人教版七年级数学下册专题06实数(原卷版+解析)(重点突围)

这是一份人教版七年级数学下册专题06实数(原卷版+解析)(重点突围)，共35页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26087" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26087 \h 1
\l "_Tc13402" 【考点一 无理数的定义与分类】 PAGEREF _Tc13402 \h 1
\l "_Tc6603" 【考点二 实数的分类】 PAGEREF _Tc6603 \h 2
\l "_Tc14664" 【考点三 实数与数轴】 PAGEREF _Tc14664 \h 4
\l "_Tc25812" 【考点四 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc25812 \h 6
\l "_Tc6108" 【考点五 无理数整数部分的有关计算】 PAGEREF _Tc6108 \h 8
\l "_Tc8878" 【考点六 实数的混合运算】 PAGEREF _Tc8878 \h 9
\l "_Tc1959" 【考点七 程序设计与实数运算】 PAGEREF _Tc1959 \h 10
\l "_Tc13532" 【考点八 新定义下的实数运算】 PAGEREF _Tc13532 \h 12
\l "_Tc5009" 【考点九 与实数运算相关的规律题】 PAGEREF _Tc5009 \h 13
\l "_Tc5223" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5223 \h 16
【典型例题】
【考点一 无理数的定义与分类】
例题：（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）在实数0、、、、、（相邻两个1之间有1个0）中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）在实数 （每两个1之间多一个0 ）中，无理数的个数有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
2．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点二 实数的分类】
例题：（2022秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：
，0，，，，，，
有理数集合：{______}；
无理数集合：{______}；
负实数集合：{______}．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，0，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
2．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）把下列各数填到相应的集合内只填序号：
；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一）
有理数集合：______．
无理数集合：______．
正实数集合：______．
负实数集合：______．
【考点三 实数与数轴】
例题：（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）如图，正方形的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且，则点E表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·广东茂名·八年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【考点四 实数的大小比较】
例题：（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）比较大小：______．
【变式训练】
1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）比较大小：______．
2．（2023春·八年级单元测试）比较大小：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____．
【考点五 无理数整数部分的有关计算】
例题：（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）已知，的整数部分是，的小数部分是，则______．
2．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为，的整数部分为，则的值是______．
【考点六 实数的混合运算】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）计算：．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）计算：．
2．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
【考点七 程序设计与实数运算】
例题：（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入的值为，则输出的结果为______．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是__________．
2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考开学考试）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为2时，输出的y值是______．
（2）当输出的y值为时，请写出两个满足条件的x的值为______和______．
【考点八 新定义下的实数运算】
例题：（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）对于任意两个不相等的实数，，定义运算※如下：，如．
（1）___________．
（2）___________．
【变式训练】
1．（2020·青海·统考中考真题）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）现规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为______．
【考点九 与实数运算相关的规律题】
例题：（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山东青岛·八年级校考期中）在给出的一组数，，，，，，…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）若n为整数，，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
3．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）如图，点、、分别是同一数轴上的三个点，且，、两点对应的实数分别是1和，则点位于下列哪两个相邻整数之间（ ）
A．3和4B．2和3C．1和2D．4和5
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）任何实数，可用表示不大于的最大整数，例如，．现对72进行如下操作：．这样对72只进行3次操作后变为1，只需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是（ ）
A．256B．255C．80D．81
二、填空题
6．（2022秋·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考期末）比较大小：________（填“>”，“<”或“=”）．
7．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在实数，，，，中是无理数的是________．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）已知的整数部分是的小数部分是，则_____．
9．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，边长为，面积为的正方形放置在数轴上，以原点为圆心，为半径，在原点右侧用圆规画出数轴上的一个点A，则点A关于原点的对称点B所表示的实数是______．
