专题09 解三角形（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

这是一份专题09 解三角形（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册），文件包含专题09解三角形原卷版docx、专题09解三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。


一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
3、解三角形
正弦定理：；
余弦定理：，，；
三角形面积公式：；
二、考点解读
1、正弦定理
三角形的各边和它所对角的正弦之比相等；即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)；
【说明】1、注意：正弦定理的适用范围是什么？
【解析】正弦定理对任意三角形都成立；
2、理解在△ABC中，eq \f(a,sin A)、eq \f(b,sin B)、eq \f(c,sin C)各自等于什么？
【解析】eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为三角形的外接圆半径)．
2、解斜三角形
（1）解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程；
（2）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题：
①已知两角与任一边，求其他两边和一角；
②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
【说明】理解正弦定理的主要功能是什么？
【解析】正弦定理实现了三角形中边角关系的转化；
3、正弦定理扩充及其变形
（1）扩充定理内容：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为外接圆半径)．
（2）正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
②eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
③a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
④sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
【说明】在△ABC中，已知acs B＝bcs A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
【解析】可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acs B＝2Rsin Bcs A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acs B－cs Asin B＝0.
4、对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明
5、三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
（1）S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半；
（2）S△ABC＝eq \f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长；
（3）S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq \f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长；
6、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccs_A，
b2＝c2＋a2－2cacs_B，
c2＝a2＋b2－2abcs_C.
【说明】1、根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcs C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
【解析】当a＝b＝c时，C＝60°，
7、余弦定理的变形
（1）余弦定理的变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
（2）余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2【说明】勾股定理和余弦定理有何联系与区别？
【解析】二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．
1、正弦定理、余弦定理；
2、正弦定理的三个应用：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；
（3）判断三角形的形状；
3、三角形中常用的面积公式
4、在△ABC中，常有以下结论：
（1）∠A＋∠B＋∠C＝π.
（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（3）a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A（4）sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；tan(A＋B)＝－tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
（5）三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
（6）三角形中的面积S＝eq \r(p(p－a)(p－b)(p－c))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)(a＋b＋c))).
题型1、尝试正弦定理的推导及其相关证明
例1、（1）在钝角△ABC中，证明正弦定理．
（2）如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq \f(a,sin A)＝2R；
【说明】1、注意利用任意角的正弦比值的定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固；
2、要证eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD；初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力；
题型2、已知两角及一边解三角形
例2、（1）在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
（2）在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形；
【说明】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路：
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角.
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边；
题型3、已知两边及一边的对角解三角形
例3、（1）在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则角C等于( )
A．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
（2）在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
【说明】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路：
1、首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
2、如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
3、如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论；
题型4、利用正弦定理判断三角形形状
例4、（1）在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状；
（2）在△ABC中，若“b＝acs C”，试判断△ABC的形状；
【说明】1、判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系；
2、注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)等；
题型5、利用正弦定理判断三角形解的个数的判断
例5、（1）满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是( )
A．k＝8eq \r(3) B．0＜k≤12
C．k≥12 D．0＜k≤12或k＝8eq \r(3)
（2）已知在△ABC中，a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°；判断三角形是否有解，有解的作出解答；
【说明】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值不等于1时在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求；
题型6、利用正弦定理计算三角形的面积
例6、（1）在△ABC中，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.
（2）在△ABC中，AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．
【说明】已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，
三角形的面积公式为S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
题型7、利用余弦定理已知两边与一角解三角形
例7、（1）在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形；
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a.
【说明】已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解；
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好；
题型8、利用余弦定理已知三边解三角形
例8、（1）在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C；
（2）已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC的各角的大小；
【说明】1、已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一；
2、若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解；
题型9、正、余弦定理的综合应用
例9、（1）在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状；
（2）在△ABC中，若acs A＋bcs B＝ccs C，判断△ABC的形状；
（3）在△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg eq \r(2)且B为锐角，判断△ABC的形状；
【说明】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状；
1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝________.
2、在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝________.
3、在△ABC中，若a＝5，c＝4，cs A＝eq \f(9,16)，则b＝________.
4、在△ABC中，a＝3，b＝eq \r(7)，c＝2，则B＝________.
5、在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为_____________三角形．
6、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝
7、在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
8、已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2eq \r(2) D．2＜x＜2eq \r(3)
9、已知在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形．
10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sin D＝2CD·sin B．
（1）求证：BC＝2CD；
（2）若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝bsin A；
②a≥b
一解
bsin A两解
a无解