海口市第一中学2024届九年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)

这是一份海口市第一中学2024届九年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：A、和不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；
故选：D．
2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：，
解得，
解得，
利用数轴表示为：
．
故选：A．
3. 如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A. 25°B. 75°C. 65°D. 55°
答案：C
解析：如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，
∴∠3＝180°-90°-25°=65°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝65°，
故选C．
4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA—AC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y（），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图1，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝4cm，
∴BH＝CH．
∵∠B＝30°，
∴AH＝AB＝2，
∴BH＝AH＝2，
∴BC＝2BH＝4．
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需8s，Q点运动到C需8s．
分类讨论：①当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
由题意可知BQ＝x，BP＝x，
在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，
∴y＝＝；
②当4由题意可知CQ＝8-x，BP＝x，
在Rt△CDQ中，DQ＝CQ＝(8-x)，
∴y＝＝+x．
综上所述，y＝．
故选：D．
5. 如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选A．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A. ，故此选项错误；
B. ，正确；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项错误．
故选：B．
7. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，，直线交圆于E，，则圆的半径为（ ）

A. 4B. 3C. D.
答案：C
解析：解：连接，

∵，
根据垂径定理：，
设圆的半径是，
在中，有，
即：，
解得：，
∴圆的半径长是，
故选：C．
8. 如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解析：解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不同的根，
∴，故①错误；
∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，
∴与x轴的另一交点在点和之间，
∴时，，故②错误；
∵抛物线的顶点为，
∴，即，故③正确；
当时，，
故④正确；
故选：B．
9. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
答案：A
解析：解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2，
点的横坐标为．
由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，
当时，的取值范围是或．
故选：A．
10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③若m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：解：①抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即．
抛物线与y轴交于正半轴，则，
所以．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口方向向下，
∴函数的最大值为，
∴当时，，即，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴关于直线的对称点为，抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
∴，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，即，
∵，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：B．
11. 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于( )
A. 12B. 6C. 8D. 10
答案：B
解析：解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6．
故选B．
12. 数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）
A. 射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
B. 车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
C. 学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
D. 地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
答案：A
解析：解：A、在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意；
B、因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意；
C、学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定性”，故不符合题意；
D、地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．
故选：A．
13. 如图 ，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB 的度数是（ ）
A. 58°B. 60°C. 61°D. 122°
答案：C
解析：解：根据尺规作图痕迹可得，AD平分，则，
∵，
∴，，
∴，
故选：C
14. 学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A. ﹣=100B. ﹣=100
C. ﹣=100D. ﹣=100
答案：B
解析：解：科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
﹣=100，
故选B．
二、非选择题（共58分）
15. 如图，⊙的半径为2，点A，B，C都在⊙上，若．则的长为_____（结果用含有的式子表示）
答案：##
解析：，，
，
⊙的半径为2，
，
故答案为：．
16. 计算：．
答案：
解析：解：
17. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
答案：（1）作图见解析
（2），证明见解析
小问1解析：
解：如图，
小问2解析：
解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
18. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
答案：（1）；（2）-7解析：解：（1）原式
；
（2）解不等式：x-3（x-2）≥4，得：x≤1，
解不等式：，得：x>-7，
则不等式组的解集为：-719. 如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．
（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；
（2）在图1中连接CB，DB，若，求tanT的值；
（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT，DT＝6．求：DG的长．
答案：（1）详见解析；（2）CD是圆的直径；（3）
解析：解：（1）证明：CD是⊙O的直径，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，
∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，
∴AO2＝OE•OT，AB是圆的直径，
，又∠AOE＝∠BOT，
∴△AOE∽△TOB，
∴∠OBT＝∠AEO＝90°，
∴BT是⊙O切线；
（2）CD是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，又∠OBT＝90°，∴∠CBO＝∠DBT，
∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝∠DBT，又∠T＝∠T，
∴△DBT∽△BCT，
∴，
设DT＝m（m＞0），
则BT＝2m，CT＝4m，
则CD＝3m，OB＝OD＝1.5m，
在Rt△OBT中，
，
（3）∵∠OBT＝90°，
∴OB2+BT2＝OT2，
设半径为r，又BT＝6，DT＝6，
r2+（6）2+（r+6）2，
解得：r＝3，
∴△AOE∽△TOB，
，即：，
∴OE＝1，
AE＝2，
∵GP⊥CD于点P，∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠GPO，
又∠AOE＝∠GOP，
∴△AOE∽△GOP，
∴，
设：OP＝a，则PG＝2a，
PD＝OD﹣OP＝3﹣a，
而△PDG∽△EDF，
则，
即：，解得：，
∴，
在Rt△PDG中，
．
20. 如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，最大值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
解析：解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．