10．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如．那么______．
三、解答题
11．（2021春·四川德阳·七年级四川省德阳中学校校考期中）计算：．
12．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）计算：
13．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
14．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期中）把下列各实数填在相应的大括号内：
，，，0，，，，
整数：{ }；
分数：{ }；
无理数：{ }；
负数：{ }．
15．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
16．（2022秋·八年级课时练习）小明做数学题时，发现①；
②，即；
③，即；
④，即，…
（1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想．
（2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！
专题06 实数
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26087" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26087 \h 1
\l "_Tc13402" 【考点一 无理数的定义与分类】 PAGEREF _Tc13402 \h 1
\l "_Tc6603" 【考点二 实数的分类】 PAGEREF _Tc6603 \h 2
\l "_Tc14664" 【考点三 实数与数轴】 PAGEREF _Tc14664 \h 4
\l "_Tc25812" 【考点四 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc25812 \h 6
\l "_Tc6108" 【考点五 无理数整数部分的有关计算】 PAGEREF _Tc6108 \h 8
\l "_Tc8878" 【考点六 实数的混合运算】 PAGEREF _Tc8878 \h 9
\l "_Tc1959" 【考点七 程序设计与实数运算】 PAGEREF _Tc1959 \h 10
\l "_Tc13532" 【考点八 新定义下的实数运算】 PAGEREF _Tc13532 \h 12
\l "_Tc5009" 【考点九 与实数运算相关的规律题】 PAGEREF _Tc5009 \h 13
\l "_Tc5223" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5223 \h 16
【典型例题】
【考点一 无理数的定义与分类】
例题：（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）在实数0、、、、、（相邻两个1之间有1个0）中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：∵
∴，是无理数，共2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）在实数 （每两个1之间多一个0 ）中，无理数的个数有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】B
【解析】
【分析】
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的概念进行判断即可．
【详解】
由无理数的概念知：π，，0.010010001…（每两个1之间多一个0 ）这三个数是无理数．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，一般地：π与有理数的和、差、积（0除外）、商（0除外）的运算结果仍是无理数；开不尽方的数是无理数；形如0.010010001…（每两个1之间多一个0 ）的一类数也是无理数．
2．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，
，，，，，是有理数，
， ，（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：或含有的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如（每两个之间依次多一个）这样的数也是无理数．
【考点二 实数的分类】
例题：（2022秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：
，0，，，，，，
有理数集合：{______}；
无理数集合：{______}；
负实数集合：{______}．
【答案】见解析．
【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答．
【详解】解∶ 在，0，，，，，，
中，，，，
有理数集合∶；
无理数集合∶ ；
负实数集合∶ ．
【点睛】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，0，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
【答案】无理数集合：，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）；正实数集合：，，
【分析】先化简，，再根据实数的分类方法把各数据填入表格即可．
【详解】解：∵，，
再把各数填入表格如下图：
【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的分类，无理数的含义，掌握“实数的分类”是解本题的关键．
2．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）把下列各数填到相应的集合内只填序号：
；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一）
有理数集合：______．
无理数集合：______．
正实数集合：______．
负实数集合：______．
【答案】；；；
【分析】运用实数的概念进行逐一分类、辨别．
【详解】解：；；：；；；是有理数，
；；是无理数，
；：；；；是正实数，
；；是负实数，
有理数集合：．
无理数集合：．
正实数集合：．
负实数集合：．
故答案为：，，，．
【点睛】此题考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．
【考点三 实数与数轴】
例题：（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）如图，正方形的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且，则点E表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，点的坐标为1，故点的坐标为．
【详解】解：正方形的面积为7，即，
，
，
，
点表示的数为1，
点表示的数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题，算术平方根，关键是结合题意求出．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据正方形的面积为5，即可求得它的边长为，再根据点A表示的数为1，，即可求解．
【详解】解：正方形的面积为5，
它的边长为，
点A表示的数为1，，
点所表示的数为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求数轴上的点所表示的数，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
2．（2022秋·广东茂名·八年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，，
∴，
又∵点C在点A的左边，
∴点C表示的数为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
【考点四 实数的大小比较】
例题：（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）比较大小：______．
【答案】
【分析】先求出两者的差，根据差的正负即可比较大小.
