专题02 余弦函数的图像与性质（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE y=Asin(ωx+φ) 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、余弦曲线
余弦函数y＝cs x，x∈R的图像叫余弦曲线；
2、余弦函数图像的画法
（1）要得到y＝cs x的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可，这是由于cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))；
(1)变换法：根据诱导公式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x及函数图像平移知识，得将y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位得到y＝cs x的图像，余弦曲线如图所示．
（2）用“五点法”：画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图像时，
所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接；
3、余弦函数的性质
（1）周期性
①函数y＝csx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π；
④函数y＝Acs (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(2π,ω)；
类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cs(x＋2kπ)＝cs x(k∈Z)，容易得出．
（2）值域与最值
定义域：R；
值域：[－1,1]；
最值：x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1；
【说明】有关余弦函数最值：
①明确余弦函数的有界性，即|cs x|≤1；
②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定；
③形如y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acs z的形式最值；
（3）奇偶性
①余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称；
②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形；
（4）单调性
在 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减；
①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
4、正弦函数y＝csx的图像特征
题型1、会用“五点法”作余弦相关函数的图像
例1、（1）用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4πD．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
【答案】B；
【解析】令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)和2π，得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π，故选B；
【说明】注意利用“五点法”结合“代换法”，画正弦型函数的图像；
（2）用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11,6)π))的简图；
【解析】列表如下：
描点作图(如图)．
；
【说明】用五点法画函数f(x)＝acs x＋b(a≠0)简图的步骤如下：
①列表；
②描点，描出(0，a＋b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，b))，(π，－a＋b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，b))，(2π，a＋b)；
③连线，用光滑的曲线顺次连接各点；
④将简图左、右平移2π的整数倍得函数f(x)＝acs x＋b(a≠0)的图像；
题型2、会用“图像变换”作余弦相关函数的图像
例2、（1）函数y＝－cs x的图像与余弦函数图像（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于原点和坐标轴对称
【答案】C；
【解析】由y＝－cs x的图像知关于原点和x轴对称．
（2）有下列命题：
①y＝sin |x|的图像与y＝sin x的图像关于y轴对称；
②y＝cs (－x)的图像与y＝cs |x|的图像相同；
③y＝|sin x|的图像与y＝sin(－x)的图像关于x轴对称；
④y＝cs x的图像与y＝cs (－x)的图像关于y轴对称.
其中正确命题的序号是________.
【答案】②④
【解析】对于②，y＝cs (－x)＝cs x.y＝cs |x|＝cs x，故其图像相同；对于④，y＝cs (－x)＝cs x，故这两个函数图像关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确.
【说明】图像常用作法：（1）五点法；（2）平移法；
题型3、与余弦函数的定义域相关
例3、（1）函数y＝lg(2cs x－eq \r(3))的定义域为 ；
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ【解析】由题意，得2cs x－eq \r(3)>0，所以cs x>eq \f(\r(3),2)，
结合y＝cs x的图像(如图)可得：－eq \f(π,6)＋2kπ所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ（2）求：函数 f(x)＝lg cs x＋eq \r(25－x2)的定义域.
【解析】由题意得x满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x>0，,25－x2≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x>0，,－5≤x≤5.))作出y＝cs x的图像，如图所示.
结合图像可得函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(3π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，5)).
【说明】利用余弦函数的图像求余弦型函数的定义域；本质是解三角不等式，其一般步骤是：①作出y＝cs x在一个周期上的图像；②在一个周期内，根据图像求出适合条件的角的范围；③依据y＝cs x的周期性，求出所有符合条件的角的集合；
题型4、与余弦函数相关的值域与最值
例4、（1）求：函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的值域；
（2）求：函数y＝cs2x－4cs x＋5的值域.
【解析】（1）由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))可得x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
因为函数y＝cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减，且cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
所以函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))；
（2）y＝cs2x－4cs x＋5，令t＝cs x，则－1≤t≤1，
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2.所以函数的值域为[2，10]；
【说明】求三角函数值域或最值的常用方法
1、形如y＝sin(ωx＋φ) （或y＝cs(ωx＋φ)）的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域).
