【暑假衔接】人教A版新高二数学 复习重难点-第02讲：指、对、幂函数高频考点突破（教师版+学生版）讲义

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考点一：分数指数幂的意义
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
考点二．指数函数的图象与性质
考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
考点四：对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中
a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
考点五：对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①＝ N ；②lgaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(3)对数的换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
考点六：对数函数的图象与性质
考点七：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝lgax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝lgax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
技巧归纳：
1、换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0考点八：.幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
考点九：五个幂函数的性质
知识点十 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
【题型梳理】
题型一：指对幂的运算
1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值；
（2）利用对数运算法则化简求值.
【详解】（1）原式
（2）原式
2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：原式
.
3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）计算与化简：
(1)
(2).
(3)
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据对数的运算性质，代入计算即可；
（2）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；
（3）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；
（4）根据对数的运算性质，代入计算即可；
【详解】（1）原式；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
题型二：比较大小
4．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，将与0,1进行比较大小关系，即可得到答案.
【详解】因为在上单调递增，则，
因为在上单调递减，则，
因为在上单调递增，则，
故，
故选：A.
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出，，进而即可得到，，的大小关系．
【详解】由，且，即，
又，
所以c＜b＜a．
故选：A．
6．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案.
【详解】，，所以，
由，得，得，
综上所述：.
题型三：指数函数的综合
7．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得，解出的值，即可得到值；
（2）设，,则题意转化为直线与函数在图象上有两交点，利用数形结合的思想即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，
解得或，因为，故，故.
（2），
设，则，则，，
令，则，
则，由题得直线与函数在图象上有两交点，
，，令，或0（舍）
作出图象如下图所示：

则，解得.
8．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数为上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并加以证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)函数在上的单调递减，证明见解析
(3)解集为.
【分析】（1）根据奇函数性质可得，进而求解；
（2）根据单调性的定义判断并证明即可；
（3）根据指数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为上的奇函数，
所以，即，
此时，，
所以，即函数为奇函数，
所以符合题意.
故.
（2）函数在上的单调递减.证明如下：
由（1）知，.
任取，，且，
则，
因为，，且，
所以，，，
所以，即，
因此函数在上的单调递减.
（3）由（2）知，
由，即，
即，即，
即，即
所以，
所以等式的解集为.
9．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；
(2)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明；
（2）今，则，因为在上是增函数，所以，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：任取，
，
因为，所以，，
故，
所以，即在上是增函数；
（2）今，则，
因为在上是增函数，所以，
解得：，即，解得，
故不等式得解集是.
题型四：幂函数的综合
10．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数的图象经过点．
(1)求的解析式，并指明函数的定义域；
(2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由待定系数法可得解析式，根据解析式有意义可得定义域；
（2）按照步骤：取值，作差，定号，下结论证明即可.
【详解】（1）设，则，，
则，
的定义域是；
（2）由（1）知，任取，则
，
，，，，
，即，
在上单调递增．
11．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数为偶函数.
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.
【答案】(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解；
（2）由（1）得，设,作差即可证明.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以,解得或.
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意.
故.
（2）由（1）得，故.
设,
则，
因为，所以，，所以,
所以，即，
故在区间上单调递增.
12．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；
（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.
题型五：对数函数的综合
13．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)a＝0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数，由求得a，再验证即可；
（2）利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；
（3）先证得函数在R上单调递增，将不等式转化为，进而得到求解.
【详解】（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，
有，可得a＝0，
当a＝0时，由，，
，
此时为奇函数，
又由，
可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0；
（2）证明：由（1）有，
①若，令
则，
因为，
所以，
则，即，
所以在上递增，
又在上递增，
由复合函数的单调性得函数在上单调递增，
②若，由函数为奇函数，得
，即
③若，则由①②得
综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增；
（3）由，
可得函数为奇函数．
又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，
Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，
Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），
故有；
Ⅲ．若，不等式可化为，
又由（当且仅当x＝－3时取等号），
故有，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，
由①②可知，实数m的取值范围为．
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数（且）在上的最大值为3.
(1)求的值；
(2)假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据已知，利用对数函数的性质分类讨论，再进行计算求解
（2）根据已知，利用对数函数的性质以及一元二次函数、一元二次方程进行求解.
【详解】（1）当时，函数（且）在上单调递减，
∴，解得；
当时，函数（且）在上单调递增，
∴，解得，
综上所述，或
（2）∵的定义域是，
∴恒成立，
则方程的判别式，
即，解得
又或，因此，
∴不等式，即，
即，解得
因此不等式的解集为.
