苏教版初升高一初数学预习专题05分式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

这是一份苏教版初升高一初数学预习专题05分式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了分式的意义，已知分式的值为0，则，观察佳佳计算的过程，已知，则常数__，__，中a的取值范围______等内容，欢迎下载使用。


初中对于分式的学习，是对于简分式的学习，分子分母都是数或者整式。高中阶段，增加了繁分式的学习，对于分子分母又含有分式的式子又该如何处理。要抓住重点，就是分式有意义的条件是什么，分式值为零的条件又是什么，用“整体”的思想去考虑问题。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：分式
备：绝对值
1．分式的意义
形如AB的式子，若B中含有字母，且B≠0，则称AB为分式。
2.分式的性质
当M≠0时，分式AB具有以下性质(基本性质)：
AB=A×MB×M;
AB=A÷MB÷M.
分式有意义条件：分母不为零；
分式值为零条件：分子为零、分母不为零。
高中增加知识：繁分式
备：绝对值
繁分式：分子或分母中又含有分式的式子。
典例剖析
例题1．阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”……
问题：
（1）材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；
（2）类比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表：
试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？
变式训练
1. 观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？
能力提升
1. 观察下列各个等式：
第1个等式：÷－0=1；
第2个等式：÷－1=；
第3个等式：÷－2=；
……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
对点精练
1．等式成立的条件是（ ）
A．B．且
C．D．
2．已知分式的值为0，则（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
3．如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．缩小到原来的二分之一D．扩大4倍
4．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
5．观察佳佳计算的过程：
＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
则下列说法正确的是（ ）
A．运算完全正确B．第①②两步都有错
C．只有第③步有错D．第②③两步都有错
6．已知实数m、n满足，则代数式______．
7．已知，则常数__，__．
8．中a的取值范围______．
9．若分式的值为零，则的值为_______．
10．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
11．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中
12．阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
（1）已知．
①代数式的值为_______；
②求证：．
（2）若x满足，求的值．
13．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
14．先化简，再求值：，其中．
15．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
例如：；．
解决下列问题：
（1）分式是_______分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为带分式的形式；
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
《初中课程要求》
1、了解分式、有理式的概念；
2、理解分式有意义的条件，分式值为零的条件；
3、能熟练求出分式有意义的条件，分式值为零的条件。
《高中课程要求》
1、理解分式有意义的条件，分式值为零的条件；
2、能够进行分式的化简；
3、能够处理“繁分式”。
组别
人数（人）
总金额（元）
甲
乙
已知实数同时满足，求代数式的值．
专题05 分式
专题综述课程要求
初中对于分式的学习，是对于简分式的学习，分子分母都是数或者整式。高中阶段，增加了繁分式的学习，对于分子分母又含有分式的式子又该如何处理。要抓住重点，就是分式有意义的条件是什么，分式值为零的条件又是什么，用“整体”的思想去考虑问题。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：分式
备：绝对值
1．分式的意义
形如AB的式子，若B中含有字母，且B≠0，则称AB为分式。
2.分式的性质
当M≠0时，分式AB具有以下性质(基本性质)：
AB=A×MB×M;
AB=A÷MB÷M.
分式有意义条件：分母不为零；
分式值为零条件：分子为零、分母不为零。
高中增加知识：繁分式
备：绝对值
繁分式：分子或分母中又含有分式的式子。
典例剖析
例题1．阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”……
问题：
（1）材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；
（2）类比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表：
试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？
【答案】（1）分式的基本性质；等式的基本性质；（2）；（3）甲组
【分析】
（1）根据分式的基本性质和等式的基本性质解答即可；
（2）先将原方程两边平方转化成整式方程，再求一元一次方程的解，最后必须检验；
( 3）设甲、乙各有人，列代数式，通过分式相减与0的关系，易判断甲组均分的钱多.
【详解】
解：（1）分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）；
等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）；
（2）
方程两边平方，得1-2x=9，

