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七年级数学下册高分突破专题08平面直角坐标系中图形面积的求法(3大类型)(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册高分突破专题08平面直角坐标系中图形面积的求法(3大类型)(原卷版+解析)，共33页。
【方法指导】
1．补全法：构造矩形，算出矩形的面积，减去相应的三角形的面积即可．
2. 切割法：将图形切割成易算面积的若干部分，分别计算、再相加。
典例分析
【典例1】2022春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 ．
【变式1-1】（2022春•开福区校级期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
【变式1-2】（2022春•郯城县期末）（1）探究：
①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为： ．
若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝ （用含m、n的式子表示）．
（2）应用：
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F．
①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝ ；
②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【典例2】（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
【变式2-1】（2021春•扎兰屯市期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【变式2-2】（2022春•琼海期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 上 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例3】（2021春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2020春•黄陵县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
真题再现
1．（2022春•惠州期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
2.（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
3．（2022春•天山区校级期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各顶点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）求出△ABC的面积．
4．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
6．（2021春•黄石期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′、B′、C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
7．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021春•三亚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．
10．（2021春•金州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
11．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（林期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021春•交城县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
专题08 平面直角坐标系中图形面积的求法（3大类型）
解题思路
【方法指导】
1．补全法：构造矩形，算出矩形的面积，减去相应的三角形的面积即可．
2. 切割法：将图形切割成易算面积的若干部分，分别计算、再相加。
典例分析
【典例1】2022春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
（2）P′（a+4，b﹣3），
故答案为：（a+4，b﹣3）．
【变式1-1】（2022春•开福区校级期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1），
故答案为：1，3，2，0，3，1；
（2）P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：x﹣4，y﹣2；
（3）△A'B'C'的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
【变式1-2】（2022春•郯城县期末）（1）探究：
①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为： ．
若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝ （用含m、n的式子表示）．
（2）应用：
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F．
①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝ ；
②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）②∵P（0，﹣2）、Q（0，3），
∴线段PQ的长度＝|﹣2﹣3|＝5．
∵M（0，m）、N（0，n），
∴MN＝|m﹣n|（用含m、n的式子表示）．
故答案为：5，|m﹣n|；
（2）①如图，△DEF即为所求，S△ABC＝5×6﹣×6×3﹣×1×2﹣×5×5＝7.5；
故答案为：7.5；
②设N（0，t），则有×|t﹣1|×5＝7.5，解得，t＝4或﹣2，
∴N（0，4）或（0，﹣2）．
【典例2】（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，
∴A（﹣3，0），B（0，4）．
（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵S△ABC＝•BC•OA＝12，
∴BC＝8，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴OC＝4，C（0，﹣4）．
【变式2-1】（2021春•扎兰屯市期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3
＝12﹣4﹣1﹣3
＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣2|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）
【变式2-2】（2022春•琼海期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 上 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
（2）如图，
（3）存在．设P（0，m），由题意×|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．
【典例3】（2021春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0、6，8、0 （2）AP＝8﹣2t（0≤t＜4），AP＝2t﹣8（4≤t≤7）
（3）3秒和5秒
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），
故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC
∴（8﹣2t）×6＝×8×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6
∴（2t﹣8）×6＝×8×6，
解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，
【变式3-1】（2020春•黄陵县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8 （2）F（1，0）或（5，0）
【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）
S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
【变式3-2】（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP＝×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等
真题再现
1．（2022春•惠州期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×5﹣×3×5﹣×2×3﹣×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
2.（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
（3）△ABC的面积＝．
3．（2022春•天山区校级期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各顶点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）如图所示：A1（2，1）、B1（7，4）、C1（4，5）；
（3）△ABC的面积：4×51×3﹣3×5﹣×4×2＝7．
4．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）；
（2）四边形ABCD的面积＝4×6﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×4＝14．
5．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；
（3）S五边形ABCDE＝3×4﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×1
＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5
＝8
6．（2021春•黄石期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′、B′、C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；
