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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后复习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后复习题，共38页。试卷主要包含了范围，∴抛物线方程为x2＝±12y等内容，欢迎下载使用。
知识点1 抛物线的简单几何性质
注：1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【即学即练1】对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
【即学即练2】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．y2＝±12x
【即学即练3】设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
【即学即练4】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
【即学即练5】已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
知识点3 弦长问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
【即学即练6】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
考点一 抛物线方程及其几何性质
解题方略：
1、用待定系数法求抛物线方程的步骤
注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
3、利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
（一）求抛物线的标准方程
【例1-1】以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y
变式1：边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)xD．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
变式2：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程．
变式3：抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
（二）抛物线的几何性质的应用
【例1-2】抛物线的准线方程是，则实数___________.
【例1-3】设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
变式1：已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
变式2：如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
【例1-4】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
变式1：已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
变式2：抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
考点二 焦点弦问题
解题方略：
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
【例2-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
【例2-2】【多选】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，则p的值可以为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【例2-3】过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
考点三 直线与抛物线的位置关系
解题方略：
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
（一）直线与抛物线位置关系的应用
【例3-1】过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【例3-2】【多选】已知直线与抛物线相切，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
（二）弦长问题
【例3-3】过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
变式1：已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
（三）中点弦问题
【例3-4】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
变式1：若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
变式2：已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
变式3：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
考点四 抛物线的轨迹问题
解题方略：
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
【例4-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
变式1：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
变式2：设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
考点五 抛物线的定值、定点问题
【例5-1】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【例5-2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
题组A 基础过关练
1、抛物线 的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
3、已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
4、若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
5、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 eq \r(2))B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))
6、动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
7、若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
8、直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
9、若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
10、已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
题组B 能力提升练
11、若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
12、已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
13、已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
14、【多选】设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
15、已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
16、已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
题组C 培优拔尖练
17、已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
18、已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
19、已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
20、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
直观想象
数学运算
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
y2＝ax
一次项为x项，x轴为对称轴
a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay
一次项为y项，y轴为对称轴
a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
3.3.2 抛物线的简单几何性质
知识点1 抛物线的简单几何性质
注：1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【即学即练1】对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
【解析】由抛物线y＝4x2，得抛物线标准式为eq \f(y,4)＝x2，2p＝eq \f(1,4)，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))).故选B
【即学即练2】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．y2＝±12x
【解析】可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.故选C
【即学即练3】设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
【解析】∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴eq \f(p,2)＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq \f(p,2)，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞)．故选D
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
【即学即练4】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
【解析】联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
【即学即练5】已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【解析】由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0知识点3 弦长问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
【即学即练6】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
【解析】由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
考点一 抛物线方程及其几何性质
解题方略：
1、用待定系数法求抛物线方程的步骤
注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
3、利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
（一）求抛物线的标准方程
【例1-1】以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y
【解析】依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C
变式1：边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)xD．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
【解析】设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.故选C.
变式2：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程．
【解析】设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq \r(3)，即y1－y2＝2eq \r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq \r(3)，把y1＝eq \r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq \r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq \r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq \f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
变式3：抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
【解析】椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
（二）抛物线的几何性质的应用
【例1-2】抛物线的准线方程是，则实数___________.
【解析】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
【例1-3】设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
【解析】设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
当x＝1时，|PA|的最小值为2eq \r(2).
变式1：已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
【解析】设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(|y\\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时x0＝eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
变式2：如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
【解析】抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，
又点F到直线的距离d＝eq \f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
所以|PA|＋|PB|的最小值是eq \f(5,2)eq \r(2)－1.
【例1-4】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
【解析】如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \\al(2,1)＝2px1联立，
解得y1＝2eq \r(3)p.
所以|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p，
即这个三角形的边长为4eq \r(3)p.
变式1：已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
【解析】如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y0,x0)))＝－1.
∴yeq \\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))，
又∵yeq \\al(2,0)＝2px0，
∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).
∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2).
变式2：抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
【解析】由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，eq \r(3)(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3xeq \\al(2,0)－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，
所以点A的坐标为(3,2eq \r(3))，
故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
考点二 焦点弦问题
解题方略：
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
【例2-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
【例2-2】【多选】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，则p的值可以为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，可得x＝5－eq \f(p,2).