经检验，是原方程的解；
（3）由甲、乙两组人数相同，设两组各有人，则甲组均分元，乙组均分 元.
>0,所以甲组人均分的钱多.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质与等式的基本性质，列代数式，分式的加减法应用等，涉及到了二次根式的非负性以及配方法的应用，强调了转化思想在数学中的应用.
变式训练
1. 观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？
【答案】（1）①；② ；（2）1或3
【分析】
（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；
（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x取什么值时，的值为整数．即可得到答案．
【详解】
解：（1）①．
故答案为．
②
故答案为．
（2）
当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
即或时，的值为整数．
∴，．
即当x为1或3时，的值为整数．
【点睛】
本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．
能力提升
1. 观察下列各个等式：
第1个等式：÷－0=1；
第2个等式：÷－1=；
第3个等式：÷－2=；
……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】
（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系的变化规律为：第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1，以此规律第5等式可得；
（2）利用（1）中的规律，第n等式可得，用分式的运算法则计算等式的左边，结论可得．
【详解】
解：（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系发现规律如下：
第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1．
第5个等式：．
即：．
（2）依据（1）得出的规律可得：
．
证明：左边右边，
等式成立．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，列代数式，分式的混合运算，准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键．
对点精练
1．等式成立的条件是（ ）
A．B．且
C．D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】
解：根据题意得，，
∴，
∴
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答此题的关键．
2．已知分式的值为0，则（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
【答案】A
【分析】
根据分式值为零的条件可得：3x2﹣3＝0，且x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题可得，3x2﹣3＝0，且x+1≠0，
解得x＝±1，x≠﹣1，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．缩小到原来的二分之一D．扩大4倍
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质求解．
【详解】
，
故选：．
【点睛】
本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
4．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】
先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【详解】
解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．
5．观察佳佳计算的过程：
＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
则下列说法正确的是（ ）
A．运算完全正确B．第①②两步都有错
C．只有第③步有错D．第②③两步都有错
【答案】C
【分析】
由分式加减法则，通分化为同分母分式再相加减，即可得到答案．
【详解】
解：
，
∴第③步错；
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的加减，通分化为同分母分式相加减，同分母分式相加减时分母不变，分子相加，解题的关键是掌握分式加减的法则．
6．已知实数m、n满足，则代数式______．
【答案】-1
【分析】
由得，代入所求，再变形即可化简求解．
【详解】
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．
7．已知，则常数__，__．
【答案】5 1
【分析】
先将原式右边通分，可得进而可得A和B的值．
【详解】
解：由已知得，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：5，1．
【点睛】
本题考查了分式的加减法，解答本题的关键是准确进行分式的加减运算．
8．中a的取值范围______．
【答案】且
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件即可得答案．
【详解】
∵有意义，
∴且，
解得：且，
故答案为：且
【点睛】
本题考查分式和二次根式有意义的条件，要使分式有意义分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．
9．若分式的值为零，则的值为_______．
【答案】
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子为零而分母不为零，然后进行计算即可．
【详解】
解：∵分式的值为零，
∴且，
解方程得，，；
解不等式得，，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件和分式没有意义的条件，属于基础知识的考查，比较简单．
10．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1 7
【分析】
（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，

解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
11．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据分式化简的基本步骤：通分、约分、化为最简后利用条件求值；
（2）根据分式化简的基本步骤：括号里先通分、除以一个数等于乘上一个数的倒数、约分、化为最简后利用条件求值．
【详解】
解：（1）原式

当时，
原式．
（2）原式
，
，
则原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简和求值，解题的关键是：根据分式化简的基本步骤，将分式化简后，再求值．
12．阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
（1）已知．
①代数式的值为_______；
②求证：．
（2）若x满足，求的值．
【答案】（1）①1；②证明见解析；（2）2021．
【分析】
（1）①把xy=1代入，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy=1可得=1，同①的方法计算即可得结论；
（2）设，，可得，利用完全平方公式求出ab的值即可得答案．
【详解】
（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案为：1
②∵xy=1，
∴=1，
∴
=
=
=
=
=1．
（2）设，，
∴，
∵，
∴，
∴=4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴=2021．
【点睛】
本题考查利用提取公因式法和完全平方公式因式分解及分式的加法，熟练掌握完全平方公式及分式的加法法则是解题关键．
13．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）真分式；（2）；（3），．
【分析】
（1）根据题意，可以判断分式是真分式还是假分式；
（2）根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式；
（3）根据分式的除法和减法可以将式子化简，然后化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数．
【详解】
解：（1）由题意可得，真分式；
故答案为：真分式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
若上式是数，则，
即或，
又，0，1
；
【点睛】
本题考查分式的化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
14．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算．
【详解】
解：
当时，原式．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化运算，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
15．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
例如：；．
解决下列问题：
（1）分式是_______分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为带分式的形式；
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）真；（2）；（3）2或0
【分析】
（1）根据真分式的定义判断即可；
（2）将分子配出分母的形式，然后化简即可；
（3）将分子上减去1再加上1，然后利用平方差公式化简即可，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】
解：（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3），
，
．
分式的值为整数，且为整数，
，
或0．
【点睛】
本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义是解题的关键．
《初中课程要求》
1、了解分式、有理式的概念；
2、理解分式有意义的条件，分式值为零的条件；
3、能熟练求出分式有意义的条件，分式值为零的条件。
《高中课程要求》
1、理解分式有意义的条件，分式值为零的条件；
2、能够进行分式的化简；
3、能够处理“繁分式”。
组别
人数（人）
总金额（元）
甲
乙
已知实数同时满足，求代数式的值．