天津市南开中学2023-2024学年高一下学期期末学情调查数学试卷(无答案)

这是一份天津市南开中学2023-2024学年高一下学期期末学情调查数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37，30，42，32，41，46，45，48，35，53，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A．45B．42C．43.5D45.5
3．某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
4．设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则．
B．若，，，则．
C．若，，则．
D．若，，，则．
5．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的。假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
6．四棱锥的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（ ）
A．3B．4C．D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知中，，点D在边BC上且，，的面积分别是，，若为定值，当取得最小值时，的值为（ ）
A．2mB．C．2D．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
9．某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为________人．
10．高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率为________．
11．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为________．
12．在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，若，则________．
13．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为________．
14．如图，平面四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为________．
三、解答题：（共4小题，共44分）
15．（本小题6分）
如图，四棱锥中，四边形ABCD矩形，PA⊥平面ABCD，于E，于F，设平面AEF交PC于G，求证：．
16．（本小题10分）
如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．
（1）证明：；
（2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
17．（本小题14分）
已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且．
（1）求．
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）在（2）的条件下，求的值．
18．（本小题14分）
如图①所示，矩形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
（1）求证：平面PAM；
（2）若平面PAM⊥平面ABCD，求直线BC，与平面PMB所成角的大小；
（3）设的大小为θ，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．