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（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-专题强化2《指数函数与对数函数》全章考点梳理（学生版+教师版）
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【考点突破】
一、指数、对数运算
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
2．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】本题应用，为奇数，进行整理计算．
【详解】（1）
（2）
3．(1)；
(2)．
【答案】(1)2；(2)4.
【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；
(2)根据对数的运算求解即可.
【详解】解:(1)原式
．
(2)原式
．
4．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算.
【答案】（1）11；（2）.
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据指数幂，对数的运算性质即可求解.
【详解】解：（1），，
，.
（2）原式
.
二、指数函数、对数函数的图象及其应用
1．函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】先做出的函数图像，经过逐步变换即可求解.
【详解】先画出的函数图像，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像，
故选：B.
2．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】讨论、，根据指对数函数的性质判断题设函数的单调性及所过的定点，即可确定符合要求的图象.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，C符合；
当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.
故选：C.
3．已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得出，分析函数的单调性与可判断出函数的图象.
【详解】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
如选：C.
4．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简，由指数函数的图像可得解
【详解】由题意，
结合指数函数的图像可知，选项C的图像正确
故选：C
5．已知且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由函数的图象可判断出.利用图像变换和单调性即可得到周期答案.
【详解】由函数的图象可判断出.
当时，经过定点（1，0），为增函数.
因为与关于y轴对称，所以经过定点（-1，0），为减函数.
而可以看作的图像向右平移一个单位得到的.
所以的图像经过定点（0，0），为减函数.
故选：D.
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别画出函数和的图象，利用函数的图象，即可求解.
【详解】不等式，
分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是
即不等式的解集是.
故选：B
7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.
【答案】x|2≤x≤4/
【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.
【详解】
因为经过，
所以时，令，
当时，可得，
所以的解集为.
故答案为：.
8．函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.
【答案】(0，1)
【分析】由题得函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，解不等式得解.
【详解】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，
所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.
令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，
由题意得，解得.
由指数函数的图象和性质得ab∈(0，1).
故答案为：(0，1)
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查函数的图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．（1）若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______；
（2）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】（1）作出函数的图像，数形结合，可得答案；
（2）作出函数的图像，数形结合，可得答案；
【详解】（1）,其图像如图所示，
要使曲线与直线有两个公共点，
则实数的取值范围为；
（2）作出曲线，如图所示，
要使曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是，
故答案为：；
三、指数函数、对数函数的性质及其应用
1．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断．
【详解】,
所以，
，而，
所以．
故选：A．
2．已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
3．设是定义域为R上的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数性质得，由对数函数与指数函数性质比较，，的大小，再由单调性得大小关系．
【详解】∵是R上的偶函数，∴.
∵，，∴，又在单调递增，
∴，∴，
故选：B.
4．函数的图象如下图所示，函数的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象求出的范围，然后可得答案.
【详解】由图可知当或时，满足；
由可得，由可得，
综上的解集是.
故选：D.
5．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性可以判断在上是增函数，进而利用二次函数单调性可以求出结果.
【详解】设，
其图象开向上，对称轴为直线．
函数在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
又在上单调递增，
，解得．
故选：C.
6．已知是上的减函数，那么的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据已知条件每一段函数都单调递减，且把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧函数值，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是上的减函数，所以每一段函数都单调递减，把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧函数值.
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、函数的零点与方程的根
1．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分别令解方程即可.
【详解】由题意可得：解得：；
，解得：.
综上：.
故选：B
【点睛】求函数零点类问题分为两大类：
(1)零点直接解出来：方程可解；
(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值.
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.
【详解】由为增函数，为增函数，
故为增函数，
由，
，
根据零点存在性定理可得使得，
故选：B.
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】因为在上单调递增，由零点的存在性定理知要使在上存在零点，需要满足，求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
4．若函数 ，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况分别解方程，即可得答案.
【详解】由题意函数，
则函数的零点个数即的解的个数，
当时,令,即或（舍去），得，符合题意；
当时，令，得，符合题意，
故的零点有2个，
故选：B.
5．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合即可判断.
【详解】函数的零点即的解，即与图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，与有两个交点.
故选：C
6．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为____．
【答案】
【分析】易得函数在区间上单调递增，再根据零点的存在性定理可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
因为函数的零点在区间上，
又当时，，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【随堂演练】
1．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为， ， ，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
2．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
3．设函数，，且，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得且，且，且，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】， 作出的图象如图所示，
由图可知，要使且成立， 则有且，
故必有且，
又，即为，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据奇函数的要求排除选项AB，依据在区间上单调递增排除选项D.
【详解】选项A：是偶函数，不符合题目要求；
选项B：是非奇非偶函数函数，不符合题目要求；
选项C：是奇函数，且在区间上单调递增，符合题目要求；
选项D：是奇函数，在单调递减，不符合题目要求.
故选：C
5．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
6．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.
