2022-2023学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（a卷）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（a卷），共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）如果AC＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1
3．（5分）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞6B．2＜m＜6
C．m＜﹣6或m＞﹣2D．﹣6＜m＜﹣2
4．（5分）抛物线的焦点到圆C：x2+y2﹣6x+8＝0上点的距离的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
5．（5分）已知点A（2，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y＝k（x﹣1）﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣）B．（﹣∞，﹣）
C．（5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）
6．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且|AF|＝3，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知从椭圆C：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若△PAB的面积的最大值为，则△PCD面积的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分.
（多选）9．（5分）已知ab≠0，O为坐标原点，点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by＝r2，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥lB．OP⊥mC．m与圆相离D．m与圆相交
（多选）10．（5分）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线（1+3m）x﹣（1+m）y+2＝0（m∈R）恒过定点（1，3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有一条公切线，则m＝﹣16
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线x+y﹣1＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝px（p＞0），O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M（5，2）射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（ ）
A．若p＝2，则|AB|＝2
B．若p＝2，则MB平分∠ABN
C．若p＝4，则|AB|＝4
D．若p＝4，延长AO交直线x＝﹣1于点D，则D，B，N三点共线
（多选）12．（5分）嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用c1和c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用a1和a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c2＝a2+c1
B．a1c2＝a2c1
C．﹣＝﹣
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程 ．
14．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A，若|AF1|＝|F1F2|，则C的离心率是 ．
15．（5分）已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 ．
16．（5分）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）菱形ABCD的顶点A、C的坐标分别为A（﹣4，7）、C（6，﹣5），BC边所在直线过点P（4，﹣1）．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求对角线BD所在直线的方程．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝8，求线段AB的中点M到准线的距离．
19．（12分）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
20．（12分）已知三条直线；l1：2x﹣y+a＝0，l2：4x﹣2y﹣1＝0，l3：x+y﹣1＝0，且原点到直线l1的距离是．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆C1：x2+y2+2x﹣＝0内切，且与圆C2：x2+y2﹣2x+＝0外切，记动圆P的圆心轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k≠0）与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
22．（12分）动点M（x，y）与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点（1，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q、使得为定值？若存在，求出Q点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）如果AC＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限．
【解答】解：Ax+By+C＝0，，（B≠0），AC＞0，BC＜0，
故，．
故直线不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
2．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1
【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．
法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．
法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．
【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），
则由题意知，
