2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 3.8 二次函数综合题 (课件)

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例1 　　　　　　 如图①，已知抛物线 y＝－ x2＋ x＋2与 x轴交于点A，点B，与 y轴交于点 C，点 P是直线BC上方抛物线上一点．设点 P的横坐标为 t.
(1)①点 P的坐标可表示为___________________，t的取值范围为____________；②过点P作PQ⊥x轴于点Q，交线段BC于点H，则点Q的坐标可表示为________，PQ的长可表示为______________，点H的坐标可表示为_____________，PH的长可表示为_____________；
③过点P作PN⊥y轴交直线BC于点D，则点D的坐标可表示为______________________________，PD的长可表示为__________；(2)将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则点P的对应点P1的坐标可表示为______________________，PP1的长可表示为________；
(3)若点P′与点P关于抛物线的对称轴对称，则点P′的坐标可表示为_____________________，PP′的长可表示为________；(4)如图②，过点P作PM⊥BC于点M，则点M的坐标可表示为_______________________，PM的长可以表示为___________．
例2 　　　　　　　 如图①，抛物线y＝ x2＋bx＋c与直线y＝－ x＋2交于点B、C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A，对称轴为直线l.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E为x轴上一点，当BE＝CE时，求点E的坐标；
(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则BE＝4－e.
(3)如图②，设P为直线BC下方抛物线上一点．过点P作y轴的平行线交直线BC于点H.①求当PH值最大时，点P的坐标；
【思维教练】设出点P横坐标为p，可表示出PH的长，利用二次函数性质可求出最值；
【拓展设问】如图③，过点P作PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
【思维教练】根据三角函数表示出PD与PH的关系，从而表示出PD，再根据二次函数性质求出最值．
【思维教练】根据点P的坐标可表示出点H的坐标，从而表示出BH的长，再解方程即可求解；
③若点P到直线BC的距离为 时，过点P作PF∥BC，与抛物线的另一个交点为F，求点F的坐标；
【思维教练】点P到直线BC的距离即为PD的长，列方程即可求出此时点P的坐标，PF∥BC，即PF可以由BC平移得到，设出PF的直线解析式，代入点P坐标即可求出PF的解析式，联立方程组，即可求出直线PF与抛物线的另一个交点的坐标．
(4)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据对称性可确定点F的位置，求出点F的坐标，再利用勾股定理即可求解．
(4)存在．要使△ACF的周长最小，即AC＋AF＋CF的值最小，如解图，连接AC、AF.
∵AC为定值，且点A与点B关于对称轴直线l对称，∴BC与对称轴l的交点即为所求的点F.
∵抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋2，∴抛物线对称轴为直线 ，A(1，0)．∴将x＝ 代入y＝－ x＋2，得y＝－ × ＋2＝ ，∴点F的坐标为( ， )．
∵在Rt△OAC中，OA＝1，OC＝2，由勾股定理得AC＝ ，在Rt△OBC中，∵OB＝4，OC＝2，由勾股定理得BC＝ ，∴△ACF周长的最小值为AC＋AF＋CF＝AC＋BC＝ ＋2 ＝3 .
1. (2021沈阳25题12分)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x 轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B坐标是(3，0)．抛物线与 y 轴交于点C(0，3)，点 P是抛物线的顶点，连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
【一题多解】y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以P点坐标为(1，4)．
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
∴S△ABQ＝2S△PCD＝2.过点Q作CG⊥AB，垂足为点G.
②在①的条件下，当点Q在x 轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝ x－ 交直线l于点F，点G在直线y＝ x－ 上，且AG ＝AQ时，请直接写出GF的长．
【解法提示】如解图③，
∵l⊥AQ，直线AQ的解析式为y＝ x＋ ，∴设直线l的解析式为y＝－3x＋m，把点Q(2，1)代入，得m＝7.直线QF的解析式为y＝－3x＋7.联立 解得∴F( ，－ )．∴FG1＝ ，FG2＝ .
2. (2023沈阳大东区一模)如图①，在平面直角坐标系中，直线BC分别与x轴，y轴交于B(3，0)，C两点，抛物线y＝ax2＋bx－ 经过B，C两点，与x轴交于A(－1，0)．
(1)求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式_____________；
(2)点D是x轴下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，当DE＝ 时，设点D的横坐标为m，求m的值；
当0＜m＜3时，设直线DE交x轴于点F，如解图，
当－1＜m＜0，设直线DE交x轴于点F，如解图，
(3)如图②，在y轴的正半轴上取点M，在射线CB上取点N，连接MN，点P为MN的中点，且CP＝ ，请直接写出CM＋CN的最大值____．
∵点P为MN的中点，且CP＝ ，∴点P的轨迹是在∠OCB内部，以点C为圆心， 为半径的圆弧，不含与边CO，CB的交点．观察图形可以得出，当点P接近边CO和CB时，CM＋CN接近2 ，由对称性可知，当CP为∠OCB的平分线时，CM＋CN的值最大，∴当△CMN为等边三角形时，CM＋CN最大．∵△CMN为等边三角形，点P为MN的中点，∴CM＝CN，CP⊥MN，∠CNM＝60°.
在Rt△CPN中，sin∠CNM＝ .∵CP＝ ，∴CN＝ ＝2，∴CM＋CN的最大值为4.
类型二　二次函数与面积问题
例1 　　　　　　　 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－3x＋4与x轴交于点A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DC、AC，点P是直线AC上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m.连接PA，PB，PC，BC.
