人教A版（2019）高中数学选修一讲义01空间向量与立体几何

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空间向量与立体几何学习目标．空间向量的基础:了解空间向量的概念、基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示、线性运算及其坐标表示，数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．．空间向量的应用:理解直线的方向向量与平面的法向量；掌握用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；掌握用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．考试数据知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）空间向量与立体几何 空间向量与立体几何 山东&海南2020-20 35（100%）注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试卷.高频考点．求异面直线所角；．直线与平面所成的角；．平面与平面所成的角．难点性等探索性问题；．立体几何中的最值问题；易错点．夹角的范围问题；．坐标中的计算问题；一、 空间向量的基础1. 空间向量的基本定理．共线（平行）向量定理：对空间两个向量 ，，的充要条件是存在实数，使得 ．．共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，则向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一一对实数 ， ，使得 ．．空间向量分解定理：如果三个向量 ， ， 不共面，那么 对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 ．2. 空间向量数量积．空间向量的数量积的定义：；．空间向量的数量积的性质：① ；② ；③ ；④ ．．空间向量的数量积的运算律：；交换律： ；分配律： ．3. 空间向量运算的坐标表示．空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系，分别沿 轴， 轴， 轴的正方向引单位向量 ， ， ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 ，由空间向量分解定理，对于空间任一向量 ，存在唯一数组 ，使 ，那么有序数组就叫做空间向量 的坐标，即 ．．空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 ， ， ， ， ， ，则① ；② ；③ ；④ ．．空间向量平行和垂直的条件：① ， ， ；② ．．向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 ， ，则① ，；② ；③在空间直角坐标系中，点 ， ，则 ， 两点间的距离是．经典例题1. 假设地球是半径为 的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于 平面上， 轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧 ）是 度经线，位于 平面上，且交 轴于点，如图所示．已知赤道上一点 位于东经 度，则地球上位于东经 度、北纬 度的空间点 的坐标为（ ）．A. B. C. D.【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：重点考查在球体中求空间坐标．（2）本题关键的解题步骤：找到 点在 平面上的投影，根据几何关系求得 点的坐标．（3）本题的易错点：求 点的竖坐标．（4）本题需要注意的地方以及难点：题目给出的经纬度条件在坐标系中的转化，需要在各个平面分析边长等数量关系．【答案】A【解析】∵图中 ， 在赤道上的射影点为 ， ，∴ ， ，，图中 轴， 轴，∴ ， ，∴ ．故选 ．【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值；圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征巩固练习2. 如图，在四面体 中， 、 分别在棱 、 上，且满足 ， ，点是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵在四面体中， 、 分别在棱 、 上，且满足 ， ，点 是线段 的中点，∴．故选 ．【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）4. 知识总结（一）空间向量的基本概念、表示、大小、共线、加减运算；（二）空间向量基本定理（三）空间向量数量积定义、性质：（四）空间向量运算的坐标表示二、 空间向量的应用1. 向量法证明平行、垂直用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 ， 的方向向量分别是 ， ，平面 ， 的法向量分别是 ， ，则① ， ；② ；③ ；④ ， ；⑤ ， ；⑥ ．经典例题3. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，．求证：平面．【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：给出用建系的方法去证明线面垂直的思路．（2）本题关键的解题步骤：证DE与平面SCD的两条线垂直，重点证几何法证CD与DE垂直．（3）本题的易错点：证CD与DE垂直．（4）本题需要注意的地方以及难点：D点的位置是一个关键的点，需要用到基础的几何知识，考察功底；无论是用几何方法还是向量的方法都是要从D点入手．