解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．
故选A．
解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1
故选A．
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，
排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．
故选：A．
【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．
3．（5分）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞6B．2＜m＜6
C．m＜﹣6或m＞﹣2D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】由x2和y2的分母异号可建立关于m的不等式，解不等式可求
【解答】解：由题意（m﹣2）（m﹣6）＜0，解得2＜m＜6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，属于基础题．
4．（5分）抛物线的焦点到圆C：x2+y2﹣6x+8＝0上点的距离的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】确定焦点为（0，4），确定圆心为（3，0），半径r＝1，焦点到圆心的距离减去半径即最小距离．
【解答】解：抛物线x2＝16y的焦点坐标为（0，4），
圆C：（x﹣3）2+y2＝1，圆心为（3，0），半径r＝1．
如图，
焦点到圆心的距离为，
则焦点到圆上点的最小值为5﹣1＝4．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线、圆的几何性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5分）已知点A（2，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y＝k（x﹣1）﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣）B．（﹣∞，﹣）
C．（5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）
【分析】首先求出直线l经过的定点，进一步利用直线的斜率和位置关系求出直线l：y＝k（x﹣1）﹣2与线段AB有公共点的直线斜率的取值范围．
【解答】解：直线l：y＝k（x﹣1）﹣2恒过点C（1，﹣2），
点A（2，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y＝k（x﹣1）﹣2与线段AB有公共点，
如图所示：
所以，．
当时，直线l与线段AB有公共点．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：恒过定点的直线系，直线的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且|AF|＝3，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别过点A、B作准线的垂线，垂足分别为点E、D，设|BF|＝a，根据抛物线的定义以及图象可得sin∠BCD＝sin∠ACE＝sin∠FCM，结合已知条件求得a，p，即可．
【解答】解：如图，分别过点A、B作准线的垂线，垂足分别为点E、D，
设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝3a，由抛物线的定义得|BD|＝a，
故，
在直角三角形ACE中，|AF|＝3，|AC|＝3+4a，
又因为，
则3+4a＝9，从而得a＝，
又因为sin∠BCD＝sin∠FCM＝＝，
所以p＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
7．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用集合的性质及圆与圆的位置关系求出有一个交点或两个交点时r的取值范围．
【解答】解：根据集合，整理得x2+y2＝4（x≤0），该集合M是以（0，0）为圆心，2为半径的左半圆，与y轴的交点为M（0，2）和N（0，﹣2）；
集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），表示以点（﹣3，3）为圆心以r为半径的圆，
如图所示：
当圆C和圆O相切于点P时，即M∩N有且只有一个交点，此时r＝，
点圆C经过点M时，M∩N有两个元素，此时（0+3）2+（2﹣3）2＝r2，解得r＝，
当圆C经过点N时，M∩N有且仅有一个元素，此时（0+3）2+（﹣2﹣3）2＝r2，解得r＝，
所以当M∩N＝∅时，r的取值范围为．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
8．（5分）已知从椭圆C：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若△PAB的面积的最大值为，则△PCD面积的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】设P（x，y），求出P点轨迹为圆，圆心为，半径为，得到P点到x轴的距离最大值为，根据△PAB的面积最大值求出a＝2，从而求出b＝1，求出|CD|＝2b＝2，结合P点到y轴的距离最小值，即可得出答案．
【解答】解：设P（x，y），不妨令，，
故，整理得，
故P点轨迹为圆，圆心为，半径为，
由题意得A（﹣a，0），B（a，0），
则P点到x轴的距离最大值为，
∴，解得a＝2，
故，
则|CD|＝2b＝2，
则P点到y轴的距离最小值为，
故△PCD面积的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分.
（多选）9．（5分）已知ab≠0，O为坐标原点，点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by＝r2，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥lB．OP⊥mC．m与圆相离D．m与圆相交
【分析】根据垂直关系得到，得到AB正确，再计算圆心到直线的距离与半径的大小关系，得到C错误D正确，得到答案．
【解答】解：，l⊥OP，故，直线m的方程是ax+by＝r2，故，
两直线不重合，故m∥l，OP⊥m，AB正确；
圆心到直线m的距离为，直线与圆相交，C错误D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线（1+3m）x﹣（1+m）y+2＝0（m∈R）恒过定点（1，3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有一条公切线，则m＝﹣16
