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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂达标检测题，共21页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，且∠POF=60∘，则PF=（ ）
A．53B．2C．73D．103
2．（3分）(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则AB=（ ）
A．303B．8C．12D．73
3．（3分）（2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．
A．25B．26C．32D．23
4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．233B．433C．33D．163
5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能
6．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则当|AB|+|DE|取得最小值时，四边形ADBE的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
7．（3分）(2023·河南·模拟预测（理））已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，过F且不与x轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，P为x轴上一点，满足PA=PB，则ABPF（ ）
A．为定值2B．为定值1
C．不是定值，最大值为1D．不是定值，最小值为1
8．（3分）已知A，B是抛物线C:y2=4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），AF=2BF
C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8
D．点A坐标4,4，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7=0
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=1
B．线段AB的中点在直线y=2上
C．若AB=8，则△OAB的面积为22
D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
10．（4分）(2023·福建·高二期中）设抛物线C:y2=4x的焦点为F直线l过F且与C交于A,B两点，若AF=3BF，则l的方程为（ ）
A．y=33(x−1)B．y=−33(x−1)
C．y=3(x−1)D．y=−3(x−1)
11．（4分）(2023·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则（ ）
A．x1x2=2B．y1y2=−4
C．|AB|=163D．△AOB的面积为233
12．（4分）（2023·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（ ）
A．y1y2=14
B．以AB为直径的圆与直线y=−12相切
C．OA·OB的最小值2 2
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·上海市高三阶段练习）直线y=kx+1与抛物线y2=4x至多有一个公共点，则k的取值范围为 ．
14．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）若直线l经过抛物线x2=4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
15．（4分）(2023·全国·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'(0,−2)的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1，Bx2,y2两点（其中016．（4分）(2023·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）设直线l:y=kx+1，抛物线C:y2=4x，当k为何值时，l与C相切 ？相交？相离？
18．（6分）(2023·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2x，Ax1,y1，Bx2,y2是C上两个不同的点．
(1)求证：直线y1y=x1+x与C相切；
(2)若O为坐标原点，OA⋅OB=−1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
20．（8分）(2023·江苏·高二）①M1,t为抛物线C上的点，且MF=32；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，______，若直线y=x−2与抛物线C相交于A、B两点，求弦长AB．
21．（8分）（2023·湖北省高二阶段练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F(1,0)的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线l1，l2分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①PF=x0+1，②y0=2x0=2，③PF⊥x轴时，PF=2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Px0,y0在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l:x−y−2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．
专题3.14 直线与抛物线的位置关系-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，且∠POF=60∘，则PF=（ ）
A．53B．2C．73D．103
【解题思路】不妨设点Px,y为第一象限内一点，将直线OP的方程与抛物线方程联立，求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义可求得PF.
【解答过程】不妨设点Px,y为第一象限内一点，则直线OP的斜率为3，直线OP的方程为y=3x，
联立y=3xy2=4xy>0，解得x=43y=433，即点P43,433，
所以，PF=43+1=73.
故选：C.
2．（3分）(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则AB=（ ）
A．303B．8C．12D．73
【解题思路】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【解答过程】依题意可知抛物线C:y2=6x焦点为32,0，直线AB的方程为y=3x−32，
代入抛物线方程得4x2−20x+9=0，可得xA+xB=5，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为xA+p2+xB+p2=5+3=8．
故选：B．
3．（3分）（2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．
A．25B．26C．32D．23
【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答过程】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0=6，
故水面宽为26m．
故选：B．
4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．233B．433C．33D．163
【解题思路】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【解答过程】抛物线C:y2=4x的焦点坐标为1,0，
则斜率为3的直线方程为：y=3x−1，与抛物线方程联立得：
3x2−10x+3=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，不妨设x1=13，x2=3，
则AB=1+3x1−x2=163，
点O到直线AB的距离为d=−31+3=32，
所以△AOB的面积为12×163×32=433
故选：B.
5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能
【解题思路】设出直线AB的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出y1+y2,y1y2，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断.
【解答过程】
如图，设Ax1,y1，Bx2,y2，则y12=2px1，y22=2px2，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为my=x−p2，联立my=x−p2y2=2px，
整理得y2−2pmy−p2=0，则y1+y2=2pm，y1y2=−p2．易知切线的斜率肯定不为0，
设过点A的切线方程为k1y−y1=x−y122p，联立k1y−y1=x−y122py2=2px，
整理得y2−2pk1y+2pk1y1−y12=0，
则Δ=−2pk12−42pk1y1−y12=0，即pk1=y1，
设过点B的切线方程为k2y−y2=x−y222p，同理可得pk2=y2，
则p2k1k2=y1y2=−p2，得k1k2=−1，1k1k2=−1，
则两条切线的斜率之积为−1，故△ABQ是直角三角形．
故选：B．
6．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则当|AB|+|DE|取得最小值时，四边形ADBE的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【解题思路】由两条直线垂直，以及|AB|+|DE|取得最小值时|AB|=|DE|，有A与D，B与E关于x轴对称，可得直线DE的斜率为1，进而可求出直线DE的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【解答过程】因为AB⊥DE，要使|AB|+|DE|最小，而|AB|+|DE|≥2|AB||DE|，
由抛物线的对称性可得A与D，B与E关于x轴对称，所以可得直线DE的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，
所以直线DE的方程为：y=x−1，
y=x−1y2=4x，整理可得y2−4y−4=0，y1+y2=4，y1y2=−4，
所以可得|DE|=1+12⋅(y1+y2)2−4y1y2=2⋅16+16=8，
所以S四边形ABDE=12DE⋅AB=12×8×8=32．
故选：A．
7．（3分）(2023·河南·模拟预测（理））已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，过F且不与x轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，P为x轴上一点，满足PA=PB，则ABPF（ ）
A．为定值2B．为定值1
C．不是定值，最大值为1D．不是定值，最小值为1
【解题思路】根据题意，设直线AB的方程为x=my+3m≠0，设点Ax1,y1、Bx2,y2，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出AB，求出点P的坐标，可求得PF，即可计算出ABPF的值.
