【暑假衔接】人教A版新高二数学 复习重难点-第04讲：平面向量与解三角形高频考点突破（教师版+学生版）讲义

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考点一．向量的有关概念
考点二.向量的线性运算
考点四：.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点五．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
考点六．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
考点七：．平面向量的数量积
考点八：.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
考点九．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
考点十：角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
【题型梳理】
题型一：平面向量的基本概念
1．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
2．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，，则
C．已知点，，则与向量平行的单位向量是
D．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量是
3．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B．
C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021春·浙江·高一期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论：
①与的夹角为；
②；
③；
④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．
其中正确结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：平面向量的基本定理
7．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
8．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·福建福州·高一校联考期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.

A．B．C．D．
题型四：平行向量的垂直和平行问题
10．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）已知向量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021秋·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
题型五：平行向量数量积
13．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
14．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．2B．C．D．
15．（2022春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：平面向量的综合问题
16．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端点），且满足．
(1)若，用向量，表示；
(2)在（1）的条件下，若，，且，求的值
17．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）平面内给定三个向量，，．
(1)若，求实数；
(2)若满足，且，求的坐标．
18．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，为边上一点，且．
(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．
题型七：正余弦定理的基本计算
19．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c，，，，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在中，，，，且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．
21．（2022春·四川南充·高一统考期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则sin（B＋C）＝（ ）
A．B．C．D．
题型八：边角互化问题
22．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
23．（2022春·四川绵阳·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
24．（2022春·内蒙古包头·高一统考期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
题型九:三角形的面积公式问题
25．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
26．（2022春·河南安阳·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
27．（2022春·吉林白山·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，且，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
题型十：解三角形的综合问题
28．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边上中线的长.
29．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
30．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．
(1)求；
(2)若，为的平分线，求的长；
(3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．
【专题突破】
一、单选题
31．（2023秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考期末）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
32．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A．B．C．D．
33．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ）
A．10B．C．D．2
35．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
36．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A．B．C．D．
37．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是（ ）

A．B．C．D．
38．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
39．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是AC边上一点，且满足，．则ac的最小值为（ ）
A．B．C．4D．8
40．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．（，）
二、多选题
41．（2023春·江苏南通·高一期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
42．（2023春·浙江温州·高一统考期末）平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
43．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．若函数，则函数的最小值为
B．的最大值为
C．在方向上的投影向量为
D．
44．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．已知，，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
45．（2023春·福建南平·高一期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
46．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）设向量、满足，，则_________.
47．（2023春·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知中，，且，则__________.
48．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高______米．

49．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最小值为__________.
四、解答题
50．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在钝角三角形中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围.
51．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足，证明：．
(2)求的最小值．
52．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）已知的周长为，且，
(1)求边长的值；
(2)若，求角的大小，
53．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）设函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)的内角所对的边分别为的面积是且，求的面积．
54．（2023春·河南·高一校联考期末）如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

(1)求；
(2)过点A作，交线段于点，且，求．
55．（2023春·河南周口·高一校联考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．名称
定义
备注
向量
既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)