【答案】（ 1 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）如图示：以 为原点建立空间直角坐标系，由题意得： ， ， ， ， ，∵ ， ， ，∴ ， ，即 ， ，∵ ，∴ 平面 ．【标注】【知识点】向量法求空间距离；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问题巩固练习4. 如图，四棱锥（ 1 ）证明：（ 2 ）当直线 与平面的底面 是边长为 的正方形，．所成角的正弦值最大时，求此时二面角．的大小．【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题可以用向量和几何两种方法证明，提供多种解题思路．（2）本题关键的解题步骤：①几何法：证明三角形△PAD≌△PBC．②向量法：证明两个角的余弦值相等．（3）本题的易错点：找不到思路．（4）本题需要注意的地方以及难点：建坐标系写坐标，尤其是设Ｐ点的坐标；最值问题需要带参数表示坐标，处理二次式取最值．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）方法一：如图，分别取 ， 的中点 、 ，连接 、 、 ．∵ ， 为 的中点，∴ ，又∵ ，∴ ，又 平面 ，平面 ．∵ 垂直平分 ，∴ ．在 与 中， ，∴ ．∴ ．方法二：如图，建立空间直角坐标系，则 ，设 ，，∴ ．（ 2 ）方法一：由（ ） 是二面角 的平面角，设 ，则 ，在 中， ，过点 作 的垂线，垂足为 ，则，∵平面平面，∴平面 平面 ，平面 平面又∵ ，平面∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴ ，设直线 与平面 所成的角为 ，∴ ，令 ， ，则 ，当且仅当 ，即 时， 有最大值 ，∴ ．∴当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，二面角 的大小为．方法二：，设平面 的法向量 ，∴，设 与平面 所成的角为 ， 与 所成的角为 ，∴ ，令 ，，当且仅当 ， 时，取“ ”，此时 ．此时 ， ，设平面 的法向量 ，，易知平面 的一个法向量 ，设二面角 的平面角为 ，故 ， ．【标注】【知识点】几何法求空间角；向量法解决异面直线所成角问题2. 异面直线的夹角异面直线所成的角：设 ， 是两条异面直线，过空间任意一点 作直线，，则 与 所夹的锐角或直角叫做异面直线 与 所成的角．设异面直线 与 的方向向量分别是 ， ， 与 的夹角为 ，显然，则．经典例题5. 如图 ，在四棱锥中，底面为矩形．底面，，. 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）．图A. B.C. D.【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调异面直线夹角的公式．（2）本题关键的解题步骤：建系，求两条直线的方向向量，带公式．（3）本题的易错点：夹角的范围．（4）本题需要注意的地方以及难点：注意计算．【答案】B【解析】∵ 底面 ，∴ ， ，∵底面 为矩形，∴ ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，图∵ ， ， 是 中点，∴ ， ， ， ， ， ，∴ ， ，∴ ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 ．【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题巩固练习6. 如图，长方体 中， ， 为 的中点，则异面直线 与所成角的正切值为（ ）．A. B.C. D.【答案】C【解析】以 原点， 为 轴， 为 轴，为 轴，建立空间直角系，设 ，则 ， ， ， ，， ，设异面直线 与 所成角为 ，则 ，，解得 ．【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题7. 如图，在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 ，则 与侧面所成的角是 ．【答案】【解析】方法一：取 的中点 ，连接， ，∵三棱柱 为正三棱柱，∴ 平面 ，∴ 在平面 上的射影为 ，设 与侧面 所成的角为 ，∴ ，∴ ．方法二：分别取 、的中点 、 ，连接 ，，易知平面，且，故以 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ， ，∴ ，设 与侧面 所成的角为 ，∵平面 的一个法向量为 ，∴ ，∴ ．故答案为： ．【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决线面角问题8. 如图 ，圆锥的轴截面为等腰直角 ， 为底面圆心， 为底面圆周上 的三等分点，．则 与 的夹角为( )．A. B.C. D.【答案】C【解析】如图7，在底面圆周上取 的另一个三等分点 ，．由圆周角定理，知，从而， ．所以， 与 的夹角就是 与 的夹角．又由 为圆周的 知， ．在等腰三角形 中，有．得 ．即异面直线 与 的夹角为【标注】【知识点】圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征3. 直线与平面所成的角直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，直线 与平面 的夹角为 ，显然 ， 则．经典例题9. 如图，四棱锥中，平面，，，， 为棱 上一点．若 ，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考查直线与平面的夹角，强调线面角的公式，以及基本几何关系的转化．