2023-2024学年天津市南开中学高二上学期第二次学情调查数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市南开中学高二上学期第二次学情调查数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据一般式直线方程垂直的公式，即可求解.
【详解】由题意可知，两直线垂直，则，得.
故选：A
2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
故选：C.
3．方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值.
【详解】方程即，
则所给圆的半径，
所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.
故选：C
4．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】空间向量，平方求模长即可求解.
【详解】由，两边平方得：
.
所以.
故选：A.
5．已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】B
【分析】根据直线经过圆心即可求出，再利用两点间距离公式求出，最后由勾股定理即可求解.
【详解】因为直线是圆：的对称轴，
圆心坐标为，半径为.
所以，解得，所以，
因为过点作圆的一条切线，切点为，
所以.
故选：B.
6．已知椭圆C：，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定，进而可得，即可求椭圆的离心率．
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴，不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，解得，所以，
又为等腰直角三角形，所以，
即，即，所以，
解得或（舍．
故选：B

7．已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，
而双曲线的虚半轴长为b，即，
显然四边形为矩形，其面积，得，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
8．设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足.动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可设：，根据向量的坐标运算结合两点间距离公式分析求解.
【详解】由题意可设：，
则，
因为，则，解得，
又因为，
则，整理得，
所以动点的轨迹方程为.
故选：A.
二、填空题
9．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】利用直线斜率的定义式及直线斜率与倾斜角的关系式可得解.
【详解】由直线经过，两点，
则，
设直线的倾斜角为，，
则，
则，
故答案为：.
10．直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 .
【答案】/
【分析】根据两直线平行求出a的值，然后根据平行线间距离公式，求出答案.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，所以，
所以直线为，即，满足题意，
所以这两条平行线间的距离为.
故答案为：.
11．已知圆，直线，直线l被圆C截得的弦长为
【答案】
【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求解．
【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为4，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为．
故答案为：．
12．已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为 .
【答案】
【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线恒过定点，点到直线距离的最大时两直线垂直，从而利用斜率之积为建立方程求解即可.
【详解】由题可列：，解得，所以点的坐标为，
因为直线，即，
由，得，即直线恒过定点，
所以点到直线的最大距离为
.
此时直线垂直，所以，解得.
故答案为：
13．已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解.
【详解】如图所示，
∵∥，
∴，
又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，
∴，
则，
∴为等腰三角形，作，垂足为M，
过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D，
则，
由等腰三角形三线合一可知，
且注意到，
由勾股定理得，
由相似三角形的性质可得，
所以，
整理可得，
又，
所以.
故答案为：.
14．“数学在晚旁，月也在晚旁.”是时候为《晚旁》写一句诗､做一枚徽标了.“晩旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图1）.已知，其中.如图为圆与的交点，若弦将圆分为长度之比为的两段弧，则组成“月亮”的两段弧长之比为 .（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1.）
【答案】/
【分析】求出两相交圆的公共弦，再由圆的长度比求出，得到圆的方程分别求组成“月亮”的弧长即可.
【详解】由，
两圆方程相减可得，
又可化为，
因为弦分圆分为长度之比为的两段弧，可知，
所以的圆心到直线的距离等于半径的一半，
即，解得，
又，所以，
所以圆的方程为，半径为，
所以圆的被弦截得较长的弧长为；
圆可化为，
圆心，满足直线的方程，
故“月亮”的长度较小的弧长为圆的半圆弧长.
所以组成“月亮”的两段弧长之比为.
故答案为：
三、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，点在线段上，且.
(1)求与所成的角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角；
（2）利用空间向量求面面夹角；
（3）利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）因为底面，底面，则，
且为正方形，可得，所以两两垂直，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
则，
所以与所成的角的余弦值为.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
（3）由（1）可得，
所以点到平面的距离.
16．已知椭圆过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的概念及过点的坐标待定系数计算即可；
（2）先利用直线与圆相切得出，再利用韦达定理及向量数量积计算即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的长轴长，得，
因为点在椭圆上，所以得，
所以椭圆的方程为；
（2）由直线与圆相切，得，即，
设，由
消去，整理得．
由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
所以，
，
所以，
因为，所以．
又因为，所以，
得的值为.
四、证明题
17．已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
(1)求椭圆的方程；
(2)过做椭圆的切线，交直线于点.
①求证：；
②求三角形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见详解，
【分析】（1）由题意可设点为椭圆上任意一点，满足到的距离与到直线的距离之比为，列式计算可得解；
（2）根据过椭圆上一点的切线方程与直线求出点坐标，求出，坐标，证明即可；由坐标求出以及点到切线的距离，求出，变换求出最小值得解.
【详解】（1）由题意，设点为椭圆上任意一点，，则，点到直线的距离为，
，化简整理得，又点满足，即，
，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）先来证明过椭圆上任意一点的切线方程为.
当过点切线的斜率不存在时，即切线为或，满足上式；
当切线斜率存在时，设过点切线方程为，代入椭圆方程，
整理得，，解得，
，，
，，所以切线方程为，整理得，
所以过椭圆上任意一点过点切线的切线方程为.
①在切线方程中，令，解得，所以点的坐标为，又，
，，
，
.
②，又，
，又点到切线的距离为，
，，
令，，
，
令，，令，对称轴为，
由二次函数单调性可得当时，取得最大值1，
即时，取得最大值1，最小值为.
所以当时，的面积取得最小值.

【点睛】思路点睛：本题第二问考查了椭圆的切线问题.先利用一般方法推导出过椭圆上一点的切线方程，利用向量方法只需证明即可，第2小问，求出以及点到切线的距离，表示出，，换元转化为二次函数求最值，问题得解.