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2024贵州中考数学一轮知识点复习 第22讲 等腰三角形与直角三角形（课件）
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这是一份2024贵州中考数学一轮知识点复习 第22讲 等腰三角形与直角三角形（课件），共48页。PPT课件主要包含了第4题图，第5题图，第6题图，第7题图，第8题图，第9题图，第10题图，第13题图，第14题图，第16题图等内容，欢迎下载使用。
等腰三角形的性质及计算(黔西南州2023.18，贵阳2023.15)
1. (2023黔南州9题4分)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为( )
A. 9 B. 17或22 C. 17 D. 22
2. (2023铜仁7题4分)已知等边三角形一边上的高为2 ，则它的边长为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 4
3. (2023铜仁9题4分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( )
A. 7 B. 7或6 C. 6或－7 D. 6
4. (2021遵义14题4分)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，点E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B为________度．
5. (2022遵义14题4分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______度．
6. (2021铜仁21题10分)已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD.求证：AD＝CE.
证明：如解图，作DG∥BC交AC于G，
则∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠FCE，又∵FD＝FE，∴△DGF≌△ECF，∴DG＝CE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠AGD＝∠ACB＝60°，∴AD＝DG，∴AD＝CE.(10分)
直角三角形的相关计算(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳2考)
7. (2022黔东南州8题4分)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
8. (2023黔西南州14题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为________．
9. (2022三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°， ∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是__________．
10. (2023贵阳16题8分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
解：(1)画图如解图①(答案不唯一)；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(2)画图如解图②(答案不唯一)；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
(3)画图如解图③(答案不唯一)．
11. (2021毕节5题3分)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. ， ， B. 1， ，C. 6，7，8 D. 2，3，4
12. (2023六盘水12题4分)三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2－3 x＋4＝0，则第三边的长是( )
A. B. 2 C. 2 D. 3
13. (2023黔南州16题3分)如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则AD长度是_______．
14. (2022黔南州16题4分·源自人教八上P65第6题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB边的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为______．
15. (2023安顺13题4分)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．
16. (2022六盘水22题10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，则b2－x2＝c2－(a－x)2，∴a2＋b2＝c2＋2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2＋b2>c2，∴当△ABC为锐角三角形时a2＋b2>c2.所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系；
(1)解：猜想：a2＋b2＜c2；(2分)
(2)温馨提示：在图③中，作BC边上的高；
(2)解：画图如解图所示：
(3)证明你猜想的结论是否正确.
(3)证明：如解图，设CD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝c2－(a＋x)2，在Rt△ACD中，同理可得AD2＝b2－x2，∴c2－(a＋x)2＝b2－x2，整理得c2＝b2＋a2＋2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴c2＞b2＋a2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2
【对接教材】人教：八上第十三章P75－P84， 八下第十七章P21－P39； 北师：八上第一章P1－P19， 八下第一章P1－P21.
1.两腰________2．两个底角________(简写成“等边对等角”)3．等腰三角形的________________、_______________、____________相互重合(简称“三线合一”)4．是轴对称图形，有____条对称轴
1.有两边________的三角形是等腰三角形(定义)2．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
一般情况下，在判定等腰三角形时，“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等”
1.两锐角之和等于_______2．斜边上的中线等于_____________3．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么___________4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于____________
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°(应用时需先证明)
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形(定义)2．有两个角互余的三角形是直角三角形3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足_________________________________，那么这个三角形是直角三角形
a2＋b2＝c2(或a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2)
一条边上的中线长等于这条边的一半的三角形是直角三角形(应用时需先证明)
S＝ ab＝ ch，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高
有一个角为30°的直角三角形
性质：30°角所对的直角边等于____________，即AC＝2BC＝2a，BD＝ a面积计算公式：S＝ a2
1.具有等腰三角形的所有性质2．三条边都相等，AB＝AC＝BC＝a3．三个内角相等，且每个内角都等于60°4．是轴对称图形，有3条对称轴
一、等腰三角形的相关计算
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为直线AC上一点，BE与AD交于点O.