（2）本题关键的解题步骤：需先找到关系建系，求直线 的方向向量与平面 的法向量代入公式求夹角的正弦值．（3）本题的易错点：由线面平行求平面的法向量．（4）本题需要注意的地方以及难点：注意计算，以及线面平行、线面垂直条件的转化．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）取 中点 ，作交 于 ，∵ ，∴ ， 平面 ， 平面 ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，， ， ， ， ，设平面 的法向量 ，∴ ， ，由 平面 ， ，取 ， ， ，， ，∴ ，∴直线 和平面所成角正弦值为，．【标注】【知识点】线面平行的证明问题；向量法解决线面角问题10. 在边长为 的菱形 中， ，点 是边 的中点（如图 ），将 沿 折起到 的位置，连接 ， ，得到四棱锥 （如图 ）．图图若 ，连接 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【备注】（ ）选本题的目的和作用的说明：折叠问题与线面角结合，考查空间几何关系的转化，对空间想象能力要求较高．（ ）本题关键的解题步骤：建立空间直角坐标系，根据原图找出四棱锥的几何关系，写各点坐标，求直线 的方向向量与平面 的法向量．（ ）本题的易错点： 求四棱锥各点坐标及法向量．（ ）本题需要注意的地方以及难点：平面图形与立体图形之间边长关系的转换．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）方法一：因为，，，故以点 为原点，以射线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，图因为菱形 的边长为 ， ，所以 ， ， ，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，由 ， ，得 ， ，令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，所以直线 与平面方法二：因为所成角的正弦值为，又 ，．，所以 平面 ，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，因为平面 平面 ，作 于 ，则 平面 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成角，图因为菱形 的边长为 ， ，所以 ， ， ，在 中， ，在 中， ，在 中， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．【标注】【知识点】几何法求空间角；折叠问题；向量法解决线面角问题巩固练习11. 如图四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，， ， 为 的中点．（ 1 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．（ 2 ）设 是 的中点，判断点 是否在平面内，并证明结论．【答案】（ 1 ）（ 2 ）．在平面内，证明见解析．【解析】（ 1 ）取 中点 ，连接 ， ，由已知 是以 为斜边的等腰直角三角形，∴ ，又 ，∴ ， ，而 ， ， ，所以四边形 为正方形，即 ，而 ， ， ，所以 ，即 ，而 ，所以 平面 ，以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以 ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，而 ， ， ，由 得 ，可取 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，（ 2 ）所以直线 与平面在平面 内，所成角的正弦值为 ．为 中点，由（ ）知 ，又 是 的中点，所以 ， ， ，，设 ，即 ，解得 ，故有唯一一组实数对 使得 ，因此符合向量基本定理，故 与 ， 共面，即 在平面 内．【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；空间向量共面问题12. 如图，四棱锥 的底面 是菱形， ，且 ．若 ，棱 上一点 满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【备注】可以用几何、建系两种方法去解决【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）方法一：由（ ）知：平面平面，平面 平面 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，在菱形 中，因为 ，所以 ，所以 为等边三角形，所以 ，在 和 中， ， ， ，所以 ≌ ，所以 ，在 和 中， ， ， ，所以 ≌ ，所以 ，因为 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ，所以 ，所以 为 中点，，又 平面 ，所以 平面 ，设 到平面 的距离为 ， 与平面 所成角为 ，则 ，由 ，知所以 ，在 中， ，在 中， ，在 中， ，所以 ，所以，所以，，即直线 与平面 所成角的正弦为 ．方法二：以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，设 ，则有 ，所以 ，由 ，得 ，即 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，即 ，可取 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，．【标注】【知识点】面面垂直的证明问题；几何法求空间角；向量法解决线面角问题13. 如图，在四棱锥 中，侧面 为钝角三角形且垂直于底面 ，底面为直角梯形且， ， ，点 是 的中点．