【解答过程】若直线AB与x轴重合，此时，直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意；
由题意，F(3,0)，设直线AB的方程为x=my+3m≠0，设点Ax1,y1、Bx2,y2，
联立y2=12xx=my+3可得y2−12my−36=0，Δ=144m2+144>0，
由韦达定理可得y1+y2=12m，则x1+x2=my1+y2+6=12m2+6，
所以，AB=x1+x2+6=12m2+1，
线段AB的中点为D6m2+3,6m，所以，直线PD的方程为y−6m=−mx−6m2−3，
在直线PD的方程中，令y=0，可得x=6m2+9，即点P6m2+9,0，
所以，PF=6m2+6，因此，ABPF=2.
故选：A.
8．（3分）已知A，B是抛物线C:y2=4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），AF=2BF
C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8
D．点A坐标4,4，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7=0
【解题思路】对于A，易知当AB垂直于x轴时，AB取最小值4，故A正确；
对于B，联立方程求得xA与xB，从而得到AF=3BF，故B错误；
对于C，由AB≤AF+BF可推得当直线AB过焦点F时，AB最大值为8，故C正确；
对于D，利用条件分别求出B、D的坐标，从而求得直线BD的方程，故D正确．
【解答过程】依题意得，抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0，准线为x=−1，p=2
对于A，直线AB过焦点F，AB=xA+xB+p=xA+xB+2，当AB垂直于x轴时，AB取最小值，此时AB=1+1+2=4，故A正确；
对于B，由题可知，直线AB为y=3x−1，代入y2=4x，整理得3x2−10x+3=0，
解得x=13或x=3，所以AF=3+p2=4，BF=13+p2=43，即AF=3BF，故B错误；
对于C，由于A，B为两动点，所以AB≤AF+BF=xA+xB+2=8，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故C正确；
对于D，依题意，kAF=43=yA−yDxA−xD=yA−yDyA24−yD24=4yA+yD，故yD=−1，即D14,−1，同理可得B494,−7，故直线BD方程为4x+8y+7=0，故D正确．
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=1
B．线段AB的中点在直线y=2上
C．若AB=8，则△OAB的面积为22
D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
【解题思路】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【解答过程】对于A选项，抛物线C的准线方程为x=−1，A错；
对于B选项，设点Ax1,y1、Bx2,y2，设线段AB的中点为Mx0,y0，
则y12=4x1y22=4x2，两式作差得y1−y2y1+y2=4x1−x2，可得4y1+y2=y1−y2x1−x2=1，
所以，y1+y2=4，故y0=y1+y22=2，B对；
对于C选项，设直线AB的方程为y=x+b，联立y=x+by2=4x，可得x2+2b−4x+b2=0，
Δ=4b−22−4b2>0，解得b<1，由韦达定理可得x1+x2=4−2b，x1x2=b2，
AB=2⋅x1+x22−4x1x2=2×41−b=8，解得b=−1，
点O到直线l的距离为d=b2=22，故S△AOB=12AB⋅d=12×8×22=22，C对；
对于D选项，设线段AF的中点为Nx3,y3，则x3=x1+12，
由抛物线的定义可得AF=x1+1=2×x1+12，即AF等于点N到y轴距离的两倍，
所以，以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，D对.
故选：BCD.
10．（4分）(2023·福建·高二期中）设抛物线C:y2=4x的焦点为F直线l过F且与C交于A,B两点，若AF=3BF，则l的方程为（ ）
A．y=33(x−1)B．y=−33(x−1)
C．y=3(x−1)D．y=−3(x−1)
【解题思路】先由抛物线方程得到焦点坐标，设直线l的方程为y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出k=±3，即可得出结果.
【解答过程】由抛物线C:y2=4x可得，其焦点为F1,0，
由题意，设直线l的方程为y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=kx−1y2=4x消去y得k2x2−2k2+4x+k2=0，
则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2x1x2=1，Δ=2k2+42−4k4=16k2+16>0，
根据抛物线的定义可得，AF=x1+1，BF=x2+1，
因为AF=3BF，所以x1+1=3x2+1，则x1=3x2+2=3x1+2，解得x1=3或x1=−1（根据抛物的方程，负值舍去）；所以x2=13，
所以x1+x2=103=2+4k2，解得k=±3，
即直线l的方程为y=±3(x−1).
故选：CD.
11．（4分）(2023·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则（ ）
A．x1x2=2B．y1y2=−4
C．|AB|=163D．△AOB的面积为233
【解题思路】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线l的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线l的距离，即可求出三角形的面积；
【解答过程】解：抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F1,0，所以直线l：y=3x−1，
则y=3x−1y2=4x，消去y得3x2−10x+3=0，所以x1+x2=103，x1x2=1，
所以|AB|=x1+x2+p=103+2=163，故A错误，C正确；
y1y2=3x1−1×3x2−1=3x1x2−x1+x2+1=31−103+1=−4，故B正确；
又O到直线l：3x−y−3=0的距离d=−332+−12=32，所以S△AOB=12ABd=433，故D错误；
故选：BC.