2、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)（或y＝a cs 2x＋b cs x＋c(a≠0)）的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
3、对于形如y＝asin x(或y＝acs x)的函数的最值还要注意对a的讨论；
题型5、与余弦函数相关的周期问题
例5、（1）下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是（ ）
A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝sin 2x
C．y＝cs eq \f(x,4) D．y＝cs 4x
【答案】D；
【解析】∵T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)，∴ω＝4；
（2）已知函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
【答案】D；
【解析】因为T＝eq \f(2π,\f(k,4))＝eq \f(8π,k)≤2，所以k≥4π，又k为正整数，所以正整数k的最小值为13；
题型6、与余弦型函数相关的奇偶性
例6、（1）判断函数)f(x)＝sin(cs x)的奇偶性；
【解析】由函数的定义域为R，且f(－x)＝sin[cs(－x)]＝sin(cs x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin(cs x)是偶函数；
（2）函数y＝3－cs x的图像（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝eq \f(π,2)对称
【答案】B；
【解析】因为函数y＝3－cs x是偶函数，所以图像关于y轴对称；
【说明】判断正弦、余弦型函数的奇偶性；关键是依据：正弦、余弦函数的奇偶性与函数奇偶性的定义、判断方法；
牢记2个常用结论：
（1）要使y＝Acs (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
（2）要使y＝Acs (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
题型7、与余弦函数的单调性相关
例7、（1）函数y＝|cs x|的一个单调减区间是（ ）
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
【答案】C；
【解析】函数y＝|cs x|的图像如图所示，由图像知在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上y＝|cs x|是减少的；
（2）函数y＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))的单调递增区间是________________________________
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))，k∈Z ；
【解析】函数y＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，令－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.
【说明】形如y＝Acs (ωx＋φ)余弦型函数单调区间的求法
1、如果若ω为负数，则利用诱导公式变为正，把ω化为正数，；
2、当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝cs x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝cs x的；
题型8、余弦型函数图像的应用
例8、已知y＝cs x(x∈R)，求：
（1）y≥ eq \f(1,2)时x的集合；（2）－ eq \f(1,2)≤y≤ eq \f(\r(3),2)时x的集合；
【解析】用五点法作出y＝cs x的简图．
（1）过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))点作x轴的平行线，从图像中看出：
在[－π，π]区间与余弦曲线交于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(1,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(1,2)))点，
在[－π，π]区间内，y≥ eq \f(1,2)时，x的集合为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)≤x≤\f(π,3)))．))
当x∈R时，若y≥ eq \f(1,2)，则x的集合为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
（2）过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))点分别作x轴的平行线，
从图像中看出它们分别与余弦曲线交于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ，－\f(1,2)))，k∈Z，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，－\f(1,2)))，k∈Z和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ，\f(\r(3),2)))，k∈Z， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(\r(3),2)))，k∈Z，
那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－ eq \f(1,2)≤y≤ eq \f(\r(3),2)时x的集合为： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ≤x≤－\f(π,6)＋2kπ或\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(2π,3)＋2kπ，)))) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(,)k∈Z))；
【说明】利用余弦曲线求解cs α≥a或cs α≤a(|a|<1)的步骤：
1、作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定)；
2、作直线y＝a与函数图像相交；
3、在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据余弦函数周期性确定最终的范围；
题型9、用好余弦型函数的图像解题
例9、（1）已知f(x)＝eq \f(1,2)(sin x＋cs x)－eq \f(1,2)|sin x－cs x|，则f(x)的值域是( )
A．[－1，1] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(2),2)))
【答案】C；
【解析】当sin x≥cs x时，f(x)＝cs x；当sin x即f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x，sin x≥cs x，,sin x，sin x作出函数y＝f(x)的图像，如图实线所示．由图可得函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2))).
（2）已知函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))).
①在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
②把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
【解析】（1）令2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.
令k＝0，x＝－eq \f(π,3)；
令k＝1，x＝eq \f(π,6).
所以函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝eq \f(π,6).
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x－φ＋\f(2π,3)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－2φ)).
因为y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，所以f(0)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2φ))＝0.
所以eq \f(2π,3)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2)(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝eq \f(π,12).
所以φ的最小正值是eq \f(π,12).
【说明】关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
1、fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图像关于x＝x0对称⇔fx0＝A或－A.
