2022届天津市南开中学高三下学期第四次学情调查数学试卷（含答案）

这是一份2022届天津市南开中学高三下学期第四次学情调查数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了本卷共11小题，共105分等内容，欢迎下载使用。
南开中学2022届高中三年级第四次学情调查数学学科 试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至3页，第II卷4至6页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回。祝各位考生考试顺利！第Ｉ卷注意事项：１.     每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。２.     本卷共9小题，每小题5分，共45分。一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）函数的图象大致为（A）（B）（C）（D）（4）某市通过统计个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为：，，，，，，.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（A）（B）（C）（D）（5）设，，，则（A）（B）（C）（D）（6）已知三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）（7）若将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（A）在上的最小值是（B）是的一个对称中心（C）在上单调递减（D）的图象关于点对称（8）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，若双曲线与抛物线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2（9）已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）           第II卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共11小题，共105分。二．填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．（10）已知复数，则 ____________.（11）二项式的展开式中的系数为____________.（12）过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是____________.（13）已知正数，满足，则的最小值为____________.（14）天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游胜地. 2021年元月以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记分，继续游玩记分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取人，记总得分为随机变量，则的数学期望____________.（15）如图，在菱形中，，，，分别为线段，上的点，，，点在线段上，且满足，则____________；若点为线段上一动点，则的取值范围为____________.三．解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（I）求角的大小；（II）若，. 求：（ⅰ）边长；（ⅱ）的值. （17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，点是棱上一点，且，.（I）若，求证：平面；（II）求二面角的正弦值；（III）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. （18）（本小题满分15分）设是等差数列，是等比数列，公比大于，其前项和为.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前项和为.记，求；（III）求.（19）（本小题满分15分）已知椭圆过点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且.（I）求椭圆的方程；（II）过点的直线与椭圆交于另一点，过点的直线与椭圆交于另一点，直线与的斜率的乘积为，点和点关于轴对称，求直线的斜率.          （20）（本小题满分16分）已知，.（为正整数，）（I）若在处的切线垂直于直线，求实数的值；（II）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；（III）当时，证明：.              2022届南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案 一、单选题1~5. CADBA  6～9. DCDA 二、填空题10. 11. 12. 或13. 14. 15. ， 三、解答题16. （Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）. 17. （I）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），设平面ACM的法向量，则，取x＝2，得（2，﹣2，1），∵4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（II）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b＝1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（III）设，（0≤λ≤1），则，∴，，平面CDP的法向量，∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴| |＝＝＝，解得λ＝，∴． 18. （Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），由，，可得，解得或（舍去），所以，由，，则，解得，所以，解得，所以，解得，且，解得，所以.综上所述，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，，故.（Ⅲ）设，，①，②  ①②可得，即，所以，故. 19. （I）因为，即，又椭圆过点，所以，解得，椭圆方程为.（II）设直线的方程为，则得，解得，所以.因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，同理可得.因为M，N关于y轴对称，所以，即，解得.所以直线的斜率为 20. （Ⅰ），依题意得  （Ⅱ）要证仅有1个零点，即证仅有1个实根即证，仅有1个实根 ①当时，在区间上单调递增， 又，，所以在区间上有一个零点. ②当时，设.，所以在区间上单调递增.又，，所以存在，使得.所以，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；又，.所以在区间上无零点. 综上所述，函数在内只有一个零点. （Ⅲ）当时，，要证，只需证： 令，，所以在单调递减所以所以 要证（1），只需证   法一：令  令 ，在单调递减，，，，使，即，当，，单调递增当，，单调递减，所以原命题得证 ，法二：令∴在单调递减，在单调递增∴∴， ∵∴ ，∴，即证∴原命题得证