因为圆心是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为eq \f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq \f(5,2)，
由已知可知圆半径也为eq \f(5,2)，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，
故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
【例2-3】过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
【解析】由于抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
故可设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
考点三 直线与抛物线的位置关系
解题方略：
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
（一）直线与抛物线位置关系的应用
【例3-1】过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【解析】显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x))消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq \f(1,3)或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
【例3-2】【多选】已知直线与抛物线相切，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】联立可得，由题意可得，解得.
故选：BC.
变式1：过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
【解析】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
故答案为：3
（二）弦长问题
【例3-3】过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(1＋4×16－4)＝eq \r(5×12)＝2eq \r(15).故选B
变式1：已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
【解析】当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p. ①
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
（三）中点弦问题
【例3-4】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
【解析】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
变式1：若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【解析】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
变式2：已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
【解析】设，，则，，
两式相减可得，
则，
故的斜率为1，则的倾斜角为.
故答案为：
变式3：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解析】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
考点四 抛物线的轨迹问题
解题方略：
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
【例4-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【解析】设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
变式1：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
变式2：设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
【解析】(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，
∴eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)
＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
考点五 抛物线的定值、定点问题
【例5-1】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【解析】（1）∵点在抛物线C上，∴，解得，∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，联立，消去y可得，，由韦达定理有，，∴，即得证.
【例5-2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，则，解得.故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，设.因为三点共线，所以，即，即，整理得.因为，所以.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立整理得，则.因为关于轴对称，所以，则，解得.故直线的方程为，即直线恒过点.
题组A 基础过关练
1、抛物线 的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】抛物线 的方程化为标准方程为： ，
故 ，则焦点坐标为 ，
故选：D.
2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
【解析】若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.故选D
3、已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
【解析】∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0)．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C
4、若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
【解析】设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4).故选B
5、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 eq \r(2))B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))
【解析】设A(x，y)，则y2＝4x，①
又eq \(OA,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(1－x，－y)，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2)．故选B
6、动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
【解析】依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 故选D
7、若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
【解析】由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选A
8、直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
【解析】当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
综上，k＝0或1.
9、若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
【解析】题意可知点M的纵坐标，代入拋物
线方程求得，抛物线的准线为，
根据抛物线的定义可知点M与焦点F间的距离
故答案为：13
10、已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
【解析】因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
题组B 能力提升练
11、若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
【解析】双曲线的方程可化为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,\f(p2,16))＝1，∴双曲线的左焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).
又∵抛物线的准线为x＝－eq \f(p,2)，由题意得－eq \r(3＋\f(p2,16))＝－eq \f(p,2)，解得p＝4.故选C
12、已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
13、已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【解析】设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
14、【多选】设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
【解析】∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.故选ACD
15、已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解析】由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则
焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))，直线l：x＝eq \f(a,2)，
∴A，B两点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面积为4，
∴eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))·2|a|＝4，∴a＝±2eq \r(2).
∴抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.
16、已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10，
所以m＝eq \f(7,16)，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
题组C 培优拔尖练
17、已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
【解析】（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是．
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为．
18、已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
【解析】(1)设，
抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，
直线l的方程为，
将直线l方程与抛物线消去y可得，
点A是第一象限内的交点，
解方程得，∴.
(2)设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，
代入抛物线C的方程化简得，，
∵＞0，∴，
∴，当且仅当m＝0时取等号，
∴AB长度最小值为12.
19、已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
【解析】(1)由点在上，得，解得，
由抛物线的定义及，得，解得或，
结合，得，
故抛物线的方程为．
(2)显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，
由消去并整理，得，
，直线与一定有两个交点，
设，，则，
设中点为，则，，
即，
线段的中垂线方程为，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
20、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
【解析】(1)设C上任意一点P的坐标为，则有：，
当时，有；
当时，有，
所以C的方程为或；
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，
联立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由,
解得，
故直线的方程为，
所以直线恒过定点.
