初中数学冀教版八年级上册17.1 等腰三角形授课课件ppt

这是一份初中数学冀教版八年级上册17.1 等腰三角形授课课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了知识点，等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，观察与思考，等边三角形的性质，特殊的等腰三角形，做一做等内容，欢迎下载使用。
1.进一步认识等腰三角形、等边三角形，了解等腰三角形、等边三角形是轴对称图形.2.能够探索、归纳、验证等腰三角形、等边三角形的性质，并学会应用等腰三角形、等边三角形的性质.3.在探索等腰三角形、等边三角形的性质过程中，感受数学逻辑的必要性，体会数学在现实生活中的广泛应用，认识到数学无处不在，提高学习数学的兴趣.
生活中的“等腰三角形”
在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
如图，在△ABC中，AB＝AC. AB和AC 是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.
顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
点拨：根据等腰三角形的定义可得，等腰三角形的腰长为5或6时，等腰三角形的三边长分别为5，5，6或5，6，6，都符合三角形三边关系．所以这个等腰三角形的周长等于5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.
已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为(　　) A．11　　　 　 　B．16　　 C．17　　　 　 　D．16或17
本题运用分类讨论思想解题．此类问题容易出错的地方是：①忽视三角形的三边关系；②没有注意到分类讨论，直接误认为第三边长为5或者是6，而没有考虑到这两种可能均成立．
(1)我们知道，线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称轴.由AB=AC，可知道点A在BC的中垂线上.据此，你认为△ABC是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？
如图，△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC.
(2)∠B和∠C有怎样的关系？
(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系？
如图，把等腰三角形ABC沿顶角平分线AD折叠，你有什么发现？
不难发现，等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，∠B=∠C，底边上的高、中线和顶角的平分线三线重合.
下面我们来证明等腰三角形的两个底角相等.
已知：在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
证明：如图，作∠A的平分线AD.在△ABD和△ACD中， AB＝AC(已知)， ∵ ∠1＝∠2(角平分线的概念)， AD＝AD (公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
从上面的证明过程中，除了可以得到∠B=∠C之外，还可以得到哪些相等的线段、相等的角？和同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
从上面的证明过程还可以得到： BD=CD(全等三角形的对应边相等)， ∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等). 因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°. 因此，∠A的平分线AD，也是△ABC底边BC上的中线和高.
等腰三角形的性质定理：
性质1：等腰三角形的两个底角相等. (简称“等边对等角”)
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合. (简称“三线合一”)
已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB的平分线. 求证：BD=CE.
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB. ∵∠ABC＝∠ACB(等边对等角)， ∴∠ABD＝∠ACE(等量代换). ∵ AB＝AC(已知)，∠A＝∠A(公共角)， ∴△ABD ≌△ACE( ASA). ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等).
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝MD.
点拨：由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形．
证明：如图，连接AC，AD. 在△ABC和△AED中， ∵ ∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD. 又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，DE，DF分别垂直AB，AC于点E和点F.求证：DE＝DF.
点拨：根据题意连接AD，证明AD三线合一，进而推出DE＝DF.
对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、底边上的中线还是顶角的平分线，可根据解题需要作辅助线； 对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：
1．如图甲的情形，需作底边上的高； 2．如图乙的情形，需作顶角的平分线； 3．如图丙的情形，需作中线； 4．如图丁的情形，需连接AD并延长．
三边都相等的三角形是等边三角形.
因为等边三角形的三边都相等，由等腰三角形的性质“等边对等角”可以得到：等边三角形的三个角都相等，由三角形的内角和是180°，所以等边三角形的每一个内角都是60°.
接下来，运用所学知识，证明你的结论.
1.把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角). 又∵AB＝BC(已知)， ∴∠A＝∠C(等边对等角). ∴∠A＝∠B＝∠C. 在△ABC中, ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
2.等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗?
等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.(一条对称轴)
等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.(三条对称轴)
性质1：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质定理：
性质2：等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合. (简称“三线合一”)
点拨：要证AE＝CD，可通过证明分别含有AE，CD的两个三角形全等来实现，即证明△ABE≌△CBD，条件可从等边三角形中去寻找．
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD， ∠ABC＝∠DBE＝60°. 在△ABE与△CBD中，∵ ∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.
运用等边三角形的性质证明线段相等的方法： 把要证明的两条线段放到一个三角形中，证明其为等腰或等边三角形，或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明； 注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．
1. 如图，在△ ABC 中，若 AB ＝ AC ， AD ＝ BD ，∠ CAD ＝24°，则∠ C ＝ ⁠°.
2. [2023·长春]如图，用直尺和圆规作∠ MAN 的平分线，根 据作图痕迹，下列结论不一定正确的是(　B　)
根据角平分线的作法可知 AD ＝ AE ， DF ＝ EF ，根 据等腰三角形的三线合一可知 AF ⊥ DE ，无法得到 AD ＝ DF ，故选B.