七年级数学下册高分突破专题13二元一次方程组的解法高分突破(三大类型)(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册高分突破专题13二元一次方程组的解法高分突破(三大类型)(原卷版+解析)，共43页。


技巧1：巧用整体代入法
技巧2：反复运用加减法
技巧3：巧用换元法
典例分析
【类型1：巧用整体代入法】
【典例1】（2022秋•新乡期末）已知二元一次方程组，则2x+y的值为（ ）
A．﹣2B．0C．6D．8
【变式1-1】（2022秋•秦都区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-2】（2022秋•峄城区校级期末）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6
【变式1-3】（2022秋•天桥区期末）方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣
【典例2】（2022秋•佛山校级期末）已知的解是，则的解为 ．
【变式2-1】（2022秋•深圳期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ．
【变式2-2】（2022•定海区校级模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【类型2：反复运用加减法】
【典例3】（2022春•渝水区校级期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3．
x+y③．
③×14得14x+14y＝14④．
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1．
原方程组的解是（1）请运用上述方法解方程组；
（2）请直接写出方程组的解是 ；
（3）猜测关于x，y的方程组（m≠n）的解，并加以验证．
【变式3-1】（2022•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 ．
【变式3-2】（2022春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是．
请你运用小曼的方法解方程组．
【类型3：巧用换元法】
【典例4】（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
解方程组．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：．
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【变式4-1】（2021春•奎文区期中）阅读题：解方程组
解：设x+5＝m，y﹣4＝n，则原方程可化为
解得，即，所以
这种解方程组的方法叫换元法．
（1）运用上述方法解方程组
（2）已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解．
【变式4-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）先阅读，再解方程组．
解方程组．
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为．解得，即．
∴原方程组的解为．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组的解是，求方程组的解．
（2）用换元法解方程组（其中|x|≠|y|）．
真题再现
1．（2023•市中区开学）若x，y满足方程组，则x+y＝ ．
2．（2022秋•龙华区期末）已知方程组的解为，则m+n的值为 ．
3．（2023•南岸区校级开学）关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝9，则m的值为 ．
4．（2022秋•济阳区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为 ．
5．（2022秋•渠县期末）若方程组的解满足x﹣y＝﹣1，则a的值为 ．
6．（2022秋•滕州市期末）已知a，b满足方程组，则3a+b的值为 ．
7．（2022秋•东营区期末）已知方程组的解满足x+y＝3，则k的值为 ．
8．（2022秋•山亭区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为，解得∴，∴原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
9．（2022春•朝天区期末）阅读探索：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为解得即，解得，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；
（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
10．解方程组，由①，得x﹣y③．然后将③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，从而进一步求解．这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法求的解．
11．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为，解得，即：，此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组；
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解．
12．（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料：
解方程组：；
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小亮补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：．
13．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
【类比迁移】（1）若，则2x+3y+4z＝ ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
14．（2022春•华安县校级月考）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．
15．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．
解方程组
时，
可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组．