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
直观想象
数学运算
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
y2＝ax
一次项为x项，x轴为对称轴
a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay
一次项为y项，y轴为对称轴
a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
知识点1 抛物线的简单几何性质
注：1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【即学即练1】对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
【即学即练2】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．y2＝±12x
【即学即练3】设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
【即学即练4】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
【即学即练5】已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
知识点3 弦长问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
【即学即练6】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
考点一 抛物线方程及其几何性质
解题方略：
1、用待定系数法求抛物线方程的步骤
注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
3、利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
（一）求抛物线的标准方程
【例1-1】以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y
变式1：边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)xD．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
变式2：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程．
变式3：抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
（二）抛物线的几何性质的应用
【例1-2】抛物线的准线方程是，则实数___________.
【例1-3】设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
变式1：已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
变式2：如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
【例1-4】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
变式1：已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
变式2：抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
考点二 焦点弦问题
解题方略：
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
【例2-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
【例2-2】【多选】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，则p的值可以为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【例2-3】过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
考点三 直线与抛物线的位置关系
解题方略：
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
（一）直线与抛物线位置关系的应用
【例3-1】过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【例3-2】【多选】已知直线与抛物线相切，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
（二）弦长问题
【例3-3】过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
变式1：已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
（三）中点弦问题
【例3-4】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
变式1：若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
变式2：已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
变式3：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
考点四 抛物线的轨迹问题
解题方略：
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
【例4-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
变式1：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
变式2：设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
考点五 抛物线的定值、定点问题
【例5-1】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【例5-2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
题组A 基础过关练
1、抛物线 的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
3、已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
4、若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
5、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 eq \r(2))B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))
6、动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
7、若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
8、直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
9、若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
10、已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
题组B 能力提升练
11、若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
12、已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
13、已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
14、【多选】设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
15、已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
16、已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
题组C 培优拔尖练
17、已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
18、已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
19、已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
20、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
直观想象
数学运算
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
y2＝ax
一次项为x项，x轴为对称轴
a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay
一次项为y项，y轴为对称轴
a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
3.3.2 抛物线的简单几何性质
知识点1 抛物线的简单几何性质
注：1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【即学即练1】对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
【解析】由抛物线y＝4x2，得抛物线标准式为eq \f(y,4)＝x2，2p＝eq \f(1,4)，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))).故选B
【即学即练2】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．y2＝±12x
【解析】可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.故选C
【即学即练3】设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
【解析】∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴eq \f(p,2)＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq \f(p,2)，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞)．故选D
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
【即学即练4】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
【解析】联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
【即学即练5】已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【解析】由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
【即学即练6】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
【解析】由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
考点一 抛物线方程及其几何性质
解题方略：
1、用待定系数法求抛物线方程的步骤
注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
3、利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
（一）求抛物线的标准方程
【例1-1】以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y
【解析】依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C
变式1：边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)xD．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
【解析】设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.故选C.
变式2：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程．
【解析】设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq \r(3)，即y1－y2＝2eq \r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq \r(3)，把y1＝eq \r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq \r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq \r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq \f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
变式3：抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
【解析】椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
（二）抛物线的几何性质的应用
【例1-2】抛物线的准线方程是，则实数___________.
【解析】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
【例1-3】设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
【解析】设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
当x＝1时，|PA|的最小值为2eq \r(2).
变式1：已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
【解析】设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(|y\\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时x0＝eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
变式2：如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
【解析】抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，
又点F到直线的距离d＝eq \f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
所以|PA|＋|PB|的最小值是eq \f(5,2)eq \r(2)－1.
【例1-4】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
【解析】如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \\al(2,1)＝2px1联立，
解得y1＝2eq \r(3)p.
所以|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p，
即这个三角形的边长为4eq \r(3)p.
变式1：已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
【解析】如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y0,x0)))＝－1.
∴yeq \\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))，
又∵yeq \\al(2,0)＝2px0，
∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).
∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2).
变式2：抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
【解析】由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，eq \r(3)(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3xeq \\al(2,0)－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，
所以点A的坐标为(3,2eq \r(3))，
故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
考点二 焦点弦问题
解题方略：
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
【例2-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
【例2-2】【多选】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，则p的值可以为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，可得x＝5－eq \f(p,2).
