黑龙江省牡丹江市2024届中考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省牡丹江市2024届中考数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
3．由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有( )
A.1种B.2种C.3种D.4种
4．某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是( )
A.B.C.D.
5．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为( )
A.B.C.D.
6．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A.B.C.D.
7．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形.第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( )
A.2022B.2023C.2024D.2025
8．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是( )
A.B.C.D.
9．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平.
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为( )
A.B.C.D.
10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则.其中正确的结论是( )
A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④
二、填空题
11．函数中，自变量x的取值范围是______________.
12．如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得.（只添一种情况即可）
13．将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______.
14．如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为______.
15．已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______.
16．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______.
17．矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为______.
18．如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交、于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接.下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则.其中正确的结论是______.
三、解答题
19．先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值.
20．如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C.在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）.（参考数据：，，）
21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”.请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题.
22．在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线交于点O，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积.
23．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______.
24．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地.甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在中，，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F.
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______.
26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根.请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C.
2．答案：D
解析：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D.
3．答案：C
解析：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，
故选：C.
4．答案：A
解析：列表如下：
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是.
故选：A.
5．答案：B
解析：如图，连接，
是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：B.
6．答案：C
解析：设每次降价的百分率为x，由题意，得：
，
解得：，（舍去）；
故选C.
7．答案：B
解析：第1个图案有4个三角形，即，
第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个）.
故选：B.
8．答案：D
解析：过点E作，则，
，
，
设，
∵，
，
，，
，
即，解得：.
故选D.
9．答案：B
解析：四边形是矩形，
∴，
由折叠可得：，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
故选：B.
10．答案：A
解析：设抛物线的解析式为：，
，，
，故①正确；
点C的纵坐标在～之间，
，即，
，故②正确；
，
，即，
，
又，
，故③错误；
令y相等，则
，解得（舍），，
，故④正确；
故选A.
11．答案：且
解析：根据题意得：且，
解得且.
故答案为：且.
12．答案：或（答案不唯一）
解析：
，，
添加条件，可以使得，
添加条件，也可以使得，
；
故答案为：或（答案不唯一）.
13．答案：2
解析：抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
，
故答案为：2.
14．答案：
解析：，，
，
设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：.
15．答案：5
解析：这组数据有唯一众数8，
b为8，
中位数是5，
a是5，
这一组数据的平均数为，
故答案为：5.
16．答案：
解析：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）.
故答案为：.
17．答案：13或
解析：当时，如图，
矩形，
点O是的中点，
点P是的中点，
，，
点E是边的三等分点，
，，
矩形的面积是90，
，
，
，
；
当时，如图，
矩形，
点O是的中点，
点P是的中点，
，，
点E是边的三等分点，
，，
矩形的面积是90，
，
，
，
；
故答案为：13或.
18．答案：①②③⑤
解析：正方形，
，，，
如图1，作于G，则四边形是矩形，
，
，
，
又，，
，
，①正确，故符合要求；
如图2，作交于H，连接，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，②正确，故符合要求；
P是中点，，
，
如图3，连接，
由勾股定理得，，，
解得，，
设，则，，
由勾股定理得，，
，
，整理得，，
解得，或（舍去），
，，
，
，
解得，，③正确，故符合要求；
由题意知，，
、不相似，，④错误，故不符合要求；
，
，，
设，，，则，，，，
，，，
，
，
，，
，
，即，
解得，，
同理，，
，即，
同理，，
，即，
，
将代入得，，整理得，，
解得，，
，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②③⑤.
19．答案：，取，原式
解析：
.
且，
或或.
当时，原式.
或当时，原式.
或当时，原式.
20．答案：17.5米
解析：根据题意可知四边形是矩形，
.
如图，，.
，，
，.
，
.
（米）
答：建筑物的高度约为17.5米.
21．答案：（1）50
（2），图形见详解
（3）480名
解析：（1）这次被调查的学生人数为：（名）；
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名.
22．答案：图形见解析，的面积为12或36
解析：当时，所作图形如图，作，垂足为F，
菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
的面积为；
当时，所作图形如图，作，垂足为F，
菱形，，
，，
，
，，
，，
的面积为；
综上，的面积为12或36.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）把和代入得：
，解得，
二次函数的解析式为；
（2）令，则，解得：，，
点B的坐标为，
，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
直线的解析式为，
过点P作轴交于点D，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
，
，
最大为，
.
24．答案：（1）70，300
（2）
（3）或
解析：（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
25．答案：（1）见解析
（2）图②：，图③：
（3）10或18
解析：（1）证明：在边上截取，连接.
在中，.
，
.
又，
.
又，，
.
又，，
.
.
.
.
，
.
是等边三角形.
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
，
是等边三角形，
，
线段绕点A顺时针旋转得到线段，
，，
，
，即，
又，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
（3）如图所示，
，，
，，
，
，
，
，，
，
由（1）可知，，
；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
，与矛盾，
不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
，，
，
由（2）可知，，
，
.
综上所述，或18.
26．答案：（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
（2）有3种方案，详见解析
（3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
解析：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，
则，
解得：，
m为正整数，
，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得，
解得：；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得，
解得：（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得，
解得：（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.
27．答案：（1）
（2）
（3）存在，12个，，，，，
解析：（1）解方程得，，
，即点A的坐标为，
把代入得，
，点D的坐标为；
（2）过点E作于点H，
，
，，
，
又是平行四边形，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，当时，有4个，
，
，
由（2）得，，
，
点N的坐标为；
当时，有4个，如图，
当时，有4个，如图，
，
，
，
点与O重合，
故点的坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或.
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）