16．（2021春•珠海校级期中）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形为4x+2y+y＝6，即2（2x+y）+y③，把方程①代入方程③，得：2×0+y＝6，所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝﹣3，所以方程组的解为．
请你解决以下问题：利用“整体代入”法解方程组．
17．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
[类比迁移]
（1）直接写出方程组的解．
（2）若，求x+y+z的值．
[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？
18．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组
（2）已知，求x+y+z的值
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1．
把x＝1代入②得：y＝0．
所以方程组的解为
（2）①×2得：8x+6y+4z＝20．③
②﹣③得：x+y+z＝5．
【类比迁移】
（1）若，则x+2y+3z＝ ．
（2）解方程组
【实际应用】
打折前，买39件A商品，21件B商品用了1080元．打折后，买52件A商品，28件B商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
19．（2022春•永春县月考）数学方法：
解方程组：，若设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
20．（2022春•普陀区校级期中）用换元法解方程组：．
21．（2020春•天宁区校级期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解化解之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）方程组的解为 ．
（2）关于x，y二元一次方程组的解为，
则方程组的解为 ．
（3）解方程组．
（4）求（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣97﹣98）（2+3+4+5+6+……+98+99）﹣（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣98﹣99）（2+3+4+5+6+……+98）的值．
22．（2022春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组，（a≠b）的解是 ．
23．（2021春•娄底月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3，∴x+y＝1③，
③×14得14x+14y＝14④，
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1，
∴原方程组的解是．
（1）请你运用上述方法解方程组；
（2）请你直接写出方程组的解是 ．
（3）猜测关于x，y的方程组的解是什么，并用方程组的解加以验证（m≠n≠0）．
24．（2021春•西岗区期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 ；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．
25．（春•大余县期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
26．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①，得3x+3y＝3，所以x+y＝1，③
③×14，得14x+14y＝14，④
①﹣④，得y＝2，从而得x＝﹣l．
所以原方程组的解是
请你运用上述方法解方程组：．
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1．
把x＝1代入②得：y＝0．
所以方程组的解为
（2）已知，求x+y+z的值．
解：（2）①×2得：8x+6y+4z＝20③
②﹣③得；x+y+z＝5
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3
把x＝1代入②得：y＝0
所以方程组的解为
（2）已知，求x+y+z的值．
解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③
③÷4得x+y+z＝4
专题13 二元一次方程组的解法高分突破（三大类型）
直击考点
技巧1：巧用整体代入法
技巧2：反复运用加减法
技巧3：巧用换元法
典例分析
【类型1：巧用整体代入法】
【典例1】（2022秋•新乡期末）已知二元一次方程组，则2x+y的值为（ ）
A．﹣2B．0C．6D．8
【答案】D
【解答】解：，
①+②得：2x+y＝8．
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•秦都区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：，
②+③得，2x＝2，解得x＝1；
把x＝1代入③得，y＝﹣1．
把x＝1，y＝﹣1代入方程①得，4+2＝k+1，解得k＝5．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•峄城区校级期末）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6
【答案】B
【解答】解：，
①+②，得3x﹣3y＝6，
两边都除以3得：x﹣y＝2，
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•天桥区期末）方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣
【答案】C
【解答】解：，
①+②得，x+y＝k+1，
由题意得，k+1＝2，
解答，k＝1，
故选：C．
【典例2】（2022秋•佛山校级期末）已知的解是，则的解为 ．
【答案】
【解答】解：∵的解是，
∴，
∴的解为，
故答案为：．
【变式2-1】（2022秋•深圳期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ．
【答案】
【解答】解：根据题意得：，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（2022•定海区校级模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【解答】解：把代入得，
①+②得2（a1+a2）+3（b1+b2）＝c1+c2⑤，
③+④得（a1+a2）（x+y）+（b1+b2）（x﹣y）＝2（c1+c2）⑥，
把⑤代入⑥得（a1+a2）（x+y）+（b1+b2）（x﹣y）＝4（a1+a2）+6（b1+b2），
∴，
解得．