【详解】解：，
，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）比较大小：______．
【答案】
【分析】先估算出的范围，再求出以及的范围，然后比较大小即可；
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算以及实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）比较大小：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____．
【答案】
【分析】（1）先把和分别平方，然后再进行大小比较．
（2）先把和分别平方，然后再进行大小比较．
（3）先把和分别平方，然后再进行大小比较．
（4）先求出和的倒数，然后进行大小比较．
【详解】解：（1），，
，
（2），，
，
（3），，
，
（4），，
而，
，
故答案为： ，，，．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用平方法或倒数法进行比较大小．
【考点五 无理数整数部分的有关计算】
例题：（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
【答案】##
【分析】直接利用的范围，得出的值，进而求出答案．
【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）已知，的整数部分是，的小数部分是，则______．
【答案】##
【分析】先估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
的整数部分，
又，
的整数部分是，小数部分为，即，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提．
2．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为，的整数部分为，则的值是______．
【答案】3
【分析】先求出的整数部分，进而得出小数部分，即a的值，再通过计算得出的整数部分，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查无理数的估算问题，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分．
【考点六 实数的混合运算】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】先计算立方根、化简绝对值、计算算术平方根，然后进行合并即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．注意引入无理数后有理数的一些运算法则和性质仍然适用．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）计算：．
【答案】
【分析】先根据算术平方根的定义、立方根的定义，绝对值的意义，乘方运算法则进行化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义、立方根的定义，绝对值的意义，乘方运算法则，准确计算．
2．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算法则化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：



；
（2）解：

．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算法则，是解题的关键．
【考点七 程序设计与实数运算】
例题：（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入的值为，则输出的结果为______．
【答案】
【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：输入的值为，取立方根为，是有理数，
则取的算术平方根为，是有理数，
则取的立方根为，是无理数，
所以输出的的结果为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是__________．
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是8时，取立方根是2，2是有理数，
再把2输入，2的立方根是，是无理数，
所以输出是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是注意读懂数值转换器．
2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考开学考试）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为2时，输出的y值是______．
（2）当输出的y值为时，请写出两个满足条件的x的值为______和______．
【答案】 3 9
【分析】（1）将x=2代入程序进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义进行取值．
【详解】解：（1）当x=2时，输出y=．
故答案为：；
（2）当x=3时，y=，
当x=9时，=3，3是有理数，不能输出，
是无理数，y=；
故答案为：3；9．
【点睛】此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能辨别无理数．
【考点八 新定义下的实数运算】
例题：（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）对于任意两个不相等的实数，，定义运算※如下：，如．
（1）___________．
（2）___________．
【答案】
【分析】（1）根据新运算公式直接代入即可得到答案；
（2）根据新运算公式直接代入即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意可得，
，
故答案为：，
（2），
故答案为：．
【点睛】本题考查新运算，解题的关键是读懂新运算直接代入计算．
【变式训练】
1．（2020·青海·统考中考真题）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）现规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为______．
【答案】
【分析】根据新定义运算法则，结合算术平方根和立方根的定义，求解即可．
【详解】解：
，
∴的值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根和立方根的定义，解本题的关键在理解新定义运算的运算法则．
【考点九 与实数运算相关的规律题】
例题：（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：用含正整数的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：



．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
【答案】(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山东青岛·八年级校考期中）在给出的一组数，，，，，，…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据实数分类：有理数、无理数和零，再由无理数的定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，，，，，，…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有，，…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的定义及实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）若n为整数，，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