12．（4分）（2023·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（ ）
A．y1y2=14
B．以AB为直径的圆与直线y=−12相切
C．OA·OB的最小值2 2
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
【解题思路】联立直线l与抛物线x2=2y，利用韦达定理可判断A；
取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，由抛物线定义得M到直线y=−12的距离等于AB距离的一半，判断B；
OA·OB=x1x2+y1y2，韦达定理结合点A(x1，y1)满足抛物线方程x2=2y，化简计算即可判断C；
写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．
【解答过程】解：由抛物线x2=2y，知焦点(0，12)，
由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为y=kx+12，
联立x2=2y，消x得4y2−(8k2+4)y+1=0，
所以y1y2=14，故A正确；
设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，
又y=−12是抛物线x2=2y的准线，利用抛物线定义，
分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，垂足分别为A'、B'、M'，
得MM'=12(AA'+BB')，
由抛物线定义知AA'+BB'=AB，即MM'=12AB，
故B正确；
联立直线l与抛物线x2=2y，得y1y2=14，y1+y2=2k2+1，
因为y1=kx1+12，y2=kx2+12，
所以k2x1x2=(y1−12)(y2−12)
=y1y2−12(y1+y2)+14=−k2，
即x1x2=−1
OA·OB=x1x2+y1y2=−1+14=−34；
故C错误；
经过点B与x轴垂直的直线为x=x2，
直线OA为y=y1x1x，
联立得交点(x2，y1x2x1)，
因为x12=2y1，
则y1x2x1=12x12x2x1=12x1x2=−12；
所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线y=−12．
故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·上海市高三阶段练习）直线y=kx+1与抛物线y2=4x至多有一个公共点，则k的取值范围为 0∪1,+∞ ．
【解题思路】分k=0、k≠0两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，根据已知条件可得出关于k的不等式，即可解得实数k的取值范围.
【解答过程】当k=0时，联立y=1y2=4x可得x=14y=1，此时直线y=1与抛物线y2=4x有一个公共点，合乎题意；
当k≠0时，联立y=kx+1y2=4x可得k2x2+2k−4x+1=0，
由题意可得Δ=2k−42−4k2=16−16k≤0，解得k≥1.
综上所述，k的取值范围是0∪1,+∞.
故答案为：0∪1,+∞.
14．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）若直线l经过抛物线x2=4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 8 .
【解题思路】求出焦点坐标，设出直线l方程为y=kx+1，并设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得x1+x2,x1x2，由AB中点纵坐标求得k值，由弦长公式得结论．
【解答过程】抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，直线l与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设l的方程为y=kx+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，
则由x2=4yy=kx+1得x2−4kx−4=0，
x1+x2=4k，x1x2=−4，
又y1+y2=k(x1+x2)+2，所以y1+y22=k(x1+x2)2+1，即3=2k2+1，k=±1，
所以AB=1+k2x1−x2=1+1×(x1+x2)2−4x1x2=2×16−4×(−4)=8．
故答案为：8．
15．（4分）(2023·全国·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'(0,−2)的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1，Bx2,y2两点（其中0【解题思路】根据给定条件写出直线l、直线BF方程，再分别与抛物线Γ的方程联立，探求出点C，A的坐标关系即可作答.
【解答过程】依题意，直线l的方程为：y=kx−2，由y=kx−2x2=8y消去y并整理得：x2−8kx+16=0，则有x1⋅x2=16，
抛物线Γ:x2=8y的焦点为F(0,2)，令直线BF的方程为y=k1x+2，
由y=k1x+2x2=8y消去y并整理得：x2−8k1x−16=0，设Cx3,y3，则有x2⋅x3=−16，因此有x1=−x3，
而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得k+k'=0.
所以k+k'=0.
故答案为：0.
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为 4,+∞ ．
【解题思路】设A, B坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得x1+x2=2+4k2，x1x2=1，接着利用弦长公式求出AB，再求出点D到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案
【解答过程】由抛物线C:y2=4x可得焦点F1,0，准线方程为x=−1，D−1,0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB的方程为y=kx−1k≠0，
由y=kx−1y2=4x，可得k2x2−2k2+4x+k2=0，则x1+x2=2+4k2，x1x2=1，
所以AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=1+k2⋅2+4k22−4=41+k2k2，
直线AB的一般方程为kx−y−k=0，
点D−1,0到直线AB的距离d=2kk2+1，
所以S=12d⋅AB=k1+k2⋅41+k2k2=41k2+1>4，
所以△DAB的面积S的取值范围为4,+∞，
故答案为：4,+∞.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）设直线l:y=kx+1，抛物线C:y2=4x，当k为何值时，l与C相切 ？相交？相离？
【解题思路】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【解答过程】解：联立方程，得y=kx+1,y2=4x,
消去y并整理，得k2x2+(2k−4)x+1=0.
当k≠0时，方程k2x2+(2k−4)x+1=0为一元二次方程.
所以Δ=(2k−4)2−4k2=16(1−k).
当Δ=0，即k=1时，l与C相切；
当Δ>0，即k<1且k≠0时，l与C相交；
当Δ<0，即k>1时，l与C相离.
当k=0时，直线l的方程为y=1，显然与抛物线C交于点14,1.
综上所述，当k=1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交； 当k>1时，l与C相离.