(1)若△ABC的两边长分别为1，3，则△ABC的周长为______；
(2)若∠BAC＝50°，BE平分∠ABC.则∠ABE的度数是________；
【解题依据】(2)问中用到的性质依据为________________________；
(3)若AB＝5，BC＝4，则AD＝________；
【解题依据】(3)问中用到的性质依据为____________________________________________________________；
形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线
(4)若∠C＝60°，AB＝2，则△ABC的周长为______，△ABC的面积为________；
【解题依据】(4)问中用到的性质依据为_________________________________________；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(5)若BE为AC边的中线，当AE＝4时，连接DE，求DE的长．
【解题依据】(5)问中用到的性质依据为_________________________．
等腰三角形的两条腰相等
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，点E为AC上一点，连接DE，AD.
(1)如图①，若CD＝AB，AD＝DE，∠ADE＝36°，则∠BAD＝________°；
(2)如图②，若点D为BC的中点，F为AB的中点，BE⊥AC于点E，AB＝6，BC＝8，则△DEF的周长为________；
(3)如图③，若AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD＝2BD，且AB＝4 ，点P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为________；
(4)如图④，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，AB＝5，BC＝8.①点A的坐标为________；②若点D为BC的中点，△DCE为等腰三角形，则点E的坐标为________________．
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、直角三角形的相关计算
例3 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD.
(1)若∠B＝30°，AC＝3，则AB＝______；
【解题依据】(1)问中用到的性质依据为____________________________________________________；
在直角三角形中，30°角所对的直角边等
(2)若BC＋AB＝10，AC＝3，则BC＝______；
【解题依据】(2)问中用到的性质依据为_____________________________________________________________________________；
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，
(3)若CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4，则CD＝________；
(4)如图②，若点D为AB边的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若CD＝5，BC＝8，则DE＝_____；
【解题依据】(4)问中用到的性质依据为____________________________________________________________________________．
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段是三角
(5)如图③，若AC＝BC，CD平分∠ACB，若CD＝ ，则△ABC的面积是________.
例4 在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，点E是AB上一点．(1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB于点E，AB＝4，则DE的长为________；
(2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝2，CD＝1，则ME的长为________；
(3)若点D是BC上的中点，AC＝6，BC＝8，点E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为________；
(4)如图③，∠B＝45°，AC＝4，DB＝1，点E为AB上一动点，则CE＋DE的最小值为________．
等腰三角形的性质及计算(黔西南州2023.18，贵阳2023.15)
1. (2023黔南州9题4分)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为( )
A. 9 B. 17或22 C. 17 D. 22
2. (2023铜仁7题4分)已知等边三角形一边上的高为2 ，则它的边长为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 4
3. (2023铜仁9题4分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( )
A. 7 B. 7或6 C. 6或－7 D. 6
4. (2021遵义14题4分)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，点E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B为________度．
5. (2022遵义14题4分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______度．
6. (2021铜仁21题10分)已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD.求证：AD＝CE.
证明：如解图，作DG∥BC交AC于G，
则∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠FCE，又∵FD＝FE，∴△DGF≌△ECF，∴DG＝CE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠AGD＝∠ACB＝60°，∴AD＝DG，∴AD＝CE.(10分)
直角三角形的相关计算(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳2考)
7. (2022黔东南州8题4分)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
8. (2023黔西南州14题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为________．
9. (2022三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°， ∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是__________．
10. (2023贵阳16题8分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
解：(1)画图如解图①(答案不唯一)；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(2)画图如解图②(答案不唯一)；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
(3)画图如解图③(答案不唯一)．
11. (2021毕节5题3分)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. ， ， B. 1， ，C. 6，7，8 D. 2，3，4
12. (2023六盘水12题4分)三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2－3 x＋4＝0，则第三边的长是( )
A. B. 2 C. 2 D. 3
13. (2023黔南州16题3分)如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则AD长度是_______．
14. (2022黔南州16题4分·源自人教八上P65第6题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB边的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为______．
15. (2023安顺13题4分)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．
16. (2022六盘水22题10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，则b2－x2＝c2－(a－x)2，∴a2＋b2＝c2＋2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2＋b2>c2，∴当△ABC为锐角三角形时a2＋b2>c2.所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系；
(1)解：猜想：a2＋b2＜c2；(2分)
(2)温馨提示：在图③中，作BC边上的高；
(2)解：画图如解图所示：
(3)证明你猜想的结论是否正确.
