初中冀教版（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形教学设计

这是一份初中冀教版（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形教学设计，共13页。

课时目标
1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理.
2.了解等边三角形的概念,探索并证明等边三角形的性质定理.
3.能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.
学习重点
探索并证明等腰、等边三角形的性质定理.
学习难点
能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.
课时活动设计
情境引入
在我们的身边,许多物体的形状是两边相等的三角形,如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.
教师提问:在这些图片中,你发现了哪个特殊的三角形?
学生回答:等腰三角形.
教师讲解等腰三角形的相关概念:
1.概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.进一步认识等腰三角形各部分的名称.
在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
设计意图:通过现实生活中的实例,以图片的形式展现在学生面前,给学生带来一定的视觉冲击,激发学生的学习兴趣,同时引入等腰三角形的概念,为本节课所学内容作铺垫.
探究新知
如图,△ABC是等腰三角形,其中,AB=AC.
(1)我们知道,线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴.由AB=AC,可知道点A在BC的中垂线上.据此,你认为△ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?
(2)∠B和∠C有怎样的关系?
(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?
学生分组合作,互相交流讨论,尝试回答上面的问题.
发现1:等腰三角形的两个底角相等.
下面证明两个底角相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
证明:(方法一)作底边上的中线.
作底边的中线AD,则BD=CD.
在△BAD和△CAD中,AB=AC(已知),BD=CD(已作),AD=AD(公共边),
∴△BAD≌△CAD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
(方法二)作顶角的平分线.
作∠BAC的平分线AD,则有∠1=∠2.
在△BAD和△CAD中,AB=AC,∠1=∠2,AD=AD(公共边),
∴△BAD≌△CAD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
你能用一句话阐述等腰三角形的这个性质吗?
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
几何语言:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
发现2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
证明:由发现1,知△BAD≌△CAD,
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高线.
设计意图:提出问题,让学生猜想并验证等腰三角形的性质,同时培养学生互相合作交流意识,提高学生推理能力.
归纳总结
等腰三角形的性质:
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
几何语言:
性质1:如图,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2:如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°.(其他两条同理)
设计意图:通过总结等腰三角形的性质,并规范几何语言,学生能够准确熟练地掌握等腰三角形的性质.培养学生总结归纳能力.
探究新知
除了等腰三角形外,我们以前还接触过一种特殊的三角形为等边三角形,三条边都相等的三角形叫做等边三角形,所以请同学们思考等腰三角形与等边三角形有什么关系?等边三角形又具有什么性质呢?
本过程由学生交流后解答问题.
结论:等边三角形是特殊的等腰三角形,并且等边三角形的三个内角都等于60°.
已知:在△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
总结:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
设计意图:通过学生猜想、讨论并证明等边三角形的相关性质,既巩固等腰三角形的性质定理,又培养学生推理能力,加强学生对等边三角形相关知识的理解.
典例精讲
例 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.求证:BD=CE.
证明:∵BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABD=12∠ABC,∠ACE=12∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∴∠ABD=∠ACE(等量代换).
在△ABD和△ACE中,∠A=∠A,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
设计意图:通过例题的练习,规范学生书写,既加强学生对等腰三角形性质定理的理解和应用,又提高学生演绎推理的能力.
巩固训练
1.回答下列问题,并说明理由.
(1)等腰三角形的底角可以是锐角吗?可以是直角或钝角吗?
(2)等腰三角形的顶角可以是锐角吗?可以是直角或钝角吗?
解:(1)等腰三角形的底角只能是锐角,不能是直角或钝角,因为当底角是直角或钝角时,三角形的内角和大于180°.
(2)等腰三角形的顶角可以是锐角或直角或钝角.因为顶角=180°-2×底面,底角为锐角,所以0°<顶角<180°.
2.已知各等腰三角形底角的度数分别是:
(1)80°;(2)50°;(3)45°;(4)30°.
请分别求出它们顶角的度数.
解:(1)20°;(2)80°;(3)90°;(4)120°.
3.解答下列问题:
(1)一个等腰三角形的一个内角是80°,求这个三角形另外两个内角的度数.
(2)一个等腰三角形的一个内角是100°,求这个三角形另外两个内角的度数.
(3)一个等腰三角形的底角是顶角的一半,求这个三角形各内角的度数.
解:(1)①当80°的角是顶角,则两个底角是50°,50°;
②当80°的角是底角,则顶角是20°.
综上所述,这个三角形另外两个内角的度数是50°,50°或20°,80°.
(2)∵三角形内角和为180°,∴100°只能为顶角.
∴剩下两个角为底角,且他们之和为80°.
∴另外两个内角的度数分别为40°,40°.
(3)设等腰三角形的底角为x°,则顶角是2x°,
可得x+x+2x=180°,解得x=45.
所以这个三角形各内角的度数为45°,45°,90°.
设计意图:学生通过练习,再次加强对等腰三角形的认识,当没有明确说明哪个角是底角时,需要分情况进行讨论,培养学生分类讨论的意识.
课堂小结
1.等腰三角形的性质定理.
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
具有等腰三角形的一切性质,等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
设计意图:通过对本节课所学内容的总结归纳,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第143页习题A组第3,4题,习题B组第1题.
2.七彩作业.
第1课时 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质定理.
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
具有等腰三角形的一切性质,等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
教学反思