故答案为：．
【类型2：反复运用加减法】
【典例3】（2022春•渝水区校级期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3．
x+y③．
③×14得14x+14y＝14④．
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1．
原方程组的解是（1）请运用上述方法解方程组；
（2）请直接写出方程组的解是 ；
（3）猜测关于x，y的方程组（m≠n）的解，并加以验证．
【解答】解：，
②﹣①得：3x+3y＝3，
∴x+y＝1③，
③×2015得：2015x+2015y＝2015④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
所以原方程组的解是：．
（2），
②﹣①得，9000x+9000y＝9000，
∴x+y＝1③，
③×998得，998x+998y＝998④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以原方程组的解是：，
故答案为：，
，
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边；
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
∴是原方程组的解．
【变式3-1】（2022•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 ．
【解答】解：（1），
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得：1997x+1997y＝1997，
得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1，
所以这个方程组的解是；
（2）这个方程组的解是．
故答案为：．
【变式3-2】（2022春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是．
请你运用小曼的方法解方程组．
【解答】解：②﹣①得，20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得，1997x+1997y＝1997④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以这个方程组的解是．
【类型3：巧用换元法】
【典例4】（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
解方程组．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：．
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【解答】解：（2）设﹣1＝x，+2＝y，
∴原方程组可变为：
，
解这个方程组得：，
即：，
所以：；
（3）设，
可得：，
解得：．
【变式4-1】（2021春•奎文区期中）阅读题：解方程组
解：设x+5＝m，y﹣4＝n，则原方程可化为
解得，即，所以
这种解方程组的方法叫换元法．
（1）运用上述方法解方程组
（2）已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解．
【解答】解：（1）设x﹣1＝m，y+2＝n，则方程组可化为，
解得：，即，
所以；
（2）根据题意得：5（x+2）＝5，3（y﹣3）＝3，
解得：．
【变式4-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）先阅读，再解方程组．
解方程组．
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为．解得，即．
∴原方程组的解为．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组的解是，求方程组的解．
（2）用换元法解方程组（其中|x|≠|y|）．
【解答】解：（1）把方程组变形为，
∵方程组的解是，
∴，解得，
∴方程组的解为；
（2）设m＝，n＝，则原方程组化为，解得，
即x+y＝，x﹣y＝1，
解方程组，解得，
所以原方程组的解为
真题再现
1．（2023•市中区开学）若x，y满足方程组，则x+y＝ ．
【答案】3
【解答】解：，
①﹣②，得（2x﹣3y）﹣（x﹣4y）＝1﹣（﹣2），
2x﹣3y﹣x+4y＝1+2，
x+y＝3．
故答案为：3．
2．（2022秋•龙华区期末）已知方程组的解为，则m+n的值为 ．
【答案】8
【解答】解：把代入，
得：，
①+②得：3m+3n＝24，
∴m+n＝8，
故答案为：8．
3．（2023•南岸区校级开学）关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝9，则m的值为 ．
【答案】5
【解答】解：，
②×4得：4x﹣16y＝12m﹣24……③，
③﹣①得：﹣15y＝5m﹣25，
解得：y＝，
将y＝代入①得：4x﹣＝7m+1，
解得：x＝，
将x＝，y＝代入x﹣y＝9中得，
，
解得：m＝5，
故答案为：5．
4．（2022秋•济阳区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为 ．
【答案】5
【解答】解：方程组的解为．
将代入4x﹣2y＝k+1得：4×1﹣2×（﹣1）＝k+1，
解得：k＝5，
∴k的值为5．
故答案为：5．
5．（2022秋•渠县期末）若方程组的解满足x﹣y＝﹣1，则a的值为 ．
【答案】﹣
【解答】解：，
①﹣②得，2x﹣2y＝4a+4，
即x﹣y＝2a+2，
因为x﹣y＝﹣1，
所以2a+2＝﹣1，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
6．（2022秋•滕州市期末）已知a，b满足方程组，则3a+b的值为 ．
【答案】20
【解答】解：，
①+②得：3a+b＝12+8＝20．
故答案为：20．
7．（2022秋•东营区期末）已知方程组的解满足x+y＝3，则k的值为 ．
【答案】7
【解答】解：，
①+②得：5x+5y＝2k+1，即5（x+y）＝2k+1，
解得：x+y＝，
代入x+y＝3得：2k+1＝15，
解得：k＝7．
故答案为：7．
8．（2022秋•山亭区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为，解得∴，∴原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程可化为，即，
②﹣①得，n＝﹣1，
把n＝﹣1代入②得，，
∴，
∴，
解得．
9．（2022春•朝天区期末）阅读探索：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为解得即，解得，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；