【答案】D
【分析】根据无理数的近似值计算即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查无理数的近似值，能够熟练判断有理数的近似是解题关键．
3．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）如图，点、、分别是同一数轴上的三个点，且，、两点对应的实数分别是1和，则点位于下列哪两个相邻整数之间（ ）
A．3和4B．2和3C．1和2D．4和5
【答案】A
【分析】先求出点C表示的数为，再估算出的范围即可得到答案．
【详解】解：∵，、两点对应的实数分别是1和，
∴，
∴点C表示的数为，
∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确求出点C表示的数为是解题的关键．
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，然后根据的意义可求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算、无理数整数部分的有关计算等知识，是重要考点，难度较易，估算出是解题关键．
5．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）任何实数，可用表示不大于的最大整数，例如，．现对72进行如下操作：．这样对72只进行3次操作后变为1，只需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是（ ）
A．256B．255C．80D．81
【答案】B
【分析】根据用表示不大于的最大整数，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是：255，
故选B．
【点睛】本题考查了新定义，算术平方根，实数大小比较，理解表示不大于的最大整数是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考期末）比较大小：________（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】利用作差法比较大小，即可得到答案．
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：>
【点睛】本题考查实数的比较大小，作差法是常见的方法，掌握方法是解题的关键．
7．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在实数，，，，中是无理数的是________．
【答案】
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：，，，都是有理数，是无理数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）已知的整数部分是的小数部分是，则_____．
【答案】
【分析】估计和的范围即可确定,的值,进而求得的值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是，，
∵的整数部分是的小数部分是，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
9．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，边长为，面积为的正方形放置在数轴上，以原点为圆心，为半径，在原点右侧用圆规画出数轴上的一个点A，则点A关于原点的对称点B所表示的实数是______．
【答案】
【分析】根据开平方，可得a的值，根据圆的性质，可得答案．
【详解】解：∵边长为a的正方形的面积为2，
∴，
∴（负数舍去），
∵正方形放置在数轴上，以原点为圆心，为半径，在原点右侧用圆规画出数轴上的一个点A，
∴ A点表示的是，
∴点A关于原点的对称点B所表示的实数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用开平方得出a的值是解题关键．
10．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如．那么______．
【答案】
【分析】根据定义新运算公式和算术平方根的含义可得答案．
【详解】解：根据题意可得
故答案为：．
【点睛】此题考查的是定义新运算和算术平方根的含义，掌握定义新运算公式和算术平方根的含义是解决此题的关键．
三、解答题
11．（2021春·四川德阳·七年级四川省德阳中学校校考期中）计算：．
【答案】
【分析】首先计算乘方、开方，去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）计算：
【答案】
【分析】先分别化简算术平方根和立方根，绝对值，乘方，再计算加减法．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握化简算术平方根和立方根，绝对值，乘方的计算法则是解题的关键．
13．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为或
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的运算法则求解即可；
（2）根据立方根、平方根和无理数的估算进行求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵的立方根是，
∴ ，
∴，
∴，
∵是16的平方根，
∴，
∴，
∴或，
∵c是的小数部分，
又∵，
∴，
∴或，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的运算法则和无理数的估算，正确地计算是解决本题的关键．
14．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期中）把下列各实数填在相应的大括号内：
，，，0，，，，
整数：{ }；
分数：{ }；
无理数：{ }；
负数：{ }．
【答案】，0；，，；，，1.1010010001；|，
【分析】根据实数的分类进行判断即可．
【详解】解：，；
整数：{，0}；
分数：{，，}；
无理数：{，， }；
负数：{|，}．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数的定义，有理数的定义，无理数的定义．
15．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【答案】(1)3；；
(2)3．
【分析】（1）先将表示出来，再求解即可；
（2）先分别表示出的小数部分，的整数部分，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
即，
∴的整数部分为3，小数部分为，
故答案为：3；；
（2）由题意可知：的小数部分为，
即：，
∵，
∴，
∴的整数部分为5，
即：
∴．
【点睛】本题考查无理数的估算，解题的关键是熟练掌握估算无理数的方法．
16．（2022秋·八年级课时练习）小明做数学题时，发现①；
②，即；
③，即；
④，即，…
（1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想．
（2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！
【答案】（1）；见解析（2），见解析
【分析】（1）参照题目中的计算方法计算即可；
（2）依据题目给出的数字可发现规律，按照题目解题方法验证即可．
【详解】解：（1），
验证：；
（2）由①
②；
③；
④，
……
第n个等式是，
验证：．
【点睛】本题考查了算术平方根的化简，解题关键是理解题目中的解法并会运用．