【详解】当时，在区间上单调递增，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.
故选：C.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】解：因为，，
，
所以，
故选：B
8．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，
画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
9．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（ ）
A．2或3B．-3C．2D．3
【答案】C
【分析】根据为指数函数即可解得及的范围,由于指数函数为单调函数,其最值在端点处取得,列出等式即可得出结果.
【详解】解:由题知为指数函数,
故,且,
即在上的最大值和最小值的和是6,
由于指数函数为单调函数, 故最值在端点处取得,
即,解得:或(舍),
综上:.
故选:C
10．已知指数函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性求解.
【详解】由题意知函数在R上单调递减，
所以，解得.
故选:A.
11．设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的单调性、奇偶性，并结合函数性质比较大小，即可求解.
【详解】的定义域为，
且，所以函数是偶函数，当时，单调递增，
，，
是偶函数，所以，
在上递增，
所以，
即.
故选：D
12．已知函数，则（ ）
A．2B．-2C．D．-
【答案】A
【分析】根据函数的分段点代入求值.
【详解】，因为，所以.
故选：A.
13．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合，进而可求交集.
【详解】由题意可得：，
则.
故选：C.
14．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
15．方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定方程，构造函数并判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】令函数，则方程的解即为函数的零点，
而函数在R上单调递增，，，
因此函数的零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为.
故选：C
16．已知函数 ，则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】将方程的解的个数转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意可知方程的解的个数即为函数的图象的交点个数，
作出函数的图象，如图：
由图象知的图象有3个交点，
故方程的解的个数是3，
故选：D
17．（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】CD
【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．
【详解】由函数是上的增函数，
所以
所以，
故选：CD．
18．（多选）已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.
【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：
则，，即，，故D错误；
由图可知，且，，则，
由，，则，即，可得，即，
故A、C正确，B错误.
故选：AC.
19．当时，不等式且恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【分析】由已知中当时，不等式恒成立，则必为增函数，且当时的函数值不小于，由此构造关于的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】函数在区间上单调递增，
当时，，
若不等式恒成立，
若，则单调递减，则时，，与题意不符；
则且，
即
故答案为：．
20．函数f（x）的零点为_____.
【答案】﹣3
【分析】分别考虑和两种情况，计算零点得到答案.
【详解】当时，；
当时，，不满足，排除；
故函数零点为
故答案为：
【点睛】本题考查了函数零点的计算，意在考查学生的计算能力.
21．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)； (2)2
【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；
（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.
【详解】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
【考点突破】
一、指数、对数运算
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
2．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】本题应用，为奇数，进行整理计算．
【详解】（1）
（2）
3．(1)；
(2)．
【答案】(1)2；(2)4.
【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；
(2)根据对数的运算求解即可.
【详解】解:(1)原式
．
(2)原式
．
4．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算.
【答案】（1）11；（2）.
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据指数幂，对数的运算性质即可求解.
【详解】解：（1），，
，.
（2）原式
.
二、指数函数、对数函数的图象及其应用
1．函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】先做出的函数图像，经过逐步变换即可求解.
【详解】先画出的函数图像，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像，
故选：B.
2．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】讨论、，根据指对数函数的性质判断题设函数的单调性及所过的定点，即可确定符合要求的图象.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，C符合；
当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.
故选：C.
3．已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得出，分析函数的单调性与可判断出函数的图象.
【详解】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
如选：C.
4．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简，由指数函数的图像可得解
【详解】由题意，
结合指数函数的图像可知，选项C的图像正确
故选：C
5．已知且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由函数的图象可判断出.利用图像变换和单调性即可得到周期答案.
【详解】由函数的图象可判断出.
当时，经过定点（1，0），为增函数.
因为与关于y轴对称，所以经过定点（-1，0），为减函数.
而可以看作的图像向右平移一个单位得到的.
所以的图像经过定点（0，0），为减函数.
故选：D.
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别画出函数和的图象，利用函数的图象，即可求解.
【详解】不等式，
分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是
即不等式的解集是.
故选：B
7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.
【答案】x|2≤x≤4/
【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.
【详解】
因为经过，
所以时，令，
当时，可得，
所以的解集为.
故答案为：.
8．函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.
【答案】(0，1)
【分析】由题得函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，解不等式得解.
【详解】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，
所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.
令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，
由题意得，解得.
由指数函数的图象和性质得ab∈(0，1).
故答案为：(0，1)
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查函数的图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．（1）若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______；
（2）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】（1）作出函数的图像，数形结合，可得答案；
（2）作出函数的图像，数形结合，可得答案；
【详解】（1）,其图像如图所示，
要使曲线与直线有两个公共点，
则实数的取值范围为；
（2）作出曲线，如图所示，
要使曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是，
故答案为：；
三、指数函数、对数函数的性质及其应用
1．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断．
【详解】,
所以，
，而，
所以．
故选：A．
2．已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
3．设是定义域为R上的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数性质得，由对数函数与指数函数性质比较，，的大小，再由单调性得大小关系．
【详解】∵是R上的偶函数，∴.