若直线 与底面 所成的角为 ，求 与平面 所成角的正弦值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，连接 ，∵平面 底面 ，平面 底面 ， ， 平面 ，∴ 底面 ，故 为斜线 在底面 内的射影，为斜线 与底面 所成的角，即 ．由（ ）得， ，∴在 中， ， ，在 中， ， ， ，由余弦定理得 ，∴ ，从而 ，过点 作 ，∴ 底面 ，∴ 、 、 两两垂直，如图，以点 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ，， ，设平面 的法向量为 ，，取 ，得 ，，∴所成的角的正弦值为 ．【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；线面垂直的证明问题14. 在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，，点 ， 在线段 上， ， ， 为线段 上的一点．若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）由 知：，以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以 ， ， ，， ， ，设 ， ，则 ，所以 ， ，设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 得 ，因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，因为平面 与平面 所成锐二面角 的余弦值为 ，所以 ，解得 ，即 ，所以 ，因为平面 的法向量为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为．【标注】【知识点】线面垂直的证明问题；向量法解决线面角问题；向量法解决二面角问题4. 两个平面所成的角二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作．在二面角的棱上任取一点 ，在两个半平面内分别作射线 ， ，则 叫做二面角 的平面角．设平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，平面 与平面 的夹角为 ，备注：利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 ， 分别是二面角 的两个面内与棱 垂直的异面直线，则二面角 的大小就是向量 与 的夹角的大小．方法二：如图， ， 分别是二面角的两个半平面 ， 的法向量，则 与该二面角的大小相等或互补．根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．经典例题15. 四棱锥 中， 面 ，直角梯形 中， ， ，， ，点 在 上且 ． 与平面 所成角为 ．求二面角 的余弦值．【备注】（ ）选本题的目的和作用的说明：强调异面直线夹角的公式．（ ）本题关键的解题步骤：建系，求两个平面的法向量，带公式．（ ）本题的易错点：注意夹角的范围．（ ）本题需要注意的地方以及难点：注意计算．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）以 为原点， ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，面 ，所以 ，又因为 ，所以 面 ，所以 在面 的射影为 ．所以 为 与平面 所成角，所以 ， ，所以 ， ， ， ， ，，面 法向量 ，面 法向量 ， ，所以 ，所以所以二面角，，所成角的余弦值为 ．【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；向量法解决二面角问题16. 如图，已知多面体 的底面 是边长为 的正方形， 底面 ， ，且．若二面角 的大小为 ，求 的值．【备注】（ ）选本题的目的和作用的说明：强调二面角夹角的公式．（ ）本题关键的解题步骤：建系，求平面BCF与平面CFE的法向量，代入公式．（ ）本题的易错点：平面CFE法向量带参数，计算要注意．（ ）本题需要注意的地方以及难点：求平面的法向量，解二次方程．【答案】（ 1 ） 或 （舍去）．【解析】（ 1 ）以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图空间直角坐标系．由 得，， ， ，， ， ．设平面 的法向量为 ，由已知得， ， ，由 得不妨取 ，则 ， ．从而平面 的一个法向量为 ．设平面 的法向量为 ，又 ，由 得不妨取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ．所以 ．因为二面角 的大小为 ，所以 ，化简得 ，解得 或 （舍去）．【标注】【知识点】直线和平面垂直的性质；线面平行的证明问题；向量法解决二面角问题17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ．（ 1 ）求证：平面 平面 ．（ 2 ）求二面角 的余弦值．【备注】（ ）选本题的目的和作用的说明：强调二面角的夹角的公式．（ ）本题关键的解题步骤：证明面面垂直是建系的前提，求量平面的法向量，代入公式．（ ）本题的易错点：建系之前要找到三条两两互相垂直的线，注意夹角的范围．（ ）本题需要注意的地方以及难点：建系需要找准条件，充分利用题目条件．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）如图所示，取 的中点 ，连接 ，．∵ ，∴ ．∵ ，∴ 是直角三角形，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴平面 平面 ．