(3)证明：如解图，设CD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝c2－(a＋x)2，在Rt△ACD中，同理可得AD2＝b2－x2，∴c2－(a＋x)2＝b2－x2，整理得c2＝b2＋a2＋2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴c2＞b2＋a2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2
【对接教材】人教：八上第十三章P75－P84， 八下第十七章P21－P39； 北师：八上第一章P1－P19， 八下第一章P1－P21.
1.两腰________2．两个底角________(简写成“等边对等角”)3．等腰三角形的________________、_______________、____________相互重合(简称“三线合一”)4．是轴对称图形，有____条对称轴
1.有两边________的三角形是等腰三角形(定义)2．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
一般情况下，在判定等腰三角形时，“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等”
1.两锐角之和等于_______2．斜边上的中线等于_____________3．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么___________4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于____________
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°(应用时需先证明)
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形(定义)2．有两个角互余的三角形是直角三角形3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足_________________________________，那么这个三角形是直角三角形
a2＋b2＝c2(或a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2)
一条边上的中线长等于这条边的一半的三角形是直角三角形(应用时需先证明)
S＝ ab＝ ch，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高
有一个角为30°的直角三角形
性质：30°角所对的直角边等于____________，即AC＝2BC＝2a，BD＝ a面积计算公式：S＝ a2
1.具有等腰三角形的所有性质2．三条边都相等，AB＝AC＝BC＝a3．三个内角相等，且每个内角都等于60°4．是轴对称图形，有3条对称轴
一、等腰三角形的相关计算
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为直线AC上一点，BE与AD交于点O.
(1)若△ABC的两边长分别为1，3，则△ABC的周长为______；
(2)若∠BAC＝50°，BE平分∠ABC.则∠ABE的度数是________；
【解题依据】(2)问中用到的性质依据为________________________；
(3)若AB＝5，BC＝4，则AD＝________；
【解题依据】(3)问中用到的性质依据为____________________________________________________________；
形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线
(4)若∠C＝60°，AB＝2，则△ABC的周长为______，△ABC的面积为________；
【解题依据】(4)问中用到的性质依据为_________________________________________；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(5)若BE为AC边的中线，当AE＝4时，连接DE，求DE的长．
【解题依据】(5)问中用到的性质依据为_________________________．
等腰三角形的两条腰相等
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，点E为AC上一点，连接DE，AD.
(1)如图①，若CD＝AB，AD＝DE，∠ADE＝36°，则∠BAD＝________°；
(2)如图②，若点D为BC的中点，F为AB的中点，BE⊥AC于点E，AB＝6，BC＝8，则△DEF的周长为________；
(3)如图③，若AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD＝2BD，且AB＝4 ，点P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为________；
(4)如图④，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，AB＝5，BC＝8.①点A的坐标为________；②若点D为BC的中点，△DCE为等腰三角形，则点E的坐标为________________．
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、直角三角形的相关计算
例3 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，连接CD.
(1)若∠B＝30°，AC＝3，则AB＝______；
【解题依据】(1)问中用到的性质依据为____________________________________________________；
在直角三角形中，30°角所对的直角边等
(2)若BC＋AB＝10，AC＝3，则BC＝______；
【解题依据】(2)问中用到的性质依据为_____________________________________________________________________________；
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，
(3)若CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4，则CD＝________；
(4)如图②，若点D为AB边的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若CD＝5，BC＝8，则DE＝_____；
【解题依据】(4)问中用到的性质依据为____________________________________________________________________________．
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段是三角
(5)如图③，若AC＝BC，CD平分∠ACB，若CD＝ ，则△ABC的面积是________.
例4 在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，点E是AB上一点．(1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB于点E，AB＝4，则DE的长为________；
(2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝2，CD＝1，则ME的长为________；
(3)若点D是BC上的中点，AC＝6，BC＝8，点E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为________；
(4)如图③，∠B＝45°，AC＝4，DB＝1，点E为AB上一动点，则CE＋DE的最小值为________．
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