15．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数的值；
（2）分析函数在上的单调性，令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合可得出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
，
因为函数为偶函数，则，即，
所以，，解得.
（2）由（1）可得
，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，，即，
当时，，则，
所以，，即，
所以，函数在上递减，在上递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，
所以，，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，，此时，；
③当时，恒成立，符合题意．
综上所述，的取值范围是，的取值范围是．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
题型六：函数的应用
16．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)证明函数在上的单调递增；
(3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数，由求解；
（2）利用函数单调性的定义求解；
（3）根据（2）知在上的单调递增，结合在区间上的值域为，转化为在上有两个不同实根求解.
【详解】（1）解：函数为奇函数，
，
即，
当时显然不成立，
故，．
（2）证明：定义域，
任取，则，
，，，
，
，
，在上的单调递增．
（3）由（2）知在上的单调递增，
在区间上的值域为，
，且且，
即，是方程的实根，
问题等价于在上有两个不同实根，
令，显然，
则，
即，解得，故的范围．
17．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为（其中是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
(1)求的值（精称到0.01）；
(2)求污染物减少需要花的时间（精确到）？
参考数据：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求解即可；
（2）由题意可得，求解即可.
【详解】（1）由知，当时，；当时，；
即，所以，
即；
（2）当时，，即，
则.
故污染物减少需要花的时间约为.
18．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足．
(1)求函数，的解析式；
(2)若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由及函数奇偶性得到，联立方程组求解即可；
（2）由（1）得到的解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合即可得到实数k的取值范围．
【详解】（1）因为是偶函数，是奇函数，且，①
所以，，
所以，即，②
由①②解得，
①②解得；
（2）由（1）得，
所以，
所以，，
作出的图象，如图所示：
因为方程恰有三个解，
即方程恰有三个解，
所以恰有三个解，
解得或，
又因为，结合图形可得：
或，解得或．
所以实数k的取值范围为．
【专题突破】
一、单选题
19．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．B．1C．-1D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.
【详解】由条件可得，则.
故选：C.
20．（2023秋·云南红河·高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将对应温度和保鲜时长分别带入关系式，解出方程组即可得，再利用指数关系运算即可得结果.
【详解】由题得，解得，
因此在的冰箱中的保鲜时间大约是.
故选：B．
21．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，而，则可得，再由，易得，则可知，由此即可选出答案.
【详解】，
由，有，可得．
又由，有，有，
可得．
故选：D．
22．（2023秋·山西大同·高一统考期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.
【详解】令，则函数为减函数，
又函数为增函数，
所以函数是减函数，
故在区间上的最大值是，最小值是，
由题设得，则，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
故选：A.
23．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.
【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，，
因为，①
所以，
所以，②
①②得，，
因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，又，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以只需，
因为，，所以（当且仅当，即时取等号），
所以（当且仅当时，取等号），
所以，
所以的取值范围为.
故选：B．
24．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】若在上单调递增, 必有，求解即可.
【详解】根据题意, 函数 ，
若在上单调递增,
必有，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
25．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性.
【详解】函数的定义域为，
，所以函数是奇函数，
且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数.
故选：A
26．（2023秋·吉林·高一统考期末）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增
C．无最小值D．无最小值
【答案】D
【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB正误；由奇偶性可确定单调性，进而确定CD正误.
【详解】由题意得：，
由得：，；
对于A，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，A正确；
对于B，设，则当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递增，B正确；
对于C，由A知：在上单调递增，又为定义在上的奇函数，
在上单调递增，又为连续函数，在上单调递增，
无最小值，C错误；
对于D，由B知：在上单调递增，又为定义在上的偶函数，
在上单调递减，又为连续函数，，D错误.
故选：D.
27．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中学校考期末）定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据定义判断在上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为.进而根据函数的单调性，即可列出不等式，求解不等式即可得出答案.
【详解】，且.
则，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增.
又，所以为奇函数.
又时，有，
所以，时，有.
由可得，
.
因为，
所以由可得，，
整理可得，即，
显然，所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：D.
28．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a的取值范围，进而求出范围作答.
【详解】函数，当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
当时，在上递减，在上递增，，
作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点，
观察图象知，，，
显然有，且，由得，
即，则有，因此，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
二、多选题
29．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在定义域上单调递增
D．若实数，满足，则
【答案】ABD
【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.
【详解】对于A选项，故A正确；
对于B选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，
当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数，
所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，
因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确.
