专题01 任意角及其度量（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；
扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；
单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；
正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有
，，（），（）；
同角三角公式：，，，；
诱导公式：（），，，；
诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.
2、常用三角公式
和角与差角公式：，，
；
倍角公式：
，
，
；
3、解三角形
正弦定理：；
余弦定理：，，；
三角形面积公式：；
二、考点解读
1、锐角A的正弦，余弦，正切，余切
在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA===;
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即csA===;
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===;
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctA，即ctA===;
锐角A的正弦、余弦、正切与余切也可以都叫做锐角A的三角比；
2、角的概念的推广
在小学和初中我们已经知道， 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形；
高中，在集合视角下，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点
从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形；
3、角的分类
正角，负角，零角；
一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的；
按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的；
特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合；
4、终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；
【特别注意】角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用
5、象限角
为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角；
6、角度制
在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制；
7、弧度制
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制；
8、扇形的弧长、扇形的面积公式
设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为，
则；
1、角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
（2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角；
（3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α；
2、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；
【注意】对终边相同的角的理解：
（1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏；
（2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；
（3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同；
3、象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限；
【注意】（1）象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
（2）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z；
（3）象限角
（4）轴线角
4、终边相同的角与对称性拓展
（1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z；
（2）β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z；
（3）β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z；
（4）β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z；
5、弧度制的定义和公式
（1）定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
（2）公式
【注意】1、在应用扇形面积公式S＝eq \f(1,2)αR2时，要注意α的单位是“弧度”；
2、在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入；
3、在弧度制下的扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lR，与三角形面积公式S＝eq \f(1,2)ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆；
4、由α，R，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量；
题型1、准确把握角的概念
例1、（1）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角
【提示】；
【答案】；
【解析】；
（2）下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180 °的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为
【说明】1、判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念；
（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可；
2、注意区分以下各角的不同：①锐角α：0°＜α＜90°；②小于90°的角α：α＜90°；③第一象限的角α：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；（试试：换成用弧度表示）；
题型2、象限角的规范表示
例2、（1）填充：象限角的表示．
（2）终边在第一或第三象限的角的集合是 ．
【说明】注意：任意角都是象限角吗？为什么？
【解析】不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角；
【建议】试试用弧度制表示；
题型3、用好终边相同角的表示
例3、（1）与－468°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}
（2）已知α＝－1 910°.
①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；
③如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
④如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
【说明】1、对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
【解析】所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和；
2、终边落在直线上的角的集合的步骤：
（1）写出在0°～360°范围内相应的角；（2）)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；（3）根据条件能合并一定合并， 使结果简捷；
3、终边相同角常用的三个结论：
（1）终边相同的角之间相差360°的整数倍；（2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍；
题型4、与终边相同角的表示相关滴
例4、（1）如图，终边在阴影部分(包括边界)的角α的集合是________．
【说明】注意通过审题明确题设要求的是：终边的象限、终边的位置、角度范围之间的差异；
（2）在与1 010°终边相同的角中，分别求符合下列条件的角：
①最大的负角；
②最小的正角；
③在－720°～720°内的角．
题型5、倍角、分角所在象限的判定
例5、（1）已知α为第二象限角，求：①2α为第几象限的角？②eq \f(α,2)为第几象限的角？
（2）①已知α为第二象限角，求：角2α的终边的位置．
②若角α变为第三象限角，求：角eq \f(α,2)是第几象限角？
【说明】倍角、分角所在象限的判定思路
1、已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
2、已知角α终边所在的象限，确定eq \f(α,n)终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余 n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.
题型6、角度与弧度的互化
例6、 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝eq \f(4π,5)，β2＝－eq \f(11π,6).
（1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
（2）将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
【说明】角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点：
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°进行换算；
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·eq \f(180°,π)；n°＝n·eq \f(π,180) rad；
（3）注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；
题型7、会用弧度制表示终边相同的角
例7、（1）终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))
（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
【说明】1、弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍；
2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
（1）仔细观察图形；（2）写出区域边界作为终边时角的表示；（3）用不等式表示区域范围内的角；
特别提醒：角度制与弧度制不能混用；
题型8、弧长公式与面积公式的应用
例8、（1）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于（ ）
A．eq \f(4\r(3),3)π cm B．eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
（2）已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为 cm2.
【说明】弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
1、明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq \f(1,2)αr2和S＝eq \f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)
2、分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
3、根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
特别提醒：看清角的度量制，恰当选用公式；
题型9、弧度制下有关扇形问题的综合
例9、（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3)；求：
①这个圆心角所对的弧长；②这个扇形的面积；
（2）扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．
（3）已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．
【说明】弧度制下涉及扇形问题的一般方法：
1、明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)；
2、涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)；
3、灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题；
题型10、任意角的概念与度量与其他知识的交汇
例10、设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
例11、已知θ＝kπ＋(－1)k·eq \f(π,4)，k∈Z，试判断角θ的终边所在的象限为
例12、《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq \f(π,4)米，整个肩宽约为eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.73)( )
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
例13、已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转eq \f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转( )
A．eq \f(π,8) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,2) D．π
例14、已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．
【说明】应用弧度制解决问题的方法
1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
1、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
2、集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}．那么集合A，B，C之间的关系是________．
3、射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.
4、已知α与240°角的终边相同，则eq \f(α,2)是第________象限角．
5、如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
6、下列命题正确的序号是
①终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
②终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
③第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))
④在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
7、下列叙述正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一或第二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
8、集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

9、如图所示．
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
10、已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
象限角
角的集合表示
第一象限角
______________________________
第二象限角
______________________________
第三象限角
______________________________
第四象限角
______________________________