【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-2.1.2《两条直线平行和垂直的判定》讲学案（必修1）

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1．1.1 空间向量及其线性运算
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 两条直线垂直的判定
题型一、两条直线平行的判定
1．判断正误
（1）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．( )
（2）若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．( )
【答案】 √ √
【详解】（1）两条不重合的直线的倾斜角相等，可知两条直线平行，正确；
（2）两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.
2．根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合：
（1）经过点，；经过点，；( )
（2）的斜率为，经过点，；( )
（3）平行于轴，经过点，；( )
（4）经过点，，经过点，．( )
【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合
【详解】（1），，
，所以与不平行．
（2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合，
所以与平行或重合．
（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，
所以．
（4）由题意，知，，所以与平行或重合．
需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合．
3．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．平行或重合
【答案】D
【详解】由点，，可求得直线的斜率，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
则有，则直线与直线平行或重合.
故选： D.
4．（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则两条直线的斜率相等
B．若两条直线的斜率相等，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【详解】选项A，当时，，但两条直线斜率不存在，故A错误；
选项B，若两条直线的斜率相等，且两直线不重合，故，故B正确；
选项C，若，由平行线的性质，可得，故C正确；
选项D，若，由平行线的性质，可得，故D正确.
故选：BCD
5．已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______．
【答案】-2
【详解】由题意得，，
.由于AB∥CD，即，
所以＝，所以m＝-2.
故答案为：-2
题型二、两条直线垂直的判定
1．设两条直线，的斜率分别为，，则对应关系如下：
【答案】 k1k2＝－1；
2．下列条件中，使得l1⊥l2的是（ ）
①l1的斜率为，l2经过点A(1，1)，B；
②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-5)；
③l1经过点M(1，0)，N(4，-5)，l2经过点R(-6，0)，S(-1，3).
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【详解】对于①：，，所以，故①正确；
对于②：，，，故②错误；
对于③：，，所以，故③正确；
故选：B
3．以，，为顶点的三角形是（ ）
A．以点为直角顶点的直角三角形B．以点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【详解】由，，，
，，
由，所以直线与直线垂直，
所以以点为直角顶点的直角三角形.
故选：A
4．直线过点和点，直线过点和点.则直线与的位置关系是（ ）
A．重合B．平行C．垂直D．无法确定
【答案】C
【详解】①当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此.
②当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此.
③当时，直线的斜率，直线的斜率此时，.
综上可知，直线与垂直.
故选：C.
5．已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【详解】，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
6．已知，，，四点.
（1）当直线与直线平行，求的值；
（2）求证：无论取何值，总有.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【详解】（1）当时，直线轴，点、，与轴不垂直.
所以，直线的斜率存在，且直线的斜率为，
直线的斜率为，
因为直线与直线平行，则，即，
整理可得，解得或，
直线的斜率为，由题意可得，即，
整理可得，显然成立，
综上所述，当直线与直线平行时，或；
（2）若，则，，，轴，轴，此时；
若，直线的斜率为，，则，此时.
综上所述，无论取何值，总有.
1．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行
B．若，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直
D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行
【答案】AD
【详解】对于A：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确；
对于B：若，则或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确；
对于C：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在且不为，则这两条直线不垂直，故选项C不正确；
对于D：若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，故选项D正确；
故选：AD.
2．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
【详解】(1)
，，，不共线，因此与平行．
(2)，，又两直线不重合，直线与平行，
(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
(4),，直线与不平行．
3．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）．
A．平行或重合B．平行C．垂直D．以上都不对
【答案】A
【详解】∵直线经过点，，
∴以直线的斜率，又直线的倾斜角为60°，
∴直线的斜率，故直线与直线平行或重合．
故选：A
4．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【详解】与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
5．判断下列各对直线平行还是垂直：
(1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；
(2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.
【详解】(1)由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；
(2)由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直.
6．下列命题错误的是（ ）
A．斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直
B．互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数
C．两条平行直线的倾斜角相等
D．倾斜角相等的两条直线平行或重合
【答案】B
【详解】对于A，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们的斜率之积为-1，故这两条直线一定互相垂直，故A正确；
对于B，若两条垂直的直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线的斜率不互为负倒数，故B错误；
对于C，若两条直线平行，则它们的倾斜角一定相等，故C正确；
对于D，倾斜角相等的两条直线一定平行或重合，故D正确.
故选：B.
