2023-2024学年重庆市外国语学校高一上学期12月月考数学试题含答案

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（满分150分，120分钟完成）
命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对集合化简，然后求出即可.
【详解】因为，解得，
因为，解得，
所以，，
所以,
故选：D.
2. 下列四个数中最大是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质可得，则，结合作差法可得答案.
【详解】因为
所以，
，
所以四个数中最大的是，
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题.
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
4. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数奇偶性可排除B；由可排除选项A、D.
【详解】设，定义域为，，所以为奇函数，
故排除选项B；又，排除选项A；，排除选项D.
故选：C
【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.
5. 设函数（，且）的图象过点，其反函数的图象过点，则等于（ ）
A. 6B. 5
C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合反函数的性质，得出方程组，即可求解．
【详解】由题意，函数的图象过点，其反函数的图象过点，
可得，即，解得，则．
故选C．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的应用，其中解答中熟记反函数的性质，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 10分钟B. 14分钟
C. 15分钟D. 20分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由时，，代入求得，再由求解.
【详解】解：由题意得：当时，，
即，解得，
所以，
由题意得，
即，两边取对数得，
所以，
所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，
故选：B
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
8. 已知实数，，，，则的整数部分是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得到，令，由对勾函数性质可知，，所以求得整数部分为．
【详解】，
因为，则，
令在上单调递减，在上单调递增
（当且仅当时取等号）
当或时，
所以，
所以整数部分为2，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应位置．
9. 若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，即可得出结论.
【详解】根据幂函数定义可知，
对于A，若，则，易知其定义域为，
令，则，则其为偶函数，不符合题意；
对于B，当时，，定义域为，且为奇函数，符合题意；
对于C，当时，则，定义域为，不符合题意；
对于D，当时，则，定义域为，且为奇函数，符合题意；
故选：BD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数，是增函数，零点为
B. 已知实数，则函数的零点所在的区间是
C. 函数的零点个数为3个
D. 函数在上存在零点，则正实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据指数函数的性质及零点的定义即可判定；对于B，根据零点存在性定理判定即可；对于C,利用函数图象即可判定；对于D,根据题意建立不等式组，解出即可.
【详解】根据指数函数的性质知，
是上的增函数，令，得，
则函数得零点为，故A错误；
因为函数，，
易得函数为上的增函数，又，
故函数的零点所在的区间是，故B正确；
函数的零点个数，为函数与的图象交点个数，
如图所示，
两个函数图象有三个交点，故函数有三个零点，则C正确；
因为函数在上存在零点，
则有，解得，
故D正确，
故选：BCD.
11. 已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据题设条件得出函数的对称性和单调性，再利用这两个函数性质进行函数值比较以及解抽象不等式.
【详解】根据题意，函数对，都有，
则函数的图象关于直线对称，又任取，
则在区间上为减函数，在上为增函数．
对于A，，则有，A正确；
对于B，在区间上为减函数，在上为增函数，故在时取得最大值，
即对，B正确；
对于C，在区间上为减函数，又，
则，C错误；
对于D，若，因函数的图象关于直线对称，且在上为增函数，在区间上为减函数，
则有或，解得或，D错误．
故选：AB.
12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ）
A. B.
C. 与的图象关于对称D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数与互为反函数，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得.
【详解】由，得，，
即可得，即有，
，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称.
因为函数与互为反函数，关于对称，
又因与垂直，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，
则，，
由反函数性质知关于对称，
则，，
故选：ABD
第П卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13. 设函数，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据分段函数求函数值的方法结合已知解析式计算得出答案.
【详解】函数，
，
故答案为：7.
14. 已知，，则x＋2y的值为____________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故答案为：3
【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.
15. 若函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到函数为递增函数，再由，得到函数为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以函数为上的单调递增函数，
又由，所以为奇函数，
则不等式，即为，
可得，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
16. 已知函数是偶函数，若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由奇偶性求得参数，问题转化为方程无实数解，再变形转化为新函数的图象与直线无交点，从而只要求得函数的值域即可得．
【详解】，即对于任意恒成立．
，，
，由题意知方程即方程无解．
令，则函数的图象与直线无交点．
任取，且，则．
，
在上是单调减函数．．
的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
17. 已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)写出函数的解析式；
(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有＞0，利用可求得，然后写出完整的函数式；
（2）作出函数的图象，确定的极值和单调性，由图象与直线有三个交点可得的范围．
【详解】解：(1)当时，，
是奇函数，
.
(2)当时，，最小值为；
当，，最大值为.
据此可作出函数的图象，如图所示，

根据图象得，若方程恰有个不同的解，
则的取值范围是.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．
18. 若，且．
（1）求的最小值及对应的的值；
（2）当取何值时，，且．
【答案】18. 当时，最小值为
19.
【解析】
【分析】（1）代入利用对数的运算性质即可得出．进而利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
（2）由题意知：，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出.
【小问1详解】
．
由已知得．
又．
故．
当，即时，有最小值．
【小问2详解】
由题意得，
所以.
19. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，
（1）求最小值.
（2）若对任意的，恒成立，则实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）．
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性，联立方程求出函数的解析式，即可判断最小值；
（2）恒成立问题，分离参数后构造新函数，求出新函数的最小值即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数满足①，所以，
由函数的奇偶性可得，②，
由①+②得，，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为1.
【小问2详解】
因为对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
令，则函数在上为减函数，
所以，所以.
20. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求，值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解；
（2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，故，则，
所以，
又恒成立，所以；
（2）因为，函数单调递减，
又恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以.
【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题.
21. 函数
（1）求证：在上是增函数.
（2）若函数是关于的方程在有解，求的取值范围.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（2）将方程g（x）=m+f（x）转化为m=g（x）﹣f（x），然后求出函数g（x）﹣f（x）的表达式，即可求出m的取值范围．
【详解】1）（1）任设x1＜x2，，
∵x1＜x2，
∴，
∴，
即f（x1）＜f（x2），
即函数在定义域上单调递增．
2）由g(x)=m＋f(x)，∴，
当1≤x≤2时，，，
【点睛】本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查逻辑推理能力与运算能力．
22. 已知定义在上的函数恒成立，
（1）求的取值范围
（2）判断关于方程在上是否有实根？并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）没有，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可；
（2）利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
，
化简，得，
因为，所以恒成立
显然，当时等号成立．
所以只要，即，
解得：；
【小问2详解】
令，则，
令，
又该二次函数的对称轴为：，得在上单调递增，
，故
从而，故在无实根．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，结合对数函数的单调性进行求解.