故选：ABD.
30．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数是减函数
【答案】AC
【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.
【详解】的定义域为，，则，
所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；
，因为,所以,，
所以,故的值域为,C正确；
设,则
,
因为，所以，
所以,即，
所以函数是增函数，故D错误，
故选:AC.
31．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）
A．函数至多有个零点
B．当时，，总有成立
C．函数至少有个零点
D．当时，方程有个不同实数根
【答案】ABCD
【分析】分别解方程、，取，可判断A选项；利用分段函数的单调性可判断B选项；对实数的取值进行分类讨论，确定函数在不同的取值下，的零点个数，可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令可得，由得，可得.
故当时，函数有两个零点，所以，函数至多有个零点，A对；
对于B选项，当时，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，且，
所以，故当时，函数在上为增函数，
故当时，，不妨设，则，则，B对；
对于C选项，当时，函数在上无零点，在上有唯一零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数在上有唯一零点，在上无零点，
综上所述，函数至少有一个零点，C对；
对于D选项，当时，.
令，则方程为.
当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得.
当时，由可得，即，解得，
由可得，即，解得；
当时，由可得，即，该方程无解，
由可得，解得.
综上所述，方程的解集为，
所以，当时，方程有个不同实数根，D对.
故选：ABCD.
32．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．图象关于直线对称B．的最大值为
C．在上单调递减D．的最小值为
【答案】AB
【分析】先求函数的定义域，然后由复合函数的单调性求解最值判断选项即可.
【详解】函数的定义域为：，
，
内层函数为二次函数，其对称轴为直线，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
当时，为增函数，当时，为减函数，
所以当时，有最大值，故B正确.
故选：AB.
33．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）下列命题正确的有（ ）
A．命题“，”的否定“，”
B．函数单调递增区间是
C．函数是上的增函数，则实数a的取值范围为
D．函数的零点所在区间为且函数只有一个零点
【答案】BD
【分析】对于A，由全称命题的否定为特称命题即可；
对于B，先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；
对于C，由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即可；
对于D，先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.
【详解】对于A，命题“，”的否定“，”，故A选项错误；
对于B，由，得，令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，故B选项正确；
对于C，因为函数是上的增函数，
所以 ，解得：，故C选项错误；
对于D，因为函数和函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，
又因为 ，
所以函数在区间上只有一个零点，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
34．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知（且），则实数的取值范围为____________.
【答案】
【分析】分和两种情况求解即可
【详解】①当时，，得；
②当时，，得.
综上所述，的取值范围为，
故答案为：
35．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知幂函数满足，则______.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
【详解】因为函数为幂函数，
则，解得或，
又因为，所以，
故答案为：.
36．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知函数，若，，，则实数的取值范围是 ____.
【答案】
【分析】依题意，在定义区间内，的值域为的值域的一个子集，列不等式求实数的取值范围.
【详解】令，，则，
，，
令，，则在上单调递增，，
则，即的值域为.
时，在上单调递增，，即，即的值域为.
，，，则的值域为的值域的一个子集，
故，解得，实数的取值范围是.
故答案为：
37．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】设函数在,上的值域为，函数在，上的值域为，若,，,，使得成立，则，即可得出答案．
【详解】设函数在,上的值域为，函数在,上的值域为，
因为若,，,，使得成立，所以，
因为，,，
所以，，
所以在,上的值域为,，
因为，
当时，在,上单调递减，
所以，
，
所以在,上的值域为,
因为，
所以，解得，
又，
所以此时不符合题意，
当时，图象是将下方的图象翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，
在,上单调递减，
，，
所以的值域，
又，
所以，解得，
②当时，即时，
在上单调递减，在,上单调递增，
，
或，
所以的值域,或,，
又，
所以或，
当时，解得或，
又，
所以，
当时，解得或，
又，
所以，
所以的取值范围诶,,．
③当时，时，
在，上单调递增，
所以，
，
所以在,,上的值域，
又，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：．
四、解答题
38．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数（且）的图象恒过定点，函数（且）的图象经过点.
(1)求函数的值域；
(2)讨论函数在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点的坐标，代入函数的解析式可得出的值，求出的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得的值域；
（2）令可得出，令，得，问题转化为直线与函数的图象的公共点个数，数形结合可得出结论.
【详解】（1）解：对于函数（且），
由可得，则，故点，
因为函数（且）的图象经过点，则，可得，
所以，，
因为，则，所以，，
因此，函数的值域为.