（ 2 ）方法一：由（ ）可知， 平面 ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ， 四点共圆，∴ ．∵ ， ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ．以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ， ， ， ，则有 ， ， ，分别设平面 和平面 的法向量为 和 ，则 ，即 ，则平面 的一个法向量为 ，同理，平面 的一个法向量为 ，，设二面角 的平面角为 ，则 ．方法二：以 为坐标原点，过点 平行于 的直线为 轴，平行于 的直线为 轴，为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ， ，， ，则有 ， ， ，分别设平面 和平面 的法向量为 和 ，则 ，即 ，则平面 的一个法向量为 ，同理，平面 的一个法向量为 ，．设二面角方法三：如图所示，的平面角为 ，．过点 ， 分别作 的垂线，并交 于点 ， ．在等腰 中，由 ，得 ，解得 ，在 中，由 ，同理， ， ，则 ，由 ，可得 ，则，解得 ，易知二面角 的平面角就是 与 的夹角，设二面角 的平面角为 ，则 ．【标注】【知识点】面面垂直的证明问题；向量法解决二面角问题18. 如图，四边形 是一个边长为 的菱形，且 ，现沿着 将 折到 的位置，使得平面 平面 ， ， 是线段 ， 上的两个动点（不含端点），且，平面 与平面 相交于直线 ．为 上一个动点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值．【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题属于动点探究性问题，较难，让学生接触难题，找准自己的卡壳点．（2）本题关键的解题步骤：建系，表示出两个平面的法向量，代入公式，含参的二次式函数求最值．（3）本题的易错点：建系、写坐标、计算．（4）本题需要注意的地方以及难点：用含参的式子表示平面EPD的法向量、求二次含参式子的最值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ） ，由（ ）可得 ，∴ ，∴ ， ， ， 四点共面，平面 平面 ，∴点 在 上，如图，取 的中点为 ，，则 ， ， 平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，法一：以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，设 ， ，则 ， ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 ， ，，平面 的一个法向量为 ，∴ ，∵平面 与平面 所成角为锐二面角，令 ，∴，当且仅当 时取等号，此时平面 与平面 所成锐二面角有最小值 ，法二： ，过点 作 于点 ，连接 ，则 ，∴ 为所求锐二面角的平面角，记为 ，∴ ，当 最大时， 最小，∵ ，∴点 在以 为直径的圆上，当点 与点 重合时，，∴ ，∴ 的最小值为 ．【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；几何法求空间角；线线平行的证明问题巩固练习19. 在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形， ，， ， ， ， 分别为 ， 的中点．若 与 所成角为 ，求二面角 的余弦值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）由 为正方形可得 ，由 为平行四边形可得 ．∴ 为 与 所成角，即 ，∵ ， 为 中点，∴ ．∵侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，∴ ．取 中点 ，连 ， ．∵面 面 ，且面 面 ， ，∴ 平面 ，∴ 为 的平面角．又∵ ， ， ，∴ ．所以二面角 的余弦值为 ．【标注】【知识点】线面平行的证明问题；几何法求空间角20. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形，对角线 与 交于点 ，侧面是边长为 的等边三角形，点 在棱 上．若平面 平面 ，求二面角 的余弦值．【备注】可以通过建系做，不用考虑E点【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）取 为 中点，过 作交 于 ，连接，因为平面 平面 ，平面 是正方形，所以 平面 ，平面 平面 ，侧面 是边长为 的等边三角形，所以 ，所以 平面 ，于是 ， ，所以 平面 ，于是 ， 为二面角 的平面角，故二面角 的余弦值为：．【标注】【知识点】直线和平面平行的性质；几何法求空间角21. 如图，直角三角形 所在的平面与半圆弧 所在平面相交于 ， ， ， 分别为 ， 的中点， 是 上异于 ， 的点， ．若点 为半圆弧 上的一个三等分点（靠近点 ），求二面角的余弦值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）由已知，以 为坐标原点，分别以垂直于 ，向量 ， 所在方向作为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 即 ，取 ，得，设平面的法向量，则 即 ，取 ，得 ，所以 ，又二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．【标注】【知识点】面面垂直的证明问题；向量法解决二面角问题；建立空间直角坐标系22. 如图，四边形 是边长为 的正方形， ，将三角形 沿 折起使平面 平面 ．若二面角 的余弦值为 ，求 的长．