（2）S△ABC＝×（3+1）×3＝6；
（3）设点P坐标为（0，y），
∵BC＝4，点P到BC的距离为|y+2|，
由题意得×4×|y+2|＝6，
解得y＝1或y＝﹣5，
所以点P的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．
7．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，
∴A（﹣3，0），
B（0，4），
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，，
∴BC＝8，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4）；
（3）存在，
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），
∴BC上的高OP为，
∴点P的坐标（，0）或（﹣，0）．
8．（2021春•三亚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）
S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
9．（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．
【解答】解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S＝S△OED+SEFCD+S△CFB
＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF+×FC×FB．
＝×2×8+×（8+4）×5+×2×4＝42．
故四边形ABCD的面积为42平方单位．
10．（2021春•金州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥CD，交DC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）
∴D（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4），OB＝4．
∴AD＝5，CD＝2，BE＝3，CE＝2，DE＝4，BF＝2，AF＝4．
∴S△ABC＝S矩形ADEF﹣S△ACD﹣S△BCE﹣S△ABF
＝＝＝8．
答：△ABC的面积是8．
（2）①根据题意得：AP＝|m﹣2|；
故答案为：|m﹣2|；
②∵S△PAB＝2S△ABC
∴
∴AP＝|m﹣2|＝8，
∴m﹣2＝8或m﹣2＝﹣8，
∴m＝10或m＝﹣6；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝﹣，b＝；
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
方法二：如图2，
由（1）可知，S△ABC＝8，
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2），
∴OA＝2，OB＝4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝BD×3+BD×2＝8，
∴BD＝，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣＝，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
11．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0及（c﹣4）2≥0
可得：a＝2，b＝3，c＝4；
（2）∵×2×3＝3，×2×（﹣m）＝﹣m，
∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m
（3）因为×4×3＝6，
∵S四边形ABOP＝S△ABC
∴3﹣m＝6，
则 m＝﹣3，
所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC．
12．（林期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3．
故a的值是2，b的值是3；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N．
四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB
＝MN•OA+OA•OB
＝×（﹣m）×2+×2×3
＝﹣m+3；
（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．
∴S△ABN＝4.5，
①当N在x轴负半轴上时，
设N（x，0），则
S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，
解得x＝﹣1.5；
②当N在y轴负半轴上时，
设N（0，y），则
S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，
解得y＝﹣1．
∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
13．（2021春•交城县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC＝•BC•AO＝×6×2＝6．
故答案为6．
（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．
S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC
＝×2×5+×4×4﹣×2×4＝9．
②由题意：×2×|m|＝×2×4，
解得m＝±4，
∴P（﹣4，3）或（4，3）．
【方法指导】
1．补全法：构造矩形，算出矩形的面积，减去相应的三角形的面积即可．
2. 切割法：将图形切割成易算面积的若干部分，分别计算、再相加。
典例分析
【典例1】2022春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 ．
【变式1-1】（2022春•开福区校级期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
【变式1-2】（2022春•郯城县期末）（1）探究：
①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为： ．
若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝ （用含m、n的式子表示）．
（2）应用：
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F．
①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝ ；
②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【典例2】（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
【变式2-1】（2021春•扎兰屯市期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【变式2-2】（2022春•琼海期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 上 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例3】（2021春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2020春•黄陵县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
真题再现
1．（2022春•惠州期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
2.（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
3．（2022春•天山区校级期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各顶点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）求出△ABC的面积．
4．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
6．（2021春•黄石期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′、B′、C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
7．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021春•三亚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．
10．（2021春•金州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
11．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（林期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021春•交城县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
专题08 平面直角坐标系中图形面积的求法（3大类型）
解题思路
【方法指导】
1．补全法：构造矩形，算出矩形的面积，减去相应的三角形的面积即可．
2. 切割法：将图形切割成易算面积的若干部分，分别计算、再相加。
典例分析
【典例1】2022春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
（2）P′（a+4，b﹣3），
故答案为：（a+4，b﹣3）．
【变式1-1】（2022春•开福区校级期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1），
故答案为：1，3，2，0，3，1；
（2）P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：x﹣4，y﹣2；
（3）△A'B'C'的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
【变式1-2】（2022春•郯城县期末）（1）探究：
①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为： ．
若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝ （用含m、n的式子表示）．
（2）应用：
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F．
①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝ ；
