2023-2024学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（A卷）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数在x=x0处的导数为4，则Δx→0limf(x0−Δx)−f(x0)2Δx=( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
2.从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有( )
A. 16个B. 24个C. 32个D. 48个
3.函数f(x)=ex−ex的单调递减区间为( )
A. (1,+∞)B. (0,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,1)
4.若S=A11+A22+A33+A44+⋯A100100，则S的个位数字是( )
A. 8B. 5C. 3D. 0
5.(x−y)(x+y)4的展开式中x2y3的系数为( )
A. −1B. −2C. −3D. 4
6.将3种植物种植在下列所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有( )
A. 24种B. 21种C. 18种D. 12种
7.整数485除以7，所得余数为( )
A. 1B. 3C. 5D. 6
8.若函数f(x)=ex−alnx+1在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围( )
A. (e,e2)B. (e,2e2)
C. (−∞,e)∪(e2,+∞)D. (1,e2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在(3x−123x)n的二项展开式中，第6项为常数项，则( )
A. n=10B. 展开式中项数共有13项
C. 含x2的项的系数为454D. 展开式中有理项的项数为3
10.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有( )
A. 甲从M到达N处的走法种数为120
B. 甲从M必须经过A3到达N处的走法种数为9
C. 甲，乙两人能在A3处相遇的走法种数为36
D. 甲，乙两人能相遇的走法种数为164
11.设定义在R上的可导函数f(x)和g(x)满足f′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，f(x)为奇函数，且g(0)=1，则下列选项中正确的有( )
A. g(x)为偶函数B. f(x)为周期函数
C. g(x)存在最小值且最小值为1D. g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖.由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为______．
13.设函数f(x)=ax+lnx.能说明“对于任意的014.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第11与第12个数的比为1：2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=xlnx(x>0)．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，f(x)⩾−x2+mx−32恒成立，求实数m的最大值．
16.(本小题15分)
某校举行劳动技术比赛，该校高二(1)班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
(1)男选手甲必须参加，且第4位出场；
(2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
(3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=mlnx−3x．
(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，求实数m的值；
(2)若m=2，求函数g(x)=f(x)+5x的极值．
18.(本小题17分)
设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．
(1)求n；
(2)求最大的系数ai；
(3)是否存在正整数m，使得am+2+4am=4am+1成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”．
(1)直线y=2x是否为曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数g(x)=ex−2e,x≤0,lnx,x>0,求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；
(3)已知函数ℎ(x)=sinx，直线PQ为曲线y=ℎ(x)的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1，k2…，kn，若k1>k2>ki(i=3,4,5,…,n)，证明：k1k2<158．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.ACD
10.BD
11.ACD
12.60
13.0
14.35
15.解：(1)f′(x)=lnx+1，
f′(x)>0，得x>1e，令f′(x)<0，得：0∴f(x)的单调增区间是(1e,+∞)，单调减区间是(0,1e)．
∴f(x)在x=1e处取得极小值，极小值为f(1e)=−1e，无极大值．
(2)由f(x)⩾−x2+mx−32(x>0)变形，得m⩽2xlnx+x2+3x恒成立，
令g(x)=2xlnx+x2+3x(x>0)，则g′(x)=2x+x2−3x2，
由g′(x)>0，得x>1，g′(x)<0，得：0所以，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