7．已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
【答案】B
【详解】根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直
故选：B
8．（多选）已知直线的倾斜角为30°，经过点，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不确定
【答案】BC
【详解】因为直线的倾斜角为30°，所以直线的斜率，又经过点，，所以直线的斜率，
故，所以⊥
故选：BC
9．过点()，(0，3)的直线与过点()，(2，0)的直线的位置关系为（ ）
A．垂直B．平行
C．重合D．以上都不正确
【答案】A
【详解】过点()，(0，3)的直线的斜率k1＝＝－；过点()，(2，0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．
故选：A.
10．判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)l1的斜率为，l2经过点A（1，1），B（0，）
(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
(3)l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3）
【详解】(1)∵l2经过点A（1，1），B（0，），∴l2的斜率为，
又∵l1的斜率为，且，∴l1与l2垂直.
(2)∵l1的倾斜角为45°，∴l1的斜率为，∵l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），
∴l2的斜率为，而，∴l1与l2不垂直.
(3)∵l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），∴l1的斜率为，
∵l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l2的斜率为，又∵，
∴l1与l2垂直.
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
【答案】C
【详解】设方程的两根为、，则．
直线、的斜率，故与相交但不垂直．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两条直线的斜率之积为D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
【答案】B
【详解】因为两条直线倾斜角为时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；
平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；
垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为时两直线也垂直，故C不正确；
斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确；
故选：B．
4．已知直线的倾斜角为30°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）．
A．平行或重合B．平行C．垂直D．以上都不对
【答案】C
【详解】因为，，
所以k1k2＝－1，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
5．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．斜交C．平行D．重合
【答案】A
【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根，利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直.
故选：A
6．已知点，，，，顺次连接，，，，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对
【答案】B
【详解】由已知可得：，，,
∴ ，，，即，不平行于，，，故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
7．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不对
【答案】B
【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为0，且两直线不重合，
所以两直线平行.
故选：B.
8．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．斜三角形
【答案】C
【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
9．(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【详解】依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确.
故选：ABD
10．（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（ ）
A．经过点，，经过点，
B．的斜率为1，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．经过点，，经过点，
【答案】CD
【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．
对于A．，，，与不平行．
对于B，，，，故或与重合
对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故.
对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．
故选：CD
11．（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率B．若斜率，则
C．若倾斜角，则D．若，则倾斜角
【答案】BCD
【详解】对于A，若，且与的倾斜角均为，则直线与的斜率不存在，故A错误；
对于B，若斜率，且直线与为两条不重合的直线，则，故B正确；
对于C，若倾斜角，且直线与为两条不重合的直线，由平行线的性质可得，故C正确；
对于D，若，由平行线的性质可得倾斜角，故D正确．
故选：BCD．
12．（多选）下列各对直线互相垂直的是（ ）
A．的倾斜角为120°，过点，
B．的斜率为，过点，
C．的倾斜角为30°，过点，
D．过点，，过点，
【答案】ABD
【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．
对于A，因为．，所以，故两直线垂直．
对于B，因为，，所以，故两条直线垂直．
对于C，因为，，所以与不垂直
对于D，因为，，所以，故两条直线垂直．
故选：ABD
13．（多选）已知点，那么下面四个结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，，即不在直线上，所以，故A正确，B错误；
又，，∴，∴，故D正确，C错误．
故选：AD．
14．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
【答案】错误
15．已知在中，，，，则点D的坐标为______，试判断平行四边形ABCD是否为菱形．______（填“是”或“否”）
【答案】 是
【详解】设，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以，，所以解得所以.
因为，，所以．所以．
所以为菱形．
故答案为：；是.
16．已知，，，，若直线直线，则_____．
【答案】0或1
【详解】当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；
当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；
当且时，，,
因为直线直线，所以，即，解得或,
经检验，当时，,即，不重合，
同理当时，直线，不重合．
综上，的值为或．
故答案为：或．
17．已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【详解】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
18．在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为______.
【答案】矩形
【详解】由斜率公式得，，，，
所以，，从而，．所以四边形为平行四边形．
又，所以，故四边形为矩形．
故答案为：矩形.
19．已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．
【答案】直角梯形
【详解】由斜率公式，得，，，,
所以，又因为 ,说明与不重合，
所以．
因为，所以与不平行．
又因为，所以．
故四边形为直角梯形．
20．判断三点是否共线，并说明理由．
【详解】这三点共线，理由如下：
由直线斜率公式可得：，
直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，
所以这三点共线.
21．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
【详解】(1)设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得，所以D(－1,6).
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
所以▱ABCD为菱形.
22．已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证:BF⊥AE.
【详解】建立平面直角坐标系,如图所示,则,所以,
又
所以.
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2
图示
对应关系
与的斜率都存在，分别为，，则_________
与中的一条斜率不存在（倾斜角为），另一条斜率为零（倾斜角为），则与的位置关系是_________