因为圆心是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为eq \f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq \f(5,2)，
由已知可知圆半径也为eq \f(5,2)，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，
故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
【例2-3】过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
【解析】由于抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
故可设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
考点三 直线与抛物线的位置关系
解题方略：
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
（一）直线与抛物线位置关系的应用
【例3-1】过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【解析】显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x))消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq \f(1,3)或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
【例3-2】【多选】已知直线与抛物线相切，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】联立可得，由题意可得，解得.
故选：BC.
变式1：过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
【解析】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
故答案为：3
（二）弦长问题
【例3-3】过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(1＋4×16－4)＝eq \r(5×12)＝2eq \r(15).故选B
变式1：已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
【解析】当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p. ①
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
（三）中点弦问题
【例3-4】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
【解析】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
变式1：若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【解析】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
变式2：已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
【解析】设，，则，，
两式相减可得，
则，
故的斜率为1，则的倾斜角为.
故答案为：
变式3：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解析】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
考点四 抛物线的轨迹问题
解题方略：
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
【例4-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【解析】设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
变式1：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
变式2：设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
【解析】(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，
∴eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)
＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
考点五 抛物线的定值、定点问题
【例5-1】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【解析】（1）∵点在抛物线C上，∴，解得，∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，联立，消去y可得，，由韦达定理有，，∴，即得证.
【例5-2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，则，解得.故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，设.因为三点共线，所以，即，即，整理得.因为，所以.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立整理得，则.因为关于轴对称，所以，则，解得.故直线的方程为，即直线恒过点.
题组A 基础过关练
1、抛物线 的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】抛物线 的方程化为标准方程为： ，
故 ，则焦点坐标为 ，
故选：D.
2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
【解析】若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.故选D
3、已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
【解析】∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0)．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C
4、若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
【解析】设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4).故选B
5、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 eq \r(2))B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))
【解析】设A(x，y)，则y2＝4x，①
又eq \(OA,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(1－x，－y)，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AF,\s\up7(―→))＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2)．故选B
6、动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
【解析】依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 故选D
7、若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
【解析】由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选A
8、直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
【解析】当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
综上，k＝0或1.
9、若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
【解析】题意可知点M的纵坐标，代入拋物
线方程求得，抛物线的准线为，
根据抛物线的定义可知点M与焦点F间的距离
故答案为：13
10、已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
【解析】因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
题组B 能力提升练
11、若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
【解析】双曲线的方程可化为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,\f(p2,16))＝1，∴双曲线的左焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).
又∵抛物线的准线为x＝－eq \f(p,2)，由题意得－eq \r(3＋\f(p2,16))＝－eq \f(p,2)，解得p＝4.故选C
12、已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
13、已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【解析】设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
14、【多选】设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
【解析】∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.故选ACD
15、已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解析】由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则
焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))，直线l：x＝eq \f(a,2)，
∴A，B两点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面积为4，
∴eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))·2|a|＝4，∴a＝±2eq \r(2).
∴抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.
16、已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10，
所以m＝eq \f(7,16)，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
题组C 培优拔尖练
17、已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
【解析】（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是．
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为．
18、已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
【解析】(1)设，
抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，
直线l的方程为，
将直线l方程与抛物线消去y可得，
点A是第一象限内的交点，
解方程得，∴.
(2)设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，
代入抛物线C的方程化简得，，
∵＞0，∴，
∴，当且仅当m＝0时取等号，
∴AB长度最小值为12.
19、已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
【解析】(1)由点在上，得，解得，
由抛物线的定义及，得，解得或，
结合，得，
故抛物线的方程为．
(2)显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，
由消去并整理，得，
，直线与一定有两个交点，
设，，则，
设中点为，则，，
即，
线段的中垂线方程为，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
20、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
【解析】(1)设C上任意一点P的坐标为，则有：，
当时，有；
当时，有，
所以C的方程为或；
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，
联立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由,
解得，
故直线的方程为，
所以直线恒过定点.
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
直观想象
数学运算
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
y2＝ax
一次项为x项，x轴为对称轴
a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay
一次项为y项，y轴为对称轴
a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
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