【备注】折叠问题，求长度【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）取 中点 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 方向为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则有 ， ， ， ，可得 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，则 ，设 为平面 的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，则 ，因为 ，可得 ，解得 ，所以 ．【标注】【知识点】建立空间直角坐标系23. 四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，，侧面 面 ， ．（ 1 ）求证：（ 2 ）已知平面．与平面的交线为 ，在 上是否存在点 ，使二面角的余弦值为 ？若存在，请确定 点位置，若不存在，请说明理由．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）存在 ， 为 中点．【解析】（ 1 ）连接 ，， ，所以 ，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ．（ 2 ）延长 ， 相交于点 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 即为交线 ，取 中点 ，连 ，则，过 在平面 内作 的垂线 ，则 平面 ，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，所以 ，取 ，设 ， ，则 ，所以 ， ， ，，，设平面 的法向量为 ，则 ， ，所以 ，取 ．所以 ，所以 ，所以 或 ，经检验 时，不合题意，舍去，所以存在 ， 为 中点．【标注】【知识点】建立空间直角坐标系；向量法解决二面角问题；线线垂直的证明问题24. 如图，已知圆 的直径 长为 ，上半圆圆弧上有一点 ， ，点 是弧 上的动点，点 是下半圆弧的中点，现以 为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接 、 、．当三棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）∵下半圆所在的平面折成的二面角为直二面角，平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，又∵ ，∴ 平面 ，而 ，∴当 时，三棱锥 体积最大，∵ ， ， 两两垂直，∴以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，其中 为原点，如图所示：， ， ，， ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，令 ，则 ， ，∴ ，又取平面 的法向量为 ，设二面角的平面角为 ，，故二面角 的余弦值为 ．【标注】【知识点】线面平行的证明问题；折叠问题；向量法解决二面角问题25. 如图，四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，（ 1 ）求证：（ 2 ）若平面平面平面， 为 的中点．．，异面直线 与 所成角为 ，且为钝角三角形，求二面角 的正弦值．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）取 的中点 ，连接 ，，因为 为 的中点，则 ，且 ，又 ，且 ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面（ 2 ）由题意可知．，所以或其补角为异面直线 与 所成角，又 ， 为钝角三角形，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，以 为坐标原点， ， 所在直线为 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，向量 ， ，设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，得平面 的一个法向量为 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，设二面角 的平面角为 ，则 ，则 ，故二面角 的正弦值为 ．【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题26. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 分别是， 的中点， 在 上，且 ．（ 1 ）求证： 平面 ．（ 2 ）在线段上 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长．若不存在，请说明理由．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）存在，此时，理由见解析．【解析】（ 1 ）由 ， ， 是 的中点，得 ．因为 底面 ，所以 ．在 中， ，所以 ．因此 ，又因为 ，所以 ，则 ，即 ．因为 底面 ，所以 ，又 ，所以 底面 ，则 ．又 ，所以 平面 ．（ 2 ）结论：在线段上 上存在点 使二面角 的大小为 ，此时．理由如下：假设满足条件的点 存在，并设．过点 作 交 于点 ，又由 ， ，得 平面 ．作 交 于点 ，连结 ，则 ．于是 为二面角 的平面角，即 ，由此可得 ．由 ，得 ，于是有 ， ．在 中， ，即 ，解得 ．于是满足条件的点 存在，且 ．【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；线面垂直的证明问题；直线和平面垂直的判定27. 