18．（6分）(2023·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【解题思路】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上，求解抛物线方程，设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），求出CD，即可判断货箱是否能顺利通过该桥．
（2）根据题意，结合（1）的结论进行求解即可．
【解答过程】(1)
以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；
∴25＝﹣4m；∴m=−254；∴x2=−254y；
可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），
则9=−254y0；∴y0=−3625；
∵CD=−3625−(−4)=6425>1.5；∴货箱能顺利通过该桥．
(2)
由题（1）知，货物超出高度为(6425−1.5)×100=106(cm)，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升3+1=4(cm)，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为106−24=26层，
答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2x，Ax1,y1，Bx2,y2是C上两个不同的点．
(1)求证：直线y1y=x1+x与C相切；
(2)若O为坐标原点，OA⋅OB=−1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用Δ=0证明即可；
（2）设Px0,y0，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得x0=y1y22，然后由OA⋅OB=−1可得y1y2=−2，即可证明.
【解答过程】（1）
联立y2=2xy1y=x1+x得y2−2y1y+2x1=0，
因为Ax1,y1在C上，则y12=2x1，
所以Δ=−2y12−4×2x1=4y12−8x1=0，因此直线y1y=x1+x与C相切．
（2）
由（1）知，设Px0,y0，切线PA的方程为y1y=x1+x，切线PB的方程为y2y=x2+x，
联立y1y=x1+xy2y=x2+x得x0=x1y2−x2y1y1−y2，
因为x1=y122，x2=y222，所以x0=x1y2−x2y1y1−y2=y1y22．
又因为OA⋅OB=−1，所以x1x2+y1y2=y122⋅y222+y1y2=−1，
解得y1y2=−2，所以x0=−1．
故点P在定直线x=−1上．
20．（8分）(2023·江苏·高二）①M1,t为抛物线C上的点，且MF=32；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，______，若直线y=x−2与抛物线C相交于A、B两点，求弦长AB．
【解题思路】若选①：根据焦半径公式MF =xM+p2=32即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求AB；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求AB．
【解答过程】若选①：
∵M1,t在抛物线C:y2=2px上，且MF=32，
∴MF=xM+p2=1+p2=32，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线C的方程为y2=2x．
联立y=x−2y2=2x，可得x2−6x+4=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，x1x2=4，
∴AB=2⋅x1−x2=2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅62−4×4=210．
21．（8分）（2023·湖北省高二阶段练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F(1,0)的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线l1，l2分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【解题思路】（1）根据给定条件结合抛物线定义求解作答.
（2）设出过点M的曲线C的切线方程，再与曲线C的方程联立，借助判别式为0求出两条切线斜率的关系、两切点坐标，求出直线AB方程即可作答.
【解答过程】(1)
设P(x,y)，当x<0时，y=0符合题意；
当x≥0时，因曲线C上的点P到点F(1,0)的距离与到y轴的距离之差为1，
则点P到点F(1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，
因此，曲线C是以点F(1,0)为焦点，顶点在原点的抛物线，其方程为：y2=4x，
所以曲线C的方程是：y2=4x,(x≥0)，y=0,(x<0)
(2)
显然，过点M(x0,y0)的抛物线C的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：y−y0=k(x−x0)，
由{y−y0=k(x−x0)y2=4x消去x并整理得：k4⋅y2−y+y0−kx0=0，
依题意，Δ=1−k(y0−kx0)=x0k2−y0k+1=0，
设切线l1，l2斜率分别为k1,k2，则k1+k2=y0x0，k1k2=1x0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因此，y1=2k1，y2=2k2，于是得A(1k12,2k1)，B(1k22,2k2)，
BA=(1k12−1k22,2k1−2k2)，直线AB上任意点Q(x,y)，AQ=(x−1k12,y−2k1)，
由AQ//BA得：(2k1−2k2)(x−1k12)−(1k12−1k22)(y−2k1)=0，化简整理得：2x−k1+k2k1k2y+2k1k2=0，
则直线AB的方程为：2x−y0y+2x0=0，因直线l1，l2互相垂直，则1x0=k1k2=−1，即x0=−1，
于是得直线AB：2x−y0y−2=0，即2(x−1)−y0y=0，
无论y0取何值，直线AB都过点(1,0)，
所以直线AB过定点，定点坐标为(1,0).