（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
【解答】解：（1）设 ﹣1＝x，+2＝y，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得，
即，
所以；
（3）由题意得，，
解得：．
10．解方程组，由①，得x﹣y③．然后将③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，从而进一步求解．这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法求的解．
【解答】解：，
由①得，2x﹣3y＝2③，
代入②得+2y＝9，
解得y＝4，
把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，
解得x＝7．
故原方程组的解为．
11．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为，解得，即：，此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组；
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解．
【解答】解：（1）设﹣1＝x，+2＝y，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得：，
即：，
所以：；
（2）设，
可得：，
解得：．
12．（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料：
解方程组：；
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小亮补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：．
【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，
将③代入②得：4×1﹣y＝0，
解得y＝4，
把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，
解得x＝5，
故原方程组的解是：；
（2），
整理得：，
把③代入④得：2×2+1+15y＝50，
解得y＝3，
把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，
解得x＝，
故原方程组的解是：．
13．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
【类比迁移】（1）若，则2x+3y+4z＝ 23 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
【解答】解：（1），
得：2x+3y+4z＝23．
故答案为：23；
（2），
由①可得：2x﹣y＝5③，
把③代入②得：，
解得：y＝3，
∴方程组的解为；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，
则（x﹣a）、（y﹣b）、（z﹣c）分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
①÷3，②÷4得：
，
③﹣④得：
13（x﹣a）+4（y﹣b）+（z﹣c）＝102.5，
左右两边乘4得，
52（x﹣a）+16（y﹣b）+4（z﹣c）＝410，
∴比不打折时少花了410元．
14．（2022春•华安县校级月考）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．
【解答】解：将方程②变形为：9x﹣6y+2y＝19，即
3（3x﹣2y）+2y＝19③，
将方程①整体代入③中，得
3×5+2y＝19，
解得：y＝2，
将y＝2代入①，得
3x﹣2×2＝5，
解得：x＝3，
∴方程组的解是．
15．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．
解方程组
时，
可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组．
【解答】解：，
由①得，2x﹣3y＝2③，
代入②得+2y＝9，
解得y＝4，
把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，
解得x＝7．
故原方程组的解为．
16．（2021春•珠海校级期中）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形为4x+2y+y＝6，即2（2x+y）+y③，把方程①代入方程③，得：2×0+y＝6，所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝﹣3，所以方程组的解为．
请你解决以下问题：利用“整体代入”法解方程组．
【解答】解：．
将方程②变形为x+6x﹣3y＝20，即x+3（2x﹣y）＝20③，
把方程①代入方程③，得x+15＝20，
所以x＝5，
把x＝5代入方程①得y＝5，
所以方程组的解为．
17．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
[类比迁移]
（1）直接写出方程组的解．
（2）若，求x+y+z的值．
[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？
【解答】解：（1），把②代入①中，得：
3×2+4＝2a，解得：a＝5，
把a＝5代入②中，得b＝3，
∴方程组的解为．
（2），①﹣②得：4x+4y+4z＝4，
∴x+y+z＝1．
[实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，
根据题意得：36x+12y＝960，
两边同时乘以，得：45x+15y＝1200，
1200﹣1100＝100（元），
答：比不打折少花了100元．
18．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组
（2）已知，求x+y+z的值
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1．
把x＝1代入②得：y＝0．
所以方程组的解为
（2）①×2得：8x+6y+4z＝20．③
②﹣③得：x+y+z＝5．
【类比迁移】
（1）若，则x+2y+3z＝ ．
（2）解方程组
【实际应用】
打折前，买39件A商品，21件B商品用了1080元．打折后，买52件A商品，28件B商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
【解答】解：【类比迁移】（1），
（①+②）÷2，得：x+2y+3z＝18．
故答案为：18．
（2），
由①得：2x﹣y＝2③，
将③代入②中得：1+2y＝9，解得：y＝4，
将y＝4代入①中得：x＝3．
∴方程组的解为．
