1）由抛物线对称轴公式即可求解；
（2）由C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，得到2xD＝xA+xB+2，即可求解；
（3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解；
②由S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF，而EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3；
（2）直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），则该直线的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1，
当y＝2时，2＝m2（x﹣3）+1，
则xD＝+3，
∵C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，
其中，AC＝BC，上式变为：AD＝BD+2，
即2xD＝xA+xB+2，
而函数的对称轴为直线x＝3，由函数的对称性知，xA+xB＝2×3＝6，
即2xD＝xA+xB+2＝8，
则xD＝4＝+3，
解得：m＝±1；
（3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，
该直线和x轴的夹角为45°，
则t＝45÷3＝15（秒）；
②由①知，l为：y＝1，如下图：
则S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF，
联立直线l和抛物线的表达式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1，
即x2﹣6x﹣a2+2a＝0，
设点E、F的横坐标为m，n，
则m+n＝6，nm＝﹣a2+2a，
则EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），
则S＝EF＝＝≥2，
当a＝1时，等号成立，
即k的最大值为：2，a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+2．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/6 20:40:26；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433A组
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A组
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95
B组
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脚长x（cm）
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身高y（cm）
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