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①PF=x0+1，②y0=2x0=2，③PF⊥x轴时，PF=2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Px0,y0在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l:x−y−2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．
【解题思路】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得PF=x0+p2，即可求解P的值，进而得到抛物线C的方程；选择条件②，可解得P点坐标，进而得到抛物线C的方程，选择条件③，可得PF=p2+p2=2，即可求解P的值，进而得到抛物线C的方程；
（2）由（1）可得焦点坐标，设A,B两点坐标，联立直线l的方程与抛物线C的方程，利用韦达定理求解线段AB的值，利用点到直线的距离公式求解焦点F到直线l的距离，再利用三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择条件①，
由抛物线的定义可得PF=x0+p2，
因为PF=x0+1，所以x0+p2=x0+1，解得p=2，
故抛物线C的标准方程为y2=4x．
选择条件②，
因为y0=2x0=2，所以y0=2，x0=1，
因为点P(x0,y0)在抛物线C上，
所以y02=2px0，即2p=4，解得p=2，
所以抛物线C的标准方程为y2=4x．
选择条件③．
当PF⊥x轴时，PF=p2+p2=2，所以p=2．
故抛物线C的标准方程为y2=4x．
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由（1）知F1,0．
由x−y−2=0y2=4x，得y2−4y−8=0，
则y1+y2=4，y1y2=−8，
所以y1−y2=y1+y22−4y1y2=16+32=43，
故AB=1+112y1−y2=2×43=46．
因为点F到直线l的距离d=1−21+1=22，
所以△ABF的面积为12AB⋅d=12×46×22=23．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，且∠POF=60∘，则PF=（ ）
A．53B．2C．73D．103
2．（3分）(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则AB=（ ）
A．303B．8C．12D．73
3．（3分）（2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．
A．25B．26C．32D．23
4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．233B．433C．33D．163
5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能
6．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则当|AB|+|DE|取得最小值时，四边形ADBE的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
7．（3分）(2023·河南·模拟预测（理））已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，过F且不与x轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，P为x轴上一点，满足PA=PB，则ABPF（ ）
A．为定值2B．为定值1
C．不是定值，最大值为1D．不是定值，最小值为1
8．（3分）已知A，B是抛物线C:y2=4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），AF=2BF
C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8
D．点A坐标4,4，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7=0
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=1
B．线段AB的中点在直线y=2上
C．若AB=8，则△OAB的面积为22
D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
10．（4分）(2023·福建·高二期中）设抛物线C:y2=4x的焦点为F直线l过F且与C交于A,B两点，若AF=3BF，则l的方程为（ ）
A．y=33(x−1)B．y=−33(x−1)
C．y=3(x−1)D．y=−3(x−1)
11．（4分）(2023·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则（ ）
A．x1x2=2B．y1y2=−4
C．|AB|=163D．△AOB的面积为233
12．（4分）（2023·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（ ）
A．y1y2=14
B．以AB为直径的圆与直线y=−12相切
C．OA·OB的最小值2 2
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·上海市高三阶段练习）直线y=kx+1与抛物线y2=4x至多有一个公共点，则k的取值范围为 ．
14．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）若直线l经过抛物线x2=4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
15．（4分）(2023·全国·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'(0,−2)的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1，Bx2,y2两点（其中0
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）设直线l:y=kx+1，抛物线C:y2=4x，当k为何值时，l与C相切 ？相交？相离？
18．（6分）(2023·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2x，Ax1,y1，Bx2,y2是C上两个不同的点．
(1)求证：直线y1y=x1+x与C相切；
(2)若O为坐标原点，OA⋅OB=−1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
20．（8分）(2023·江苏·高二）①M1,t为抛物线C上的点，且MF=32；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，______，若直线y=x−2与抛物线C相交于A、B两点，求弦长AB．
21．（8分）（2023·湖北省高二阶段练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F(1,0)的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线l1，l2分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①PF=x0+1，②y0=2x0=2，③PF⊥x轴时，PF=2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Px0,y0在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l:x−y−2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．
专题3.14 直线与抛物线的位置关系-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，且∠POF=60∘，则PF=（ ）
A．53B．2C．73D．103
【解题思路】不妨设点Px,y为第一象限内一点，将直线OP的方程与抛物线方程联立，求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义可求得PF.
【解答过程】不妨设点Px,y为第一象限内一点，则直线OP的斜率为3，直线OP的方程为y=3x，
联立y=3xy2=4xy>0，解得x=43y=433，即点P43,433，
所以，PF=43+1=73.
故选：C.
2．（3分）(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则AB=（ ）
A．303B．8C．12D．73
【解题思路】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【解答过程】依题意可知抛物线C:y2=6x焦点为32,0，直线AB的方程为y=3x−32，
代入抛物线方程得4x2−20x+9=0，可得xA+xB=5，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为xA+p2+xB+p2=5+3=8．
故选：B．
3．（3分）（2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．
A．25B．26C．32D．23
【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答过程】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0=6，
故水面宽为26m．
故选：B．
4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．233B．433C．33D．163
【解题思路】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【解答过程】抛物线C:y2=4x的焦点坐标为1,0，
则斜率为3的直线方程为：y=3x−1，与抛物线方程联立得：
3x2−10x+3=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，不妨设x1=13，x2=3，
则AB=1+3x1−x2=163，
点O到直线AB的距离为d=−31+3=32，
所以△AOB的面积为12×163×32=433
故选：B.
5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能
【解题思路】设出直线AB的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出y1+y2,y1y2，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断.
【解答过程】
如图，设Ax1,y1，Bx2,y2，则y12=2px1，y22=2px2，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为my=x−p2，联立my=x−p2y2=2px，
整理得y2−2pmy−p2=0，则y1+y2=2pm，y1y2=−p2．易知切线的斜率肯定不为0，
设过点A的切线方程为k1y−y1=x−y122p，联立k1y−y1=x−y122py2=2px，
整理得y2−2pk1y+2pk1y1−y12=0，
则Δ=−2pk12−42pk1y1−y12=0，即pk1=y1，
设过点B的切线方程为k2y−y2=x−y222p，同理可得pk2=y2，
则p2k1k2=y1y2=−p2，得k1k2=−1，1k1k2=−1，
则两条切线的斜率之积为−1，故△ABQ是直角三角形．
故选：B．
6．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则当|AB|+|DE|取得最小值时，四边形ADBE的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【解题思路】由两条直线垂直，以及|AB|+|DE|取得最小值时|AB|=|DE|，有A与D，B与E关于x轴对称，可得直线DE的斜率为1，进而可求出直线DE的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【解答过程】因为AB⊥DE，要使|AB|+|DE|最小，而|AB|+|DE|≥2|AB||DE|，
由抛物线的对称性可得A与D，B与E关于x轴对称，所以可得直线DE的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，
所以直线DE的方程为：y=x−1，
y=x−1y2=4x，整理可得y2−4y−4=0，y1+y2=4，y1y2=−4，
所以可得|DE|=1+12⋅(y1+y2)2−4y1y2=2⋅16+16=8，
所以S四边形ABDE=12DE⋅AB=12×8×8=32．
故选：A．
7．（3分）(2023·河南·模拟预测（理））已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，过F且不与x轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，P为x轴上一点，满足PA=PB，则ABPF（ ）
A．为定值2B．为定值1
C．不是定值，最大值为1D．不是定值，最小值为1
【解题思路】根据题意，设直线AB的方程为x=my+3m≠0，设点Ax1,y1、Bx2,y2，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出AB，求出点P的坐标，可求得PF，即可计算出ABPF的值.