∵，，∴，又在单调递增，
∴，∴，
故选：B.
4．函数的图象如下图所示，函数的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象求出的范围，然后可得答案.
【详解】由图可知当或时，满足；
由可得，由可得，
综上的解集是.
故选：D.
5．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性可以判断在上是增函数，进而利用二次函数单调性可以求出结果.
【详解】设，
其图象开向上，对称轴为直线．
函数在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
又在上单调递增，
，解得．
故选：C.
6．已知是上的减函数，那么的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据已知条件每一段函数都单调递减，且把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧函数值，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是上的减函数，所以每一段函数都单调递减，把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧函数值.
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、函数的零点与方程的根
1．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分别令解方程即可.
【详解】由题意可得：解得：；
，解得：.
综上：.
故选：B
【点睛】求函数零点类问题分为两大类：
(1)零点直接解出来：方程可解；
(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值.
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.
【详解】由为增函数，为增函数，
故为增函数，
由，
，
根据零点存在性定理可得使得，
故选：B.
3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】因为在上单调递增，由零点的存在性定理知要使在上存在零点，需要满足，求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
4．若函数 ，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况分别解方程，即可得答案.
【详解】由题意函数，
则函数的零点个数即的解的个数，
当时,令,即或（舍去），得，符合题意；
当时，令，得，符合题意，
故的零点有2个，
故选：B.
5．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合即可判断.
【详解】函数的零点即的解，即与图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，与有两个交点.
故选：C
6．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为____．
【答案】
【分析】易得函数在区间上单调递增，再根据零点的存在性定理可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
因为函数的零点在区间上，
又当时，，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【随堂演练】
1．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为， ， ，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
2．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
3．设函数，，且，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得且，且，且，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】， 作出的图象如图所示，
由图可知，要使且成立， 则有且，
故必有且，
又，即为，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据奇函数的要求排除选项AB，依据在区间上单调递增排除选项D.
【详解】选项A：是偶函数，不符合题目要求；
选项B：是非奇非偶函数函数，不符合题目要求；
选项C：是奇函数，且在区间上单调递增，符合题目要求；
选项D：是奇函数，在单调递减，不符合题目要求.
故选：C
5．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
6．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.
【详解】当时，在区间上单调递增，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.
故选：C.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】解：因为，，
，
所以，
故选：B
8．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，
画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
9．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（ ）
A．2或3B．-3C．2D．3
【答案】C
【分析】根据为指数函数即可解得及的范围,由于指数函数为单调函数,其最值在端点处取得,列出等式即可得出结果.
【详解】解:由题知为指数函数,
故,且,
即在上的最大值和最小值的和是6,
由于指数函数为单调函数, 故最值在端点处取得,
即,解得:或(舍),
综上:.
故选:C
10．已知指数函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性求解.
【详解】由题意知函数在R上单调递减，
所以，解得.
故选:A.
11．设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的单调性、奇偶性，并结合函数性质比较大小，即可求解.
【详解】的定义域为，
且，所以函数是偶函数，当时，单调递增，
，，
是偶函数，所以，
在上递增，
所以，
即.
故选：D
12．已知函数，则（ ）
A．2B．-2C．D．-
【答案】A
【分析】根据函数的分段点代入求值.
【详解】，因为，所以.
故选：A.
13．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合，进而可求交集.
【详解】由题意可得：，
则.
故选：C.
14．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
15．方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定方程，构造函数并判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】令函数，则方程的解即为函数的零点，
而函数在R上单调递增，，，
因此函数的零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为.
故选：C
16．已知函数 ，则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】将方程的解的个数转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意可知方程的解的个数即为函数的图象的交点个数，
作出函数的图象，如图：
由图象知的图象有3个交点，
故方程的解的个数是3，
故选：D
17．（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】CD
【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．
【详解】由函数是上的增函数，
所以
所以，
故选：CD．
18．（多选）已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.
【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：
则，，即，，故D错误；
由图可知，且，，则，
由，，则，即，可得，即，
故A、C正确，B错误.
故选：AC.
19．当时，不等式且恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【分析】由已知中当时，不等式恒成立，则必为增函数，且当时的函数值不小于，由此构造关于的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】函数在区间上单调递增，
当时，，
若不等式恒成立，
若，则单调递减，则时，，与题意不符；
则且，
即
故答案为：．
20．函数f（x）的零点为_____.
【答案】﹣3
【分析】分别考虑和两种情况，计算零点得到答案.
【详解】当时，；
当时，，不满足，排除；
故函数零点为
故答案为：
【点睛】本题考查了函数零点的计算，意在考查学生的计算能力.
21．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)； (2)2
【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；
（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.
【详解】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
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