所以，g(x)min=g(1)=4，即m⩽4，所以m的最大值是4．
16.解：(1)男选手甲必须参加，再选1名男生有4种，4名女生选2名，有C42，安排甲在第4位出场，其余3人全排列，
则有4C42A33=144种不同的安排方法．
(2)男选手甲和女选手乙都参加，再各选1名男选手和女选手，先安排选出的男选手和女选手，然后将甲乙进行插空进行排列即可，
则有C41C31A22A32=144种不同的安排方法．
(3)各选2名选手参加比赛有C52C42A44=10×6×24=1440，
男选手甲和女选手乙至少有一人参加的对立面都不参加，
若甲乙都不参加，则有C42C32A44=6×3×24=432，
则男选手甲和女选手乙至少有一人参加的有1440−432=1008．
17.解：(1)由函数f(x)=mlnx−3x，定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=mx+3x2，
可得f′(1)=m+3，即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为k=m+3，
因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，
所以−12=m+3，
可得m=−72；
(2)若m=2，可得f(x)=2lnx−3x，所以g(x)=2(lnx+1x)，
其中x>0，可得g′(x)=2(1x−1x2)=2(x−1)x2，
令g′(x)=0，可得x=1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，函数g(x)取得极小值为g(1)=2，无极大值．
18.解：(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即Cn3=Cn4，则n=7．
(2)设(1+2x)7展开式中第r+1项Tr+1是系数最大的项，则Tr+1=C7r2rxr，
由不等式组C7r2r≥C7r−12r−1C7r2r≥C7r+12r+1，解得r≤163r≥133，且r∈N，∴r=5，
所以ai=C7525=672．
(3)因为(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，所以am=C7m2m，
因为am+2+4am=4am+1，所以C7m+22m+2+4C7m2m=4C7m+12m+1，
所以7!(m+2)!(5−m)!2m+2+47!m!(7−m)!2m=47!(m+1)!(6−m)!2m+1，
由此方程可得：1(m+1)(m+2)+1(6−m)(7−m)=2(m+1)(6−m)，
解得：m=1或4．
综上：存在m=1或4，使得am+2+4am=4am+1成立．
19.解：(1)f(x)=x3+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
求导得f′(x)=3x2−1x2，直线y=2x的斜率为2，
令f′(x)=3x2−1x2=2，解得x=±1，
不妨设切点P(−1,−2)，Q(1,2)，
则点P处的切线方程为y+2=2(x+1)，即y=2x，
点Q处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，
所以直线y=2x是曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”．
(2)函数g(x)=ex−2e,x≤0lnx,x>0，求导得g′(x)=ex,x≤01x,x>0，
显然函数y=ex在(−∞,0)上单调递增，函数y=1x在(0,+∞)上单调递减，
设切点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则存在x1<0则在点P处的切线方程为y−(ex1−2e)=ex1(x−x1)，
在点Q处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2)，
因此ex1=1x2ex1−ex1x1−2e=lnx2−1，消去x2可得ex1−x1ex1+x1−2e+1=0，
k(x)=ex−xex+x−2e+1(x<0)，
求导得k′(x)=ex−(1+x)ex+1=−xex+1>0，
则函数k(x)在(−∞,0)上单调递增，又k(−1)=0，
函数k(x)的零点为−1，因此x1=−1，x2=e，
所以曲线y=g(x)的“双重切线”的方程为y=xe；
(3)设k1对应的切点为(t1,sint1)，(S1,sinS1)，t1k2对应的切点为(t2,sint2)，(S2,sinS2)，t2由(sinx)′=csx，得k1=cst1=csS1，k2=cst2=csS2，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑t1+S1=2π，t2+s2=4π，其中t1，t2∈(−π2,0)，
由k1>k2及余弦函数在(−π2,0)上递增知，−π2则k1=sins1−sint1S1−t1=sin(2π−t1)−sint1(2π−t1)−t1=−2sint12π−2t1=−sint1π−t1，
k2=sins2−sint2s2−t2=sin(4π−t2)−sint2(4π−t2)−t2=−2sint24π−2t2=−sint22π−t2，
因此k1k2=sint1sint2⋅2π−t2π−t1，又k1=cst1=−sint1π−t1，k2=cst2=−sint22π−t2，
则sint1=(t1−π)cst1⇔tant1−t1+π=0，同理tant2−t2+2π=0，
令F(x)=tanx−x+π(−π20．
则F(x)在(−π2,0)上单调递增，显然F(−π3)>0，且F(x)函数y=tanx+3π2在(−π2,0)上的值域为(−∞,3π2)，
即函数F(x)在(−π2,0)上存在零点，则有−π2由tant2−t2+2π=0，同理可得−π2因此−π2所以k1k2=sint1sint2⋅2π−t2π−t1<2π−t2π−t1<2π+π2π+π3=158，即k1k2<158． 第一试验田
第二试验田
第三试验田
第四试验田