②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）②∵P（0，﹣2）、Q（0，3），
∴线段PQ的长度＝|﹣2﹣3|＝5．
∵M（0，m）、N（0，n），
∴MN＝|m﹣n|（用含m、n的式子表示）．
故答案为：5，|m﹣n|；
（2）①如图，△DEF即为所求，S△ABC＝5×6﹣×6×3﹣×1×2﹣×5×5＝7.5；
故答案为：7.5；
②设N（0，t），则有×|t﹣1|×5＝7.5，解得，t＝4或﹣2，
∴N（0，4）或（0，﹣2）．
【典例2】（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，
∴A（﹣3，0），B（0，4）．
（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵S△ABC＝•BC•OA＝12，
∴BC＝8，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴OC＝4，C（0，﹣4）．
【变式2-1】（2021春•扎兰屯市期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3
＝12﹣4﹣1﹣3
＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣2|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）
【变式2-2】（2022春•琼海期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 上 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
（2）如图，
（3）存在．设P（0，m），由题意×|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．
【典例3】（2021春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0、6，8、0 （2）AP＝8﹣2t（0≤t＜4），AP＝2t﹣8（4≤t≤7）
（3）3秒和5秒
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），
故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC
∴（8﹣2t）×6＝×8×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6
∴（2t﹣8）×6＝×8×6，
解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，
【变式3-1】（2020春•黄陵县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8 （2）F（1，0）或（5，0）
【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）
S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
【变式3-2】（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP＝×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等
真题再现
1．（2022春•惠州期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×5﹣×3×5﹣×2×3﹣×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
2.（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
（3）△ABC的面积＝．
3．（2022春•天山区校级期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各顶点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）如图所示：A1（2，1）、B1（7，4）、C1（4，5）；
（3）△ABC的面积：4×51×3﹣3×5﹣×4×2＝7．
4．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）；
（2）四边形ABCD的面积＝4×6﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×4＝14．
5．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；
（3）S五边形ABCDE＝3×4﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×1
＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5
＝8
6．（2021春•黄石期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′、B′、C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；
（2）S△ABC＝×（3+1）×3＝6；
（3）设点P坐标为（0，y），
∵BC＝4，点P到BC的距离为|y+2|，
由题意得×4×|y+2|＝6，
解得y＝1或y＝﹣5，
所以点P的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．
7．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，
∴A（﹣3，0），
B（0，4），
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，，
∴BC＝8，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4）；
（3）存在，
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），
∴BC上的高OP为，
∴点P的坐标（，0）或（﹣，0）．
8．（2021春•三亚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）
S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
9．（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．
【解答】解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S＝S△OED+SEFCD+S△CFB
＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF+×FC×FB．
＝×2×8+×（8+4）×5+×2×4＝42．
故四边形ABCD的面积为42平方单位．
10．（2021春•金州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥CD，交DC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）
∴D（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4），OB＝4．
∴AD＝5，CD＝2，BE＝3，CE＝2，DE＝4，BF＝2，AF＝4．
∴S△ABC＝S矩形ADEF﹣S△ACD﹣S△BCE﹣S△ABF
＝＝＝8．
答：△ABC的面积是8．
（2）①根据题意得：AP＝|m﹣2|；
故答案为：|m﹣2|；
②∵S△PAB＝2S△ABC
∴
∴AP＝|m﹣2|＝8，
∴m﹣2＝8或m﹣2＝﹣8，
∴m＝10或m＝﹣6；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝﹣，b＝；
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
方法二：如图2，
由（1）可知，S△ABC＝8，
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2），
∴OA＝2，OB＝4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝BD×3+BD×2＝8，
∴BD＝，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣＝，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
11．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0及（c﹣4）2≥0
可得：a＝2，b＝3，c＝4；
（2）∵×2×3＝3，×2×（﹣m）＝﹣m，
∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m
（3）因为×4×3＝6，
∵S四边形ABOP＝S△ABC
∴3﹣m＝6，
则 m＝﹣3，
所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC．
12．（林期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3．
故a的值是2，b的值是3；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N．
四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB
＝MN•OA+OA•OB
＝×（﹣m）×2+×2×3
＝﹣m+3；
（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．
∴S△ABN＝4.5，
①当N在x轴负半轴上时，
设N（x，0），则
S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，
解得x＝﹣1.5；
②当N在y轴负半轴上时，
设N（0，y），则
S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，
解得y＝﹣1．
∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
13．（2021春•交城县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC＝•BC•AO＝×6×2＝6．
故答案为6．
（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．
S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC
＝×2×5+×4×4﹣×2×4＝9．
②由题意：×2×|m|＝×2×4，
解得m＝±4，
∴P（﹣4，3）或（4，3）．
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