（2）解：易知，
函数的零点个数与方程的解的个数相同.
令，得，即.
当，令，得，
令，，该二次函数的对称轴为直线，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，当时，，且函数在上单调递减，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象没有公共点，
此时，函数在上没有零点；
当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，
此时，函数在上只有一个零点；
当时，直线与函数的图象有两个公共点，
此时，函数在上有两个零点.
综上所述，当或时，函数在上没有零点；
当或时，函数在上只有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
39．（2023秋·广西河池·高一统考期末）设（，且）.
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)，定义域为；
(2)见解析
【分析】（1）根据，解出值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；
（2）对原函数化简得，再结合复合函数的单调性和值域对进行分类讨论即可.
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，
所以的定义域需满足，
解得，即函数的定义域为.
（2）因为
则，
由，当或时，，
根据二次函数的性质可得，
①当时，在上单调递增，函数的值域为，
②当时，在上单调递减，函数的值域为.
40．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数，其中且.
(1)判断的奇偶性；
(2)若，解关于x的不等式.
【答案】(1)奇函数
(2)
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
（2）当时，由可得，
所以，
故，
故不等式的解集为．
41．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)若函数为偶函数，且不为常数．
①求实数，的值；
②判断并证明的单调性．
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②减函数，证明见解析
【分析】（1）分、、三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性；
（2）①利用特殊值得到方程组，求出参数的值，再代入检验即可；
②由①得到函数解析式，再利用定义法证明函数在上的单调性，即可得解.
【详解】（1）①当时，令，即，
所以的定义域为，不关于原点对称，
所以不具有奇偶性；
②当时，，，为奇函数；
③当时，，所以不为奇函数，
又，所以不为偶函数．
综上，当时，为奇函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由（1）知，若为偶函数，则，所以的定义域为．
①因为为偶函数，所以，
即，
所以，所以，
化简得，所以或，
当，时，，不合题意；
当，时，，
所以，为偶函数．
综上.
②由①得，
在为减函数，在为增函数．
下面证明在为增函数：
设是的任意两个数且，
，
因为，
因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
所以在为增函数，
因为为偶函数，所以在为减函数．
42．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知函数（且）在上的最小值为-1．
(1)求a的值；
(2)若函数满足：，且，，求满足的x的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值求得.
（2）根据的单调性求得不等式的解集.
【详解】（1）当时，在区间上递减，
；
当时，在区间上递增，
；
综上所述，的值为或.
（2）依题意，函数满足：，且，，
即在上递增，所以，.
由得，
即，
所以，即，
解得，
所以满足的x的取值范围是.
43．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数（且）．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)当时，，且函数在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案；
（2）依题可得，利用换元法把目标转化为二次函数最值问题求解.
【详解】（1）因为（且）为偶函数，所以，
而（且），
即（且），解得．
（2）当时，，
由，得，解得（舍）或，
在上恒成立，可转化为：
，在上恒成立．
，
令，则在上为增函数，所以，
，所以当时，取得最小值，
所以的取值范围为．
44．（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
【答案】(1)，
(2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析
(3)（百万个
【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
由图表数据可得，
，，
联立上式，解方程可得，，
则；
当时，，
由图表数据可得，
联立上式，解方程可得，
则；
（2）考虑①，由，
可得，而
，
可得模型①是“理想函数模型”；
考虑②，由，可得
而，
所以模型②不是“理想函数模型”；
（3）由（2）可得时，
（百万个
45．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若是定义在上的奇函数，且当时，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）求方程的所有根.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ），，
【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；
（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，，
由基本不等式，当时，，
即，
即；
（2）（ⅰ）依题意得，当时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，代入上式成立，
即当时，，
设，则，所以，
所以；
（ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况，
当时，与交于点和点，
由（1）知的图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，
同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，
所以方程有三个根，，.
46．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)解关于的不等式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据对数的运算性质可化简由换元法结合二次函数的性质即可求解，
（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，
（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.
【详解】（1）因为定义域为，
则
设，则，
所以值域为.
（2）不等式可化为，即解得或
即或，解得或
所以不等式的解集为或
（3）因为，
所以，
设，则，
原问题化为对任意，
即，
因为（当且仅当即时，取等号），
即的最小值为0，
所以.
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
y＝ax
a>1
0图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0(5)当x>0时，0当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
y=lgax
a>1
0图象
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)
(4)当x>1时，y>0;
当0(5)当x>1时，y<0;
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减
2
3
5
3.5
4.5
5.5