第2课时 等腰三角形的判定
课时目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理.
2.运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.
3.会利用尺规作图完成:已知底边及底边上的高作等腰三角形.
学习重点
理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法.
学习难点
运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.
课时活动设计
复习回顾
1.等腰三角形的性质定理:
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质.
设计意图:通过对上节课内容的复习,学生能熟练说出等腰三角形和等边三角形的性质.
探究新知
出示问题,学生动手操作.
我们知道,等腰三角形的两个底角相等.反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形吗?(本问题由学生大胆提出猜想)
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠,△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?
(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系?
猜想:由∠B=∠C,可推出AB=AC.
如何证明你的猜想呢?引导学生将猜想转化为几何语言(已知…求证…)
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.
证明:如图,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠1=∠2,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
注意:可以作BC边上的高线;也可以作∠BAC的平分线,但不可以作BC边的中线.
设计意图:通过学生的操作,让学生经历画图、折叠、观察、思考并获得猜想的过程,初步感知猜想的正确性,培养学生合情推理能力.本次教学活动,可让学生类比证明等腰三角形性质定理的思路和方法,先由学生独立思考,并尝试完成证明过程,再小组交流,教师可参与其中,给与学生一定的帮助,通过学生自主完成判定定理的证明,让学生充分感受判定定理的合理性.
归纳总结
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)
几何语言:
如图,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AC=AB,即△ABC为等腰三角形.
设计意图:通过总结并规范等腰三角形的判定定理,加强学生对等腰三角形的判定定理的理解,能够准确理解掌握该定理.
探究新知
教师提出问题:
那么我们如何判定一个三角形为等边三角形呢?请大家思考.
1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗?说出你的理由.
2.有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗?说出你的理由.
解:(1)三个内角都相等的三角形是等边三角形.
(2)分两种情况进行讨论:
①顶角是60°的等腰三角形,那么每一个底角=180°-60°2=60°,由等角对等边可知,该三角形三边相等,所以是等边三角形.
②一个底角是60°的等腰三角形,那么顶角=180°-60°×2=60°,由等角对等边可知,该三角形三边相等,所以是等边三角形.
综上所述,有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形.
设计意图:学生通过完成问题,得出等边三角形的判定定理,同时培养学生分类讨论意识.
归纳总结
等边三角形的判定定理:
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
设计意图:归纳总结等边三角形的判定定理,加深学生对等边三角形判定定理的理解和掌握,提高学生应用意识.
典例精讲
例 已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图所示,已知线段a和h.
求作:等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.
解:如图所示.
(1)作线段BC=a.
(2)作BC的垂直平分线MD,垂足为D.
(3)在DM上截取DA=h.
(4)连接AB,AC.
△ABC即为所求.
本过程由教师分析讲解,师生一起完成作图过程.
设计意图:学生进行尺规作图,教师在此环节进行分析讲解,最终达成学生会利用尺规作图完成,已知底边及底边上的高线作等腰三角形的目的.提高学生动手操作能力.
巩固训练
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证:△ABD是等腰三角形.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
∴△ABD是等腰三角形.
2.已知:如图,E为△ABC的边BA延长线上的一点,AD∥BC,∠EAD=∠CAD=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠B=∠EAD=60°,∠C=∠CAD=60°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.
∴∠BAC=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
3.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.
求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
设计意图:通过习题的练习,使学生能够熟练应用等腰三角形和等边三角形的判定定理,巩固所学知识.
课堂小结
1.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)
2.等边三角形的判定定理:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
3.尺规作图:已知底边及底边上的高作等腰三角形.
设计意图:通过归纳总结本节课所学内容,加深学生对本节课所学知识的理解,培养学生反思的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第146页习题A组第3,4题,习题B组第1题.
2.七彩作业.
第2课时 等腰三角形的判定
1.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)
2.等边三角形的判定定理:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
3.尺规作图.
教学反思