2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第20课时 等腰三角形与直角三角形（课件）

这是一份2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第20课时 等腰三角形与直角三角形（课件），共46页。PPT课件主要包含了顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高线，斜边的一半，a2＋b2，边的一半，＝c2，两直角边，第1题图，第2题图等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形与直角三角形
【对接教材】北师：八上第一章P1～P19， 八下第一章P2～P21； 人教：八上第十三章P75～P84， 八下第十七章P21～P39.
等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定
a2＋b2＝c2(答案不唯一，a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2)
等腰直角三角形的性质与判定
证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”)．1. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线．求证：AD平分∠BAC，AD⊥BC.【自主作答】
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴BD＝DC.在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA.∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2. 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝ AB.【自主作答】
证明：如解图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，
∴ ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴ ∠ACD＝90°， ∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BC＝ BD＝ AB.
例1　 如图①，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，DE.
一、等腰三角形的相关证明与计算
(1)若∠BAC＝50°，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠B的度数为____，∠EDC的度数为____；
【解题依据】第一空用到的等腰三角形的性质为_________________________．
(2)在△ABC中，若一边长为10，一边长为16，则△ABC的周长为______；(3)若AB＝10，BC＝16，则△ABC的面积为____，AB边上高为____；
(4)如图②，AD为BC边上的中线，DE⊥AC，BC＝10.①若∠BAD＝30°，则△ABC的面积为______，∠CDE的度数为____，CE的长为____；【判定依据】此处用到的三角形判定依据为_______________________________________．②若AB＝13，则点D到AB的距离为___．
有一个角是60°的等腰三角
例2 已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，点E是AC上一点，连接BE交AD于点G.(1)如图①，BE是AC边上的高．①若∠BAC＝40°，则∠AGE的度数为____；
【解法提示】∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAD＝20°.∵BE是AC边上的高，∴∠BEA＝90°，∴∠AGE＝70°；
②若AB＝13，BC＝10，则BE的长为____；
(2)如图②，若BE是AC边上的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，则GE的长
∴△EGF∽△BGD，∴ ，∴GF＝ FD＝2，∴在Rt△GEF中，GE＝ ＝ ＝ .
(3)如图③，BE是∠ABC的平分线．①若∠BAC＝36°，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由；
①△ABC，△ABE，△CBE，理由如下：由题意可知△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∴∠BAE＝∠ABE，即△ABE是等腰三角形．在△BCE中，∠BEC＝180°－∠ACB－∠EBC＝72°，∴∠BCE＝∠BEC，即△BCE是等腰三角形；
②当AB＝13，BC＝10，求AG的长．
②如解图，过点G作GH⊥AB交AB于点H，
∵BE是∠ABC的平分线，∴HG＝DG，∴30＝ ×13×DG＋ ×5×DG，解得DG＝ ，∴AG＝AD－DG＝12－ ＝ ；
(4)如图④，若∠BAC＝60°，AB＝6，CE＝2AE，求S△ABE和DG的长．
(4)如解图，过点E作EF⊥AB于点F，作EH∥BC交AB于点H，交AD于点M，
由题意知，△ABC为等边三角形，AE＝2，CE＝4，BD＝CD＝3，∴AD＝ ＝ ，∵EH∥BC，∴△AHE∽△ABC ，∴ ，∴AM＝ ，∴MD＝ ，∴EM＝ ＝1.∵EM∥BD，∴△EMG∽△BDG ，∴ .∵MG＋DG＝ ，∴MG＝ ，DG＝ .
二、直角三角形的相关证明与计算
例3　 △ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB上的一点，连接CD.(1)若∠A＝40°，则∠B＝____°；
(2)如图①，当点D为AB的中点，∠B＝30°时．①若AB＝10 ，则CD＝___，AC＝___；【解题依据】第一空用到的直角三角形的性质为_____________________________________；第二空用到的直角三角形的性质为__________________________________________________.②若△ACD的面积为9 ，则AC＝___，△BCD的周长为________；
中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
(3)如图②，当CD⊥AB时，①若AC＝3，AB＝5，则CD＝___，S△ABC＝___；②若AC＝2 ，AB＝4 ，则∠ACD＝____；③若∠B＝45°，AC＝2，则BD＝ ___；(4)若BC＋AB＝8，AC＝4，则BC的长为___．
例4 在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上一点，点E是AB上一点．(1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB于点E，AB＝4，则DE的长为______；
(2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝2，CD＝1，则ME的长为_____；
(3)如图③，若点D是BC的中点，AC＝6，BC＝8，点E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为________；(4)如图④，∠B＝45°，AC＝4，DB＝1，点E为AB上一动点，则CE＋DE的最小值为____．
等腰三角形的相关计算 (包头5考，呼和浩特4考，赤峰2考)
1. (2022包头、巴彦淖尔10题3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4.且a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A. 34 B. 30C. 30或34 D. 30或36
2. (2023陕西)如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6 cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　A. 6 cm B. 7 cm C. 6 cm D. 8 cm
3. (2023绍兴)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是___________.
4. (2023江西)如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD.
直角三角形的相关证明与计算 (包头6考，呼和浩特6考，赤峰2考)
5. (2022包头8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为(　 )A. B. C. D.
6. (2022包头20题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点(不与点B，C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE.下列结论：①若BF＝CF，则CE2＋AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝ ；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝ .其中正确的是_______．(填写所有正确结论的序号)
7. (2022呼和浩特18题6分)如图，在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(1)解：∠C>∠A＋∠B；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
(2)证明：如解图所示，过点B作DE∥AC，
则∠A＝∠ABD，∠C＝∠CBE.∵∠ABD＋∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，即△ABC的内角和等于180°；
(3)若 ，求证：△ABC是直角三角形．
8. (2023雅安)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为(　　)A. 6 　　　　 B. 4 C. 3 　　　　 D. 5
9. (2023苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝____°.
10. (2023随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则 的值为___；若CE＝CF，则 的值为___.
11. (2023福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．(1)求证：∠ADE＝∠DFC；
证明：(1)∵在等腰Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠ADF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DFC＋∠ADF＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；
(2)求证：CD＝BF.
(2)如解图，连接AE，
由平移的性质得AB∥EF，AB＝EF，∴四边形AEFB是平行四边形，∴BF＝AE，∠EAD＝∠ACB＝90°. ∵∠DCF＝180°－∠ACB＝90°，∴∠EAD＝∠DCF.∵△EDF是等腰直角三角形，∴DE＝DF.