【实际应用】设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，
根据题意得：39x+21y＝1080，
即13x+7y＝360，
将两边都乘4得：52x+28y＝1440，
1440﹣1152＝288（元）．
答：比不打折少花了288元．
19．（2022春•永春县月考）数学方法：
解方程组：，若设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【解答】解：（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：．
故方程组的解为：．
20．（2022春•普陀区校级期中）用换元法解方程组：．
【解答】解：设＝a，＝b，根据题意，得：
，
解得，
∴，，
∴，
①+②，得2x＝，
解得x＝，
把x＝代入①，得y＝，
故原方程组的解为．
21．（2020春•天宁区校级期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解化解之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）方程组的解为 ．
（2）关于x，y二元一次方程组的解为，
则方程组的解为 ．
（3）解方程组．
（4）求（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣97﹣98）（2+3+4+5+6+……+98+99）﹣（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣98﹣99）（2+3+4+5+6+……+98）的值．
【解答】解：（1）设m＝，n＝，则原方程组可化为，
解得，，
即，
解得，；
故答案为：；
（2）根据题意得，
解得，；
故答案为：；
（3）设2x＝A，3y＝B，则原方程组可化为，
解得，，
∴，
解得，；
（4）设2+3+4+…+97+98＝t，则原式变形为：
（1﹣t）（t+99）﹣（1﹣t﹣99）t
＝t+99﹣t2﹣99t﹣t+t2+99t
＝99．
22．（2022春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组，（a≠b）的解是 ．
【解答】解：（1），
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1996：1996x+1996y＝1996④，
（①﹣④）÷3得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是；
（2）
②﹣①得：（b﹣a）x+（b﹣a）y＝b﹣a，即x+y＝1③，
③•a得：ax+ay＝a④，
（①﹣④）÷4得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
这个方程组的解是．
故答案为：．
23．（2021春•娄底月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3，∴x+y＝1③，
③×14得14x+14y＝14④，
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1，
∴原方程组的解是．
（1）请你运用上述方法解方程组；
（2）请你直接写出方程组的解是 ．
（3）猜测关于x，y的方程组的解是什么，并用方程组的解加以验证（m≠n≠0）．
【解答】解：，
②﹣①得：3x+3y＝3，
∴x+y＝1③，
③×2015得：2015x+2015y＝2015④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
所以原方程组的解是：．
（2），
②﹣①得，9000x+9000y＝9000，
∴x+y＝1③，
③×998得，998x+998y＝998④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以原方程组的解是：．
，
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边；
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
∴是原方程组的解．
24．（2021春•西岗区期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 ；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．
【解答】解：（1），
②﹣①得，20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得，1997x+1997y＝1997④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以这个方程组的解是．
（2）猜想方程组的解为是．
，
看原方程组中第一个方程，y的系数比x的系数大2，等号右边的数比x的系数大4，第二个方程也是这样的关系，再观察新的方程组也同样呈现第一个方程组的特点，
故原方程组的解为．
（3）由（2）得方程组的解为．所写方程组未知数的系数大于100即可，
∴满足题意的方程组为（答案不唯一）．
25．（春•大余县期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
【解答】解：（1）②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×2005得：2005x+2005y＝2005④
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1
所以原方程组的解是：
（2）
（3）
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边
∴是原方程组的解．
26．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①，得3x+3y＝3，所以x+y＝1，③
③×14，得14x+14y＝14，④
①﹣④，得y＝2，从而得x＝﹣l．
所以原方程组的解是
请你运用上述方法解方程组：．
【解答】解：，
②﹣①得，3x+3y＝3，
x+y＝1③，
①﹣③×2008得y＝2，
将y＝2代入③得x+2＝1，解得x＝﹣1．
所以原方程组的解是．
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1．
把x＝1代入②得：y＝0．
所以方程组的解为
（2）已知，求x+y+z的值．
解：（2）①×2得：8x+6y+4z＝20③
②﹣③得；x+y+z＝5
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3
把x＝1代入②得：y＝0
所以方程组的解为
（2）已知，求x+y+z的值．
解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③
③÷4得x+y+z＝4