2023年黑龙江省牡丹江市中考一模数学试卷（含答案）

二0二三年牡丹江市初中毕业学业考试第一次适应性考试

数学试卷

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.全卷共分三道大题，总分120分

3.请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效

一、选择题（每小题3分，满分36分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2.下列计算正确的是

A. B. C. D.

3.函数中，自变量的取值范围是

A. B. C. D.

4.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是

A.3 B.4 C.5 D.6

5.在一个不透明的袋子中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是

A. B. C. D.

6.如图，的直径，弦，点在上，则的度数是

A.30° B.45° C.60° D.75°

7.如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过作轴，垂足为，若，则的值为

A.8 B.9 C.10 D.11

8.若分式方程无解，则的值为

A.1 B. C.2 D.

9.已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6，则这个扇形围成的圆锥的高是

A. B. C. D.

10.按一定规律排列的一列数依次为，，，…按此规律排列下去，这列数的第9个数是

A. B. C. D.

11.在中，，，，点在直线上，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，连接，当为直角三角形时，则的长是

A.或 B.1或 C.或 D.或

12.对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：；；；；（为任意实数），其中正确结论的个数是

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

二、填空题（每小题3分，满分24分）

13.第133届中国进出口商品交易会（广交会）全面恢复线下展，迎接八方来客.中国经济加速回升，是中国经济巨大韧性与潜力的体现.经统计，一季度，中国进出口总值为9.89万亿元，同比增长4.8%.将数据9.89万亿用科学记数法表示为____________.

14.如图，，请添加一个条件__________，使.

15.某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为_______元.

16.一组数据2，3，，，12中，唯一的众数是12，平均数是6，这组数据的中位数是___________.

17.的半径为2，弦，点是上一点，且，则点到的距离为__________.

18.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图象的函数解析式为____________.

19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________.

20.在矩形中，，是邻补角的平分线，延长交的延长线于，，射线分别交，延长线于，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是__________.

三、解答题（满分60分）

21.（本题满分5分）先化简，再求值：，其中.

22.（本题满分6分）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线顶点为，求的面积.

注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是.

23.（本题满分6分）在菱形中，，点在上，，以为边作正方形，连接，请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段的长.

24.（本题满分7分）某校社团活动开设的体育选修课有：篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生必选且只能选修其中的一种，学校对某班全班同学的选课人数情况进行调查统计后制成了如图所示的两个不完整的统计图.

（1）请你求出该班的总人数，并补全条形统计图；

（2）求在扇形统计图中（A）项球类所对应的圆心角度数；

（3）若该校共有1000名学生，请估计该校选修篮球（A）的学生约有多少人？

25.（本题满分8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲快递车先从A地到达B地，经过1小时卸货后按原路原速返回到A地，再立即调头按原速前往C地，乙快递车比甲晚1小时出发，到达C地经过1小时装好货物后调头按原路原速回到A地，结果乙比甲早1小时到达，两车均匀速运动.如图是两车距A地的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数图象，请解答下列问题：

（1）填空：甲的速度为__________千米/小时；

（2）求图象中线段所在直线表示的（千米）与时间（小时）之间的函数解析式；

（3）甲出发多少小时后，两车之间相距60千米？请直接写出答案.

26.（本题满分8分）平面内有一个等腰直角三角板，，点在直线上，过作于，过作于.当点与点重合时（如图①），易证：.

（1）当三角板绕点顺时针旋转至图②、图③的位置时，请猜想，，之间的数量关系，并直接写出猜想的结论.（提示：过点做直线的垂线，交直线于.）

（2）请选择（1）中的任意一种结论进行证明.

（3）若，，则_____________.

27.（本题满分10分）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍.请解答下列问题：

（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？

（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A，B两种书包的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案.

（3）若A种书包售价70元/个，B种书包85元/个，该商场用（2）中最大利润再次全部用于购进甲、乙两种文具（乙种文具不少于35个）捐献给希望小学，已知甲种文具进价25元/个，乙种文具进价20元/个，则甲、乙两种文具各捐献多少个？（请直接写出答案即可）

28.（本题满分10分）如图，点在第一象限，轴于点，点在轴的负半轴上，连接，，线段，的长是方程的两个根.请解答下列问题：

（1）求点的坐标；

（2）若，反比例函数图象的一个分支经过点，求的值；

（3）在（2）条件下，点在坐标轴上，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.

二0二三年牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题

1.C    2.B    3.D    4.B    5.B    6.C    7.D    8.B    9.C    10.B    11.B    12.A

二、填空题

13.； 14.或或； 15.160；

16.3； 17.1或3； 18.或；

19.； 20.①②③④.

三、解答题

21.解：原式

∵，∴..

∴原式.

22.解：（1）将点，代入得：

解得：.

抛物线的表达式为：.

令，则或，即点.

（2）顶点坐标为，点坐标，点坐标，

根据勾股定理，则，，易证..

23.解：

24.解：（1）总人数（人），

E组的人数（人），A组的人数（人）

频数分布直方图为：

（2）A项球类对应的圆心角度数：.

（3）（人）.

答：估计该校学生体育选修课选修篮球的学生约有340人.

25.解：（1）60千米/时；

（2）乙车的速度：90千米/时，

点的坐标为，点的坐标为；

设函数关系式，将，代入，得

解得.

所以函数关系式为；

（3）1小时，3小时，小时，小时.

26解：（1）图②：；

图③：；

图②证明：过作于点.

∵，.∴.

∵，，，

∴.∴，.

∵，，，∴四边形是矩形.

∵.∴矩形是正方形.

∴.

图③证明：过点作，交延长线于点，

∵，∴，，

∵，，

∴.∴.

∵，∴.∴.

（2）2或.

27.解：（1）设A种书包的进价是元，则B种书包的进价是元.

由题意，得，解得：

经检验，是原分式方程的解，

∴.

∴A、B两种书包每个进价分别是60元，70元.

（2）设该商场购进A种书包个，则设该商场购进B种书包个，

由题意可得：，解得.

∵，∴.∴或20.

∴共有两种进货方案，分别为：

①A：19个，B：43个；

②A：20个，B：45个.

（3）甲3个，乙40个或甲7个，乙35个.

28.略