(1)AB的长为________，OC的长为________，对称轴为直线________，顶点D的坐标为________；(2)S△ABC为________，S△AOC为________，S△ADC为________，S四边形AOCD为________，S四边形ABCD为________；
(3)S△PAB可表示为_________________；S△PAC可表示为___________；S四边形ABCP可表示为______________．
例2 　　　　　　 如图①，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B(1，0)，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC，BC.点P是直线AC下方抛物线上一点，连接PA，连接PB交AC于点F.
(1)求二次函数的解析式；
解：(1)∵抛物线与x轴交于B(1，0)，且对称轴为直线x＝－1.∴抛物线与x轴另一个交点坐标为A(－3，0)，∴二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；
(2)若△PAB的面积为8，求点P的坐标；
(3)如图②，若S△AFP＝S△FBC，请求出点P的坐标；
【思维教练】要求点P的坐标，已知S△AFP＝S△FBC，但两个三角形的面积都不易直接求得，可利用S△PAB－S△ABF＝S△ABC－S△AFB，设出点P坐标，分别表示出S△PAB，S△ABC，代入等量关系即可求解．
(3)设P(p，p2＋2p－3)，如解图，过点P作PH⊥x轴于点H，∴H(p，0)，－3＜p＜0，
【思维教练】要求△PAC面积S的最大值，先设点P坐标，表示出△PAC面积S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．△PAC的面积不易直接求得，可作PM∥y轴交直线AC于M，利用S△PAC＝S△PAM＋S△PCM求得．
(4)如图③，连接PC，求△PAC面积S的最大值，并求出对应的点P的坐标；
(4)点A(－3，0)，C(0，－3)，∴直线AC的解析式为y＝－x－3，如解图，作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵－ ＜0，－3＜x＜0，∴当x＝－ 时，S有最大值，最大值为 ，此时P点坐标为(－ ，－ )；
【拓展设问】求四边形ABCP的面积S的最大值并写出此时点P的坐标．
如解图，过点P作PR⊥AB于点R，PT⊥y轴于点T，连接OP.
【思维教练】先设点P坐标，表示出△PAC的面积，利用面积之间的关系表示出S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．
(5)如图④，△PAC与△PBC重合部分的面积为S，若△PAC与△PBC重合部分的面积是△PAC面积的 ，求S的最大值并写出此时点P的坐标；
【思维教练】要求点P的坐标，已知过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，可先设点P的坐标，设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，表示出△PQC和△PQA的面积，再代入比例关系式S△PQC∶S△PQA＝1∶3或S△PQA∶S△PQC＝1∶3，即可求解．
(6)如图⑤，过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，求此时点P的坐标．
(6)设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，∵直线PQ将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，∴设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，则S△PQC＝ PQ·|x|＝－ PQ·x，S△PQA＝ PQ·|－3－x|＝ PQ·(x＋3)，
①当 时， ，解得x＝－ ，此时点P的坐标为(－ ，－ )．②当 时， ，解得x＝－ ，此时点P的坐标为(－ ，－ )．
综上可得，当过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分时，点P的坐标为(－ ，－ )或(－ ，－ )．
1. 如图①，已知二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4.动点M从点B出发，以每秒 个单位长度的速度向终点C运动，运动时间为t秒．(1)求二次函数的表达式；
解：(1)∵OB＝2OA＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)，把A(－2，0)，B(4，0)分别代入y＝ x2＋bx＋c得 解得∴二次函数的表达式为y＝ x2－x－4；
(2)过点M作PM⊥BC交y轴于点P，当t＝3时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点E是线段AC的中点，点M运动的同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点M运动到终点时点N停止运动，设△EMN的面积是S，请直接写出S取最小值时，点N的坐标．
【解法提示】如解图，过点E作EG⊥x轴于点G，
当0≤t<1时，NG＝1－t，∴S△EMN＝S△NEG＋S四边形GEMF－S△NMF＝ ×2×(1－t)＋ ×(t＋2)×(5－t)－ t×(6－2t)＝ t2－ t＋6；当1≤t≤4时，NG＝t－1，∴S△EMN＝S四边形GEMF－S△NEG－S△NMF＝ ×(t＋2)×(5－t)－ ×2×(t－1)－ )t×(6－2t)＝ t2－ t＋6.
∴ t2－ t＋6＝ (t－ )2＋ ，
2. (2023葫芦岛龙港区一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；
(2)P是线段BC上一点，射线AP交抛物线于点F.①连接FC，FB，若S△FPC＝2S△FPB，求点F的坐标；
①过点P作PM⊥x轴于点M，如解图，
设直线AP的解析式为y＝kx＋b，将A(－1，0)，P(2，1)代入得， ，解得
∴直线AP的解析式为y＝ x＋ ，联立 解得 (舍) ，
∴点F的坐标为( ， )；
②抛物线的顶点为D，当DP＋ BP有最小值时，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，设△A′D′P′与△BOC重叠部分的面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式．
【解法提示】如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，
将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，分两种情况：
情况一：当0≤t≤1时，A′D′与OC、BC分别交于H、M，A′P′与OC、BC分别交于点G、N，如解图③，
由A(－1，0)，D(1，4)可得直线AD解析式为y＝2x＋2，∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，∴A′(－1＋t，0)，A′D′∥AD，∴直线A′D′解析式为y＝2x＋2－2t，∴令x＝0得y＝2－2t，即H(0，2－2t)，∴CH＝OC－OH＝1＋2t，
情况二：当1＜t≤4时，A′D′交BC于点R，A′P′交BC于点Q，如解图④，
3. (2021聊城)如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，－2)，连接AC，BC.(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.∴∠ACO＝∠CBO.∴∠ACO＋∠BCO＝∠CBO＋∠BCO＝90°，∴AC⊥BC.∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，如解图，延长AC至点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E.
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求 的值最大时点P的坐标．
过点P作x轴的垂线交BC于点N，交x轴于点H.