[数学]湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷(解析版)

这是一份[数学]湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷(解析版)，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知实数列成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为实数列成等比数列，
由等比数列的性质有：，解得，
但注意到无论等比数列的公比是正是负总有，所以，从而
故选：C．
2. 设等差数列的前项和为，公差，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】因为为等差数列的前项和，公差，，
所以，
解得.
故选：B.
3. 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种
A. 24B. 48C. 98D. 114
【答案】D
【解析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有和两种，
当为时，有种，
住同一房间有种，故有种，
当为时，有种，
住同一房间有种，故有种，
则不同的安排方法有种.故选：D．
4. 已知数列是公比不为1的等比数列，且，是与的等差中项，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设数列的公比为q，由题意可得，
所以
解得或（舍去），
故.
故选：B.
5. 已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，即，
则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，
做出函数与函数的图像，如图所示，
当直线与曲线相切时，
又当时，，则，则，则，即且点为，此时，
因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，
所以，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
6. 已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选：A.
7. 若，则的值是（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】A
【解析】当时，；
当时，，
因此．
故选：A.
8. 已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，且，
由于，
所以当时， ，函数在上单调递增，
则,，
所以，
故,，即，即
故选A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【答案】BC
【解析】由图可知，当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在、上单调递减，
在、处取得极大值，在取得极小值
故A错误，B正确，C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 使得成立的最大自然数
C.
D. 中最小项为
【答案】AD
【解析】对于A，根据题意：，，，
两式相加，解得：，故A正确.
对于C，由上可得所以
由，可得到，，
所以，所以，故C错误；
由以上可得：，而，
当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误.
当，或时，；当时，；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：AD.
11. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】对于A，令，，
令，
则，
令，则，
两式相加化简得，
又，所以，所以A错误；
对于B，，
因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，
所以，所以B正确；
对于C，令，，令，
则，
因为，所以，所以C错误；
对于D，展开式所有项系数和为，
令，则，
因为，所以，所以D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在点处的切线方程为，则______．
【答案】
【解析】由函数，可得，
可得，
因为函数在点处的切线方程为，
可得，解得，所以.
故答案为：.
13. 已知数列中，，，，则的前项和__________．
【答案】
【解析】由可得，所以是等差数列，且公差为2，
所以，故，
所以，
所以
故答案为：
14. 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，
解得，
不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
解：（1）由函数，可得，可得，
因切点为，所以切线方程为，即.
（2）由函数，其定义域，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
16. 已知等差数列满足：，，的前项和为．
（1）求通项公式及前项和；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，由已知可得，
解得，，
所以；
．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
即数列的前项和．
17. 在含有2件次品的5件产品中，任取2件，求
（1）恰好取到1件正品的概率；
（2）至少取到1件次品的概率.
解：（1）记3件正品分别为A，B，C，2件次品分别为1，2，则从5件产品中任取2件的所有样本点：AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12，共有10个，它们等可能，
恰好取到1件正品的事件M所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，共6个，，
所以恰好取到1件正品的概率是；
（2）至少取到1件次品的事件N所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，12，
共7个，，
所以至少取到1件次品的概率是.
18. 已知数列是公差为的等差数列，.
（1）证明：数列也为等差数列；
（2）若，数列是以数列的公差为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和，证明：.
解：（1）∵，
∴，
∴，
又∵数列是公差为的等差数列，
∴，
∴，
∴数列是以为公差等差数列；
（2）∵，
∴，，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∴①，
∴②，
∴②①得，
，
∵且为正整数，
∴，，
∴（当时取等）.
19. 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）若，，证明：.
解：（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.