如图，已知 ， 平面 ， 平面 ，过点 且垂直于 的平面 与平面的交线为 ， ， ， ．设点 是 上任意一点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值．【答案】（ 1 ） ．【解析】（ 1 ）作，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ，设 ，平面 、平面 的法向量分别为 ，，则 ， ， ， ，因为 平面 ，所以 ，令 ，得 ， ，即 ，同理 ，令 ，得 ， ，即 ，因为 ，当且仅当 时取等号，所以平面 与平面 所成锐二面角的最小值为 ．【标注】【知识点】建立空间直角坐标系；向量法解决二面角问题；线面垂直的证明问题5. 点到平面的距离点到平面的距离： 为平面 外一点，则、分别为平面 过 点的斜向量、法向量， 为 到 的距离，经典例题28. 在四面体 中， ， ， 两两垂直，设 ，则点 到平面 的距离为（ ）．A. B.C. D.【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调点到直线的距离公式．（2）本题关键的解题步骤：画图，建系，求直线的方向向量与平面ABC的法向量，代入公式求解．（3）本题的易错点：写各点坐标、向量坐标．（4）本题需要注意的地方以及难点：本题没有图，注意画图、建系、写坐标的过程．【答案】B【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，过点 作 平面 ，交平面 于点 ，则 的长即为点 到平面 的距离，∵ ， ， ， 两两垂直，∴ 为正三角形，且 为 的重心，∴点 的坐标为 ，∴ ．故选 ．【标注】【知识点】向量法求空间距离巩固练习29. 在空间直角坐标系 中，平面 的一个法向量 ，已知 ，则点到平面 的距离 等于（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】连接 ，因为是平面的一条斜线上的向量，为平面 的一个法向量，所以 ．故选 ．【标注】【知识点】向量法求空间距离6. 知识总结1.异面直线所成的角：设异面直线 与 的方向向量分别是 ， ， 与 的夹角为 ，显然，则．2.直线和平面所成的角：设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，直线 与平面 的夹角为 ，显然，则．3.二面角及其度量：设平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，平面 与平面 的夹角为 ，根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．4.点到平面的距离：为平面 外一点， 、 分别为平面 过 点的斜向量、法向量， 为 到 的距离，则三、 思维导图四、 出门测30. 已知正方体 的棱长为 ， 是棱 上的一条线段，且 ，点 是棱的中点，点 是棱 上的动点，则下面结论中正确的是（ ）．A. 与 一定不垂直B. 二面角 的正弦值是C. 的面积是D. 点 到平面 的距离是常量【答案】BCD【解析】A 选项：当 与点 重合时，，故 错误；B 选项：由于点 是棱 上的动点， 是棱 上的一条线段，所以平面 即平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以 ， ，平面 即平面 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ，同理可求得平面 的法向量为 ，设二面角 为 ，所以 ，故 ，故 正确；C 选项：由于平面，又平面，所以 ，所以 ，所以 是 的高，所以，故 正确；D 选项：由于，且平面，平面，所以 平面 ，又点 在 上，所以点 到平面的距离为常量，故 正确．故选 B C D .【标注】【知识点】向量法解决二面角问题31. 如图所示，正方体的棱长为 ， 是上的点，则点 到平面的距离是 ．【答案】【解析】以点 为坐标原点， ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设点 ，连接 ，则 ，连接 ，易知 平面 ，则 为平面 的一个法向量，所以点 到平面 的距离 ．故答案为： ．【标注】【知识点】向量法求空间距离32. 在多面体 中，底面 是梯形，四边形 是正方形， ，， ， ．（ 1 ）求证：平面 平面 ．（ 2 ）设 为线段 上一点， ，求二面角 的平面角的余弦值．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）∵ ， ， ，∴ ，∴ 为直角三角形，且 ，同理∵ ， ， ，∴ ，∴ 为直角三角形，且 ，又四边形 是正方形，∴ ，又∵ ，∴ ，在梯形 中，过点 作 于 ，∴四边形 是正方形，∴ ，在 中， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ， ， 平面 ， 平面，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，因为 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ．（ 2 ）以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，， ， ， ，令 ，则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ， ，∵ 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，∴ ，∴二面角 的平面角的余弦值为 ．【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；平面和平面垂直的判定；面面垂直的证明问题5455