【解答过程】若直线AB与x轴重合，此时，直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意；
由题意，F(3,0)，设直线AB的方程为x=my+3m≠0，设点Ax1,y1、Bx2,y2，
联立y2=12xx=my+3可得y2−12my−36=0，Δ=144m2+144>0，
由韦达定理可得y1+y2=12m，则x1+x2=my1+y2+6=12m2+6，
所以，AB=x1+x2+6=12m2+1，
线段AB的中点为D6m2+3,6m，所以，直线PD的方程为y−6m=−mx−6m2−3，
在直线PD的方程中，令y=0，可得x=6m2+9，即点P6m2+9,0，
所以，PF=6m2+6，因此，ABPF=2.
故选：A.
8．（3分）已知A，B是抛物线C:y2=4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），AF=2BF
C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8
D．点A坐标4,4，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7=0
【解题思路】对于A，易知当AB垂直于x轴时，AB取最小值4，故A正确；
对于B，联立方程求得xA与xB，从而得到AF=3BF，故B错误；
对于C，由AB≤AF+BF可推得当直线AB过焦点F时，AB最大值为8，故C正确；
对于D，利用条件分别求出B、D的坐标，从而求得直线BD的方程，故D正确．
【解答过程】依题意得，抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0，准线为x=−1，p=2
对于A，直线AB过焦点F，AB=xA+xB+p=xA+xB+2，当AB垂直于x轴时，AB取最小值，此时AB=1+1+2=4，故A正确；
对于B，由题可知，直线AB为y=3x−1，代入y2=4x，整理得3x2−10x+3=0，
解得x=13或x=3，所以AF=3+p2=4，BF=13+p2=43，即AF=3BF，故B错误；
对于C，由于A，B为两动点，所以AB≤AF+BF=xA+xB+2=8，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故C正确；
对于D，依题意，kAF=43=yA−yDxA−xD=yA−yDyA24−yD24=4yA+yD，故yD=−1，即D14,−1，同理可得B494,−7，故直线BD方程为4x+8y+7=0，故D正确．
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=1
B．线段AB的中点在直线y=2上
C．若AB=8，则△OAB的面积为22
D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
【解题思路】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【解答过程】对于A选项，抛物线C的准线方程为x=−1，A错；
对于B选项，设点Ax1,y1、Bx2,y2，设线段AB的中点为Mx0,y0，
则y12=4x1y22=4x2，两式作差得y1−y2y1+y2=4x1−x2，可得4y1+y2=y1−y2x1−x2=1，
所以，y1+y2=4，故y0=y1+y22=2，B对；
对于C选项，设直线AB的方程为y=x+b，联立y=x+by2=4x，可得x2+2b−4x+b2=0，
Δ=4b−22−4b2>0，解得b<1，由韦达定理可得x1+x2=4−2b，x1x2=b2，
AB=2⋅x1+x22−4x1x2=2×41−b=8，解得b=−1，
点O到直线l的距离为d=b2=22，故S△AOB=12AB⋅d=12×8×22=22，C对；
对于D选项，设线段AF的中点为Nx3,y3，则x3=x1+12，
由抛物线的定义可得AF=x1+1=2×x1+12，即AF等于点N到y轴距离的两倍，
所以，以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，D对.
故选：BCD.
10．（4分）(2023·福建·高二期中）设抛物线C:y2=4x的焦点为F直线l过F且与C交于A,B两点，若AF=3BF，则l的方程为（ ）
A．y=33(x−1)B．y=−33(x−1)
C．y=3(x−1)D．y=−3(x−1)
【解题思路】先由抛物线方程得到焦点坐标，设直线l的方程为y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出k=±3，即可得出结果.
【解答过程】由抛物线C:y2=4x可得，其焦点为F1,0，
由题意，设直线l的方程为y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=kx−1y2=4x消去y得k2x2−2k2+4x+k2=0，
则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2x1x2=1，Δ=2k2+42−4k4=16k2+16>0，
根据抛物线的定义可得，AF=x1+1，BF=x2+1，
因为AF=3BF，所以x1+1=3x2+1，则x1=3x2+2=3x1+2，解得x1=3或x1=−1（根据抛物的方程，负值舍去）；所以x2=13，
所以x1+x2=103=2+4k2，解得k=±3，
即直线l的方程为y=±3(x−1).
故选：CD.
11．（4分）(2023·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则（ ）
A．x1x2=2B．y1y2=−4
C．|AB|=163D．△AOB的面积为233
【解题思路】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线l的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线l的距离，即可求出三角形的面积；
【解答过程】解：抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F1,0，所以直线l：y=3x−1，
则y=3x−1y2=4x，消去y得3x2−10x+3=0，所以x1+x2=103，x1x2=1，
所以|AB|=x1+x2+p=103+2=163，故A错误，C正确；
y1y2=3x1−1×3x2−1=3x1x2−x1+x2+1=31−103+1=−4，故B正确；
又O到直线l：3x−y−3=0的距离d=−332+−12=32，所以S△AOB=12ABd=433，故D错误；
故选：BC.
