数学八年级上册第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形教学设计及反思

17.1等腰三角形（2）

教学目标

【知识与能力】

1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.

2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算.

【过程与方法】

1.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系.

2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题.

【情感态度价值观】

1.提高学生的动手能力,学会数学说理,发展初步的演绎推理能力.

2.引导学生观察,发现等腰三角形、等边三角形的判定定理,让学生从思考中获得成功,在这个过程中体验学习的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的判定定理.

【教学难点】  

边、角关系互相转化及运用.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件1】　某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点),然后在这棵树的正南方A点插一小旗作标志,沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家只要测得AC的长度就可知河流宽度.

学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形、等边三角形的判定定理”.

导入二:

教师提出问题,引导学生思考.

1.什么样的三角形叫做等腰三角形?

2.等腰三角形的两底角有何关系?

谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形?

除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题.

等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是等腰三角形呢?

[设计意图]　通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到等腰三角形的性质与等腰三角形的判定方法是否存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地投入到学习中.

导入三:

对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法.

二、新知构建：

活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理

　　[过渡语]　我们已经知道如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边是否相等呢?下面我们就来研究这个问题.

1.等腰三角形的判定定理

思路一

【课件2】　已知在ΔABC中,∠B=∠C.

(1)请你作出∠BAC的平分线AD.

(2)将ΔABC沿AD所在直线折叠,ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?

(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系?

学生思考教师提出的问题,得出结论:ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合,AB=AC.

从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.

如何证明?

(1)在这一问题中,条件和结论是什么?

(2)用数学符号怎样表示?

教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.

已知:在ΔABC中,∠B=∠C.

求证:AB=AC.

与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学生逐一尝试,发现可以作AD⊥BC,或AD平分∠ABC,但不能作BC边上的中线.

学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.

证明:如图所示,作ΔABC的角平分线AD.

在ΔBAD和ΔCAD中,

∴ΔBAD≌ΔCAD(AAS),

∴AB=AC.

归纳等腰三角形的判定方法:

如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”.

说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.

[知识拓展]　如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.

思路二

环节一:等腰三角形的判定方法

问题1:你会画等腰三角形吗?

可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中使两边相等,

总结:等腰三角形的判定方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.

问题2:有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法?

若学生回答可以画三角形,使得有两个角相等,引导学生思考问题3;若学生不能想到两角相等,则可以引导学生回忆等腰三角形的性质.

问题3:三角形中的两个角相等,这个三角形是等腰三角形吗?为什么?

环节二:实验

实验目的:画一个三角形,使得其中的两个角相等,剪下来观察是不是等腰三角形.

【课件3】　作法:(1)画一条线段BC;

(2)以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,在BC的同侧,画两个相等的角;

(3)两角终边的交点为点A,那么,在ΔABC中,∠　　　　=∠　　　　; 

(4)找出BC的中点D,连接AD,那么AD是ΔABC的　　　　线; 

(5)沿AD对折,你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来:

　; 

(6)与同学们分享一下你的新发现;

(7)得出结论:　. 

结论:等腰三角形的判定方法2:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”).

如图所示,在ΔABC中,若∠B=∠C,则AB=AC.你能证明这个命题成立吗?

教师引导学生加以证明,一名同学板演过程,教师讲评.

2.等边三角形的判定定理

　　[过渡语]　我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,那么怎样判定一个三角形是等边三角形呢?

探究1:如图所示,ΔABC中,如果∠A=∠B=∠C,那么ΔABC是什么三角形?

等边三角形.为什么?

∵∠A=∠B=∠C,

∴AB=BC=CA(等角对等边).

归纳:等边三角形的判定方法1:

三个角都相等的三角形是等边三角形.

探究2:ΔABC中,如果AB=AC,那么ΔABC还需添加一个什么条件,才能使ΔABC为等边三角形?

有一个角为60°.

等边三角形的判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

说明:先独立猜想,然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证.

[知识拓展]　在判断一个三角形是不是等边三角形时,我们可从边或角的角度去判断,对于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意,其前提条件必须是“等腰三角形”,此时,无论60°是顶角还是底角,都可以说明三角形是等边三角形.

活动二:判定定理的应用

　　[过渡语]　刚才通过探究,我们掌握了等腰三角形的判定方法,利用等腰三角形的判定方法我们可以识别一个三角形是不是等腰三角形,还可以利用它解决一些其他的问题.

1.【课件4】　求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.

引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明.

学生讨论后,自己完成证明过程.

已知:∠CAE是ΔABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示).

求证:AB=AC.

解析:要证明AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.

证明:∵AD∥BC,

∴∠1=∠B(　　　　　　　　　),

∠2=∠C(　　　　　　　　　　),

∵∠1=∠2,

∴∠B=∠C.

∴AB=AC(　　　　　　　　　　　).

　　2.【课件5】

　(教材例2)已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.

如图(1)所示,已知线段a和h.

求作等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.

解:作法:

(1)作线段BC=a.

(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.

(3)在DM上截取DA=h.

(4)连接AC,BC.

则ΔABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.

学生通过例2的学习,自主探究作图方法.

三、课堂小结：

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)

说明:(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆;

(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线;

(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.

2.等边三角形的判定定理

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.

(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.