2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷【含答案】

这是一份2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、单项选择题
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）

A．20° B．18° C．15° D．12°
5．（3分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
7．（3分）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
10．（3分）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（3分）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）

A．3 B． C．2 D．1
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．（3分）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为 　 　．
14．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件 　 　，使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）

15．（3分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 　 　cm．

16．（3分）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 　．
17．（3分）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　 　．
18．（3分）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 　 　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　 　．

20．（3分）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN•CD＝EC•CF；④若EM＝1，MB＝4，则PM＝．其中正确的是 　 　．

三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
22．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．

23．（6分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
24．（7分）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：

（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是 　 　；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
25．（8分）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　 　km/h，乙车行驶的速度是 　 　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．

26．（8分）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　 　．

27．（10分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


1．A
2．B
3．C
4．C
5．B
6．B
7．C
8．B
9．D
10．C
11．C
12．D
13．1.6×107．
14．AB＝DC（答案不唯一）．
15．（2+2）．
16．．
17．20%．
18．2或4．
19．（1﹣，3）或（1+，3）．
20．①④．
21．x+1，原式＝．
22．（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，点P（，﹣）；
（2）．
23．2．
24．（1）200；
（2）30%；
（3）920．
25．（1）120，80；
（2）y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
26．（1）证明：如图①，∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE+EC＝BF．
（2）解：图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF，
理由：如图②，AE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BF；
如图③，AE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠BED，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∴BC＝AD，
∴EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD，
∴EC﹣AE＝BF．
（3）解：如图①，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1；
如图②，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BF＝AD＝4，
∵AE﹣EC＝BF，
∴EC＝AE﹣BF＝3﹣4＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；
如图③，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BE+BC+3+4＝7，
综上所述，CE＝1或CE＝7，
故答案为：1或7．
27．（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+100＝500+100＝600．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件，
根据题意得：，
解得：65≤a≤67，
又∵a为正整数，
∴a可以为65，66，67，
∴该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含（10﹣m）件A种家电，
当a＝65时，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝66时，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝67时，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，
解得：m＝4．
答：这10件家电中包含4件B种家电．
28．解：（1）由 x2﹣6x+8＝0，得x1＝4，x2＝2，
∵OB＞0C，
∴OB＝4，0C＝2，
∴B（﹣4，0）；
（2）∵OD：OC＝2：1，OC＝2，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵M是AD中点，
∴MD＝3，
∴M（﹣3，4），
将M（﹣3，4）代入y＝﹣x+b，得：3+b＝4，
解得：b＝1，
在y＝﹣x+b中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝1，
∴E（1，0），F（0，1），
∴∠FEO＝45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，

∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝2：1，
∴NK＝EK＝2CK，
∵CE＝OC﹣OE＝2﹣1＝1，
∴CK＝1，NK＝2，
∴N（3，﹣2），
∴EN＝2，EH＝＝＝CH，
∴NH＝EN﹣EH＝，
∴tan∠MND＝＝＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由（2）知，N（3，﹣2），
设P（0，m），Q（t，﹣t+1），
∴PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，
当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；
当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t＝；
①如图：

△P'NQ1，△PNQ2，△P'NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1（﹣4，5），Q2（，）；
②如图：

△P'NQ3，△P'NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3（4，﹣3），Q4（，）；
③如图：

△PQ5N，△P'Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（，），
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）；Q5（，）．