12．（4分）（2023·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（ ）
A．y1y2=14
B．以AB为直径的圆与直线y=−12相切
C．OA·OB的最小值2 2
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
【解题思路】联立直线l与抛物线x2=2y，利用韦达定理可判断A；
取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，由抛物线定义得M到直线y=−12的距离等于AB距离的一半，判断B；
OA·OB=x1x2+y1y2，韦达定理结合点A(x1，y1)满足抛物线方程x2=2y，化简计算即可判断C；
写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．
【解答过程】解：由抛物线x2=2y，知焦点(0，12)，
由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为y=kx+12，
联立x2=2y，消x得4y2−(8k2+4)y+1=0，
所以y1y2=14，故A正确；
设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，
又y=−12是抛物线x2=2y的准线，利用抛物线定义，
分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，垂足分别为A'、B'、M'，
得MM'=12(AA'+BB')，
由抛物线定义知AA'+BB'=AB，即MM'=12AB，
故B正确；
联立直线l与抛物线x2=2y，得y1y2=14，y1+y2=2k2+1，
因为y1=kx1+12，y2=kx2+12，
所以k2x1x2=(y1−12)(y2−12)
=y1y2−12(y1+y2)+14=−k2，
即x1x2=−1
OA·OB=x1x2+y1y2=−1+14=−34；
故C错误；
经过点B与x轴垂直的直线为x=x2，
直线OA为y=y1x1x，
联立得交点(x2，y1x2x1)，
因为x12=2y1，
则y1x2x1=12x12x2x1=12x1x2=−12；
所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线y=−12．
故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·上海市高三阶段练习）直线y=kx+1与抛物线y2=4x至多有一个公共点，则k的取值范围为 0∪1,+∞ ．
【解题思路】分k=0、k≠0两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，根据已知条件可得出关于k的不等式，即可解得实数k的取值范围.
【解答过程】当k=0时，联立y=1y2=4x可得x=14y=1，此时直线y=1与抛物线y2=4x有一个公共点，合乎题意；
当k≠0时，联立y=kx+1y2=4x可得k2x2+2k−4x+1=0，
由题意可得Δ=2k−42−4k2=16−16k≤0，解得k≥1.
综上所述，k的取值范围是0∪1,+∞.
故答案为：0∪1,+∞.
14．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）若直线l经过抛物线x2=4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 8 .
【解题思路】求出焦点坐标，设出直线l方程为y=kx+1，并设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得x1+x2,x1x2，由AB中点纵坐标求得k值，由弦长公式得结论．
【解答过程】抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，直线l与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设l的方程为y=kx+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，
则由x2=4yy=kx+1得x2−4kx−4=0，
x1+x2=4k，x1x2=−4，
又y1+y2=k(x1+x2)+2，所以y1+y22=k(x1+x2)2+1，即3=2k2+1，k=±1，
所以AB=1+k2x1−x2=1+1×(x1+x2)2−4x1x2=2×16−4×(−4)=8．
故答案为：8．
15．（4分）(2023·全国·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，过点F'(0,−2)的直线l与抛物线Γ交于Ax1,y1，Bx2,y2两点（其中0
【解答过程】依题意，直线l的方程为：y=kx−2，由y=kx−2x2=8y消去y并整理得：x2−8kx+16=0，则有x1⋅x2=16，
抛物线Γ:x2=8y的焦点为F(0,2)，令直线BF的方程为y=k1x+2，
由y=k1x+2x2=8y消去y并整理得：x2−8k1x−16=0，设Cx3,y3，则有x2⋅x3=−16，因此有x1=−x3，
而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得k+k'=0.
所以k+k'=0.
故答案为：0.
16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为 4,+∞ ．
【解题思路】设A, B坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得x1+x2=2+4k2，x1x2=1，接着利用弦长公式求出AB，再求出点D到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案
【解答过程】由抛物线C:y2=4x可得焦点F1,0，准线方程为x=−1，D−1,0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB的方程为y=kx−1k≠0，
由y=kx−1y2=4x，可得k2x2−2k2+4x+k2=0，则x1+x2=2+4k2，x1x2=1，
所以AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=1+k2⋅2+4k22−4=41+k2k2，
直线AB的一般方程为kx−y−k=0，
点D−1,0到直线AB的距离d=2kk2+1，
所以S=12d⋅AB=k1+k2⋅41+k2k2=41k2+1>4，
所以△DAB的面积S的取值范围为4,+∞，
故答案为：4,+∞.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）设直线l:y=kx+1，抛物线C:y2=4x，当k为何值时，l与C相切 ？相交？相离？
【解题思路】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【解答过程】解：联立方程，得y=kx+1,y2=4x,
消去y并整理，得k2x2+(2k−4)x+1=0.
当k≠0时，方程k2x2+(2k−4)x+1=0为一元二次方程.
所以Δ=(2k−4)2−4k2=16(1−k).
当Δ=0，即k=1时，l与C相切；
当Δ>0，即k<1且k≠0时，l与C相交；
当Δ<0，即k>1时，l与C相离.
当k=0时，直线l的方程为y=1，显然与抛物线C交于点14,1.
综上所述，当k=1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交； 当k>1时，l与C相离.