2、fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图像关于点x0，0中心对称⇔fx0＝0；
题型10、余弦型函数的综合、创新题
例10、（1）函数f(x)的定义域为[0，1]，则f(cs x)的定义域是________________________
【答案】答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z；
【解析】由0≤cs x≤1得，
2kπ－eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.所以f(cs x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z；
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z；
（2）函数f(x)＝cs(3x＋eq \f(π,6))在[0，π]的零点个数为________．
【答案】 3；
【解析】由题意知，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))＝0，所以3x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(π,9)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，
当k＝0时，x＝eq \f(π,9)；当k＝1时，x＝eq \f(4π,9)；当k＝2时，x＝eq \f(7π,9)，均满足题意，
所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3；
（3）若函数y＝2cs x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
【答案】D；
【解析】
由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cs x的图像与直线y＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC的面积．
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形＝2×2π＝4π，故选D.

1、函数y＝－3cs x＋2的值域为
【答案】[－1，5] ；
【解析】因为－1≤cs x≤1，所以－1≤－3cs x＋2≤5.
2、若cs x＝2m＋3，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，则m的取值范围是__________________
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，－1))；
【解析】当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))时，cs x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，由2m＋3∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，－1))；
3、若函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是_______________________
【答案】(－π，0]
【解析】因为y＝cs x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
所以只有－π4、若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上的最大值是eq \r(2)，则ω＝________.
【答案】eq \f(3,4)
【解析】∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，即0≤x≤eq \f(π,3)，且0<ω<1，∴0≤ωx≤eq \f(ωπ,3)∴sineq \f(ωπ,3)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(ωπ,3)＝eq \f(π,4)，即ω＝eq \f(3,4).
5、方程x2－cs x＝0的实数解的个数是________．
【答案】2；
【解析】作函数y＝cs x与y＝x2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．
6、把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，则φ的最小正值为
【答案】eq \f(π,3)；
【解析】由题意平移后的函数为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)－φ))，它是偶函数，
因此，当x＝0时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－φ))取得最大值为1或最小值为－1，
故eq \f(4π,3)－φ＝2kπ或(2k＋1)π(k∈Z)，即eq \f(4π,3)－φ＝kπ(k∈Z)．
所以φ＝eq \f(4π,3)－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值eq \f(π,3).
7、函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0,2π]的大致图像为( )
A B C D
【答案】D；
【解析】y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs x，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，,0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，))故选D；
8、对余弦函数y＝cs x的图像，有如下描述：
①向左向右无限延伸；②与y＝sin x的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
【答案】D；
【解析】由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确；
9、若函数f(x)＝cs (ωx＋φ)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为eq \f(π,4)，且x＝eq \f(2π,3)时f(x)有最小值；
（1）求f(x)的解析式；
（2）若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，求f(x)的值域；
【解析】（1）因为函数f(x)的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为eq \f(π,4)，所以eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)，
所以f(x)的周期为T＝π，即eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2；
又因为x＝eq \f(2π,3)时f(x)有最小值，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，
所以eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ＋π，解得φ＝2kπ－eq \f(π,3)，
因为|φ|所以f(x)的解析式f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
（2）因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，
当2x－eq \f(π,3)＝π时，f(x)取得最小值－1，当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值eq \f(\r(3),2)，
所以f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2))).
10、已知f(x)＝2＋acs x(a≠0)；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数的最小正周期．
【解析】（1）因为f(x)＝2＋acs x(a≠0)的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝2＋acs x为偶函数．
（2）因为f(x)＝cs x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的．
所以当a＞0时，f(x)＝2＋acs x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
当a＜0时，f(x)＝2＋acs x的递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，递减区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.
（3）由f(x＋2π)＝f(x)知f(x)＝2＋acs x的最小正周期为2π；三角函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝csx
正切函数y＝tanx
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最大值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
无最值
最小值
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1
无最值
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递增；
在 [(2k－1)π，2kπ]
(k∈Z)上递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
(k∈Z)上递增
单调减区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递减
在 [2kπ，(2k＋1)π]
(k∈Z)上递减
无
图像
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图像
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
图像
对称性
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ，k∈Z
x
－eq \f(π,6)
eq \f(2π,6)
eq \f(5π,6)
eq \f(8π,6)
eq \f(11π,6)
μ＝x＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝cs μ
1
0
－1
0
1