海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年九年级下学期四月月考数学试题A卷（原卷版+解析版）

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一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1. ﹣15的倒数为（ ）
A. 15B. ﹣15C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
【分析】互为倒数的两个数乘积为，进而可求得的倒数．
【详解】解：的倒数为
故选D．
【点睛】本题考查了倒数．解题的关键与难点在于理解倒数含义．
2. 下列图形中既是轴对称是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A. 2或4B. 0或4C. ﹣2或0D. ﹣2或2
【答案】B
【解析】
【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a＞bB. |a|＞|b|C. ﹣a＜bD. a+b＞0
【答案】B
【解析】
【分析】根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
A、a＜b，故此选项错误；
B、|a|＞|b|，正确；
C、﹣a＞b，故此选项错误；
D、a+b＜0，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置确定式子的正负，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：A、函数y=ax﹣a的图象应该交于y轴的负半轴，故不符合题意；
B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，故不符合题意；
C．由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故不符合题意；
D．由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6. 图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）．
A. 246 mmB. 247mmC. 248mmD. 249mm
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作的垂线交DC延长线与点E，过点B作的平行线，交AE于点F，过点C作于点G．根据平行线的性质可求出∠CBG＝70°，ABF＝60°．再利用锐角的正弦值解直角三角形即可求解．
【详解】如图，过点A作的垂线交DC延长线与点E，过点B作的平行线，交AE于点F，过点C作于点G．
由作图可知四边形EFGC为矩形，
∴EF=CG．
∵∠BCD＝70°，
∴∠CBG＝70°．
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABF＝60°．
根据题意可知AB=200mm，CB=80mm，
∴，，
∴．
故托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，平行线的性质，矩形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
7. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是( )
A. 1≤m≤3B. 3≤m≤5C. 3≤m≤6D. m≥3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为(n,n)，
∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根，
∴，
∴a=-1，
∴二次函数y=ax2+6x-5的解析式为：y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4，
∴当x=3时，函数有最大值为4，
又∵当0≤x≤m时，函数最小值为-5，
令-x2+6x-5=-5，
则x=0或6，
∴要使函数最小值为-5，最大值为4，
则3≤m≤6，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
8. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从几何体正面看所得到的图形即可．
【详解】解：如图所示，
几何体主视图是：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
10. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
11. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
12. 下列几何体中，俯视图是三角形的是( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯视图是从几何体的上面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得答案．
【详解】解：A.圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B.三棱锥的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C.长方体俯视图是矩形，故此选项不合题意；
D.六棱柱的俯视图是六边形，故此选项符合题意；
故选B.
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．
13. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
14. 化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】===m+n，
故选A.
二、非选择题（共58分）
15. 因式分解：m2n﹣6mn+9n=__．
【答案】n（m﹣3）2
【解析】
【详解】m2n﹣6mn+9n
=n（m2﹣6m+9）
=n（m﹣3）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
16. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆，再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案．
【详解】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，
∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图，是解题的关键．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂和二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂和二次根式的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
18. 先化简，再求值：，其中a＝﹣．
【答案】；6
【解析】
【分析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可．
【详解】解：原式＝
，
当时，原式＝6．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
19. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）2米；（2）米
【解析】
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH===，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=，
解得：AB=，
即大树AB的高度为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）因为AE直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四边形ABCD内接于，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．