18．（6分）(2023·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【解题思路】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上，求解抛物线方程，设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），求出CD，即可判断货箱是否能顺利通过该桥．
（2）根据题意，结合（1）的结论进行求解即可．
【解答过程】(1)
以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；
∴25＝﹣4m；∴m=−254；∴x2=−254y；
可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），
则9=−254y0；∴y0=−3625；
∵CD=−3625−(−4)=6425>1.5；∴货箱能顺利通过该桥．
(2)
由题（1）知，货物超出高度为(6425−1.5)×100=106(cm)，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升3+1=4(cm)，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为106−24=26层，
答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
19．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2x，Ax1,y1，Bx2,y2是C上两个不同的点．
(1)求证：直线y1y=x1+x与C相切；
(2)若O为坐标原点，OA⋅OB=−1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用Δ=0证明即可；
（2）设Px0,y0，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得x0=y1y22，然后由OA⋅OB=−1可得y1y2=−2，即可证明.
【解答过程】（1）
联立y2=2xy1y=x1+x得y2−2y1y+2x1=0，
因为Ax1,y1在C上，则y12=2x1，
所以Δ=−2y12−4×2x1=4y12−8x1=0，因此直线y1y=x1+x与C相切．
（2）
由（1）知，设Px0,y0，切线PA的方程为y1y=x1+x，切线PB的方程为y2y=x2+x，
联立y1y=x1+xy2y=x2+x得x0=x1y2−x2y1y1−y2，
因为x1=y122，x2=y222，所以x0=x1y2−x2y1y1−y2=y1y22．
又因为OA⋅OB=−1，所以x1x2+y1y2=y122⋅y222+y1y2=−1，
解得y1y2=−2，所以x0=−1．
故点P在定直线x=−1上．
20．（8分）(2023·江苏·高二）①M1,t为抛物线C上的点，且MF=32；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，______，若直线y=x−2与抛物线C相交于A、B两点，求弦长AB．
【解题思路】若选①：根据焦半径公式MF =xM+p2=32即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求AB；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求AB．
【解答过程】若选①：
∵M1,t在抛物线C:y2=2px上，且MF=32，
∴MF=xM+p2=1+p2=32，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线C的方程为y2=2x．
联立y=x−2y2=2x，可得x2−6x+4=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，x1x2=4，
∴AB=2⋅x1−x2=2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅62−4×4=210．
21．（8分）（2023·湖北省高二阶段练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F(1,0)的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线l1，l2分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【解题思路】（1）根据给定条件结合抛物线定义求解作答.
（2）设出过点M的曲线C的切线方程，再与曲线C的方程联立，借助判别式为0求出两条切线斜率的关系、两切点坐标，求出直线AB方程即可作答.
【解答过程】(1)
设P(x,y)，当x<0时，y=0符合题意；
当x≥0时，因曲线C上的点P到点F(1,0)的距离与到y轴的距离之差为1，
则点P到点F(1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，
因此，曲线C是以点F(1,0)为焦点，顶点在原点的抛物线，其方程为：y2=4x，
所以曲线C的方程是：y2=4x,(x≥0)，y=0,(x<0)
(2)
显然，过点M(x0,y0)的抛物线C的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：y−y0=k(x−x0)，
由{y−y0=k(x−x0)y2=4x消去x并整理得：k4⋅y2−y+y0−kx0=0，
依题意，Δ=1−k(y0−kx0)=x0k2−y0k+1=0，
设切线l1，l2斜率分别为k1,k2，则k1+k2=y0x0，k1k2=1x0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因此，y1=2k1，y2=2k2，于是得A(1k12,2k1)，B(1k22,2k2)，
BA=(1k12−1k22,2k1−2k2)，直线AB上任意点Q(x,y)，AQ=(x−1k12,y−2k1)，
由AQ//BA得：(2k1−2k2)(x−1k12)−(1k12−1k22)(y−2k1)=0，化简整理得：2x−k1+k2k1k2y+2k1k2=0，
则直线AB的方程为：2x−y0y+2x0=0，因直线l1，l2互相垂直，则1x0=k1k2=−1，即x0=−1，
于是得直线AB：2x−y0y−2=0，即2(x−1)−y0y=0，
无论y0取何值，直线AB都过点(1,0)，
所以直线AB过定点，定点坐标为(1,0).
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）在①PF=x0+1，②y0=2x0=2，③PF⊥x轴时，PF=2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Px0,y0在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l:x−y−2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．
【解题思路】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得PF=x0+p2，即可求解P的值，进而得到抛物线C的方程；选择条件②，可解得P点坐标，进而得到抛物线C的方程，选择条件③，可得PF=p2+p2=2，即可求解P的值，进而得到抛物线C的方程；
（2）由（1）可得焦点坐标，设A,B两点坐标，联立直线l的方程与抛物线C的方程，利用韦达定理求解线段AB的值，利用点到直线的距离公式求解焦点F到直线l的距离，再利用三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择条件①，
由抛物线的定义可得PF=x0+p2，
因为PF=x0+1，所以x0+p2=x0+1，解得p=2，
故抛物线C的标准方程为y2=4x．
选择条件②，
因为y0=2x0=2，所以y0=2，x0=1，
因为点P(x0,y0)在抛物线C上，
所以y02=2px0，即2p=4，解得p=2，
所以抛物线C的标准方程为y2=4x．
选择条件③．
当PF⊥x轴时，PF=p2+p2=2，所以p=2．
故抛物线C的标准方程为y2=4x．
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由（1）知F1,0．
由x−y−2=0y2=4x，得y2−4y−8=0，
则y1+y2=4，y1y2=−8，
所以y1−y2=y1+y22−4y1y2=16+32=43，
故AB=1+112y1−y2=2×43=46．
因为点F到直线l的距离d=1−21+1=22，
所以△ABF的面积为12AB⋅d=12×46×22=23．
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