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线x+y﹣1＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得m判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．
【解答】解：由（1+3m）x﹣（1+m）y+2＝0（m∈R），得x﹣y+2+m（3x﹣y）＝0，
联立，解得，∴直线（1+3m）x﹣（1+m）y+2＝0（m∈R）恒过定点（1，3），故A正确；
∵圆心（0，0）到直线的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式（x+1）2+y2＝1，圆心C1（﹣1，0），半径为1，
曲线化为标准式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，圆心C2（2，4），半径为，
∴圆心距为，解得m＝﹣16，故C正确；
设点P的坐标为（m，n），则m+n﹣1＝0，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝1，消去n得，m（x﹣y）+y﹣1＝0，
令x﹣y＝0，y﹣1＝0，解得x＝1，y＝1，故直线AB经过定点（1，1），故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题，圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝px（p＞0），O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M（5，2）射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（ ）
A．若p＝2，则|AB|＝2
B．若p＝2，则MB平分∠ABN
C．若p＝4，则|AB|＝4
D．若p＝4，延长AO交直线x＝﹣1于点D，则D，B，N三点共线
【分析】根据p求出焦点为F、A点坐标，可得直线AF的方程与抛物线方程联立得B点坐标，由两点间的距离公式求出|AB|，可判断A，C；p＝2时可得|AM|≠|AB|，∠AMB≠∠ABM．由∠AMB＝∠MBN 可判断B；求出D点坐标可判断D．
【解答】解：若p＝2，则 C：y2＝2x，C的焦点为，因为M（5，2），所以A（2，2），
直线AF的方程为y﹣0＝（x﹣），整理得，
与抛物线方程联立得，解得或，所以，
所以，选项A错误；
p＝2时，因为|AM|＝5﹣2﹣3≠|AB＝，所以∠AMB≠∠ABM．又∠AMB＝∠MBN，
∠MBN≠∠ABM，所以MB不平分∠ABN，选项B不正确；
若p＝4，则C：y2＝4x，C的焦点为F（1，0），因为M（5，2），所以A（1，2），
直线AF的方程为x＝1，所以B（1，﹣2），所以AB|＝4，选项C正确；
若p＝4，则C：y2＝4x，C的焦点为F（1，0），因为M（5，2），所以A（1，2），
直线AF的方程为x＝1，所以B（1，﹣2），直线AO的方程为y＝2x，
延长AO交直线x＝﹣1 于点D，所以则D（﹣1，﹣2）所以D，B，N三点共线，选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，考查方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用c1和c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用a1和a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c2＝a2+c1
B．a1c2＝a2c1
C．﹣＝﹣
D．
【分析】由椭圆的性质判断A；由a1+c2＝a2+c1结合不等式的性质判断BCD，即可得出答案．
【解答】解：∵a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，
∴a1﹣c1＝a2﹣c2，即a1+c2＝a2+c1，故A正确；
∵a1+c2＝a2+c1，
∴，，，
∵b1＞b2，∴a1c2＜a2c1，故B错误，C错误；
由选项B得，a1c2＜a2c1，则，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程 3x﹣y＝0（直线方程的斜率为3即可） ．
【分析】根据函数图象变换表示出前后解析式，由题意，列方程求解，再根据两直线垂直斜率之间的关系即可得到答案．
【解答】解：由题意，可设y＝kx+b，直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位，
可得y＝k（x+3）+b+1，则y＝kx+3k+b+1，
所以由b＝3k+b+1，即3k+1＝0，解得k＝﹣，
故写出一条与l垂直的直线方程为3x﹣y＝0（直线方程的斜率为3即可）．
故答案为：3x﹣y＝0（直线方程的斜率为3即可）．
【点评】本题考查了直线的方程，两直线垂直斜率之间的关系，属于基础题．
14．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A，若|AF1|＝|F1F2|，则C的离心率是 ．
【分析】由椭圆的定义，结合余弦定理求解．
【解答】解：由题意得|AF1|＝|F1F2|＝2c，
则|AF2|＝2a﹣2c，
在△AF1F2中，，
则，
又，∠AF1F2为锐角，
则，
由余弦定理可得：（2a﹣2c）2＝4c2+4c2﹣7c2，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了余弦定理及椭圆离心率的求法，属基础题．
15．（5分）已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 [1，4] ．
【分析】根据△F1AB的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出|PF1|的范围，得到关于|PF1|的函数，从而求出答案．
【解答】解：∵△F1AB的面积为，∴，
即（a﹣c）b＝2﹣，
由已知得，即，
所以，则ab＝2，
又，所以，
由，ab＝2，解得a＝2，b＝1，进而，
∴＝，
又，
∴，
∴．
即的取值范围为[1，4]．
故答案为：[1，4]．
【点评】本题考查了椭圆的性质的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
16．（5分）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．
【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；
②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF1F2，△BF1F2的内切圆与x轴切于双曲线的右顶点E，设直线AB的倾斜角为θ，可用θ表示|ME|﹣|NE|，根据A，B两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得|ME|﹣|NE|的取值范围．
【解答】解：①因为双曲线C：过点，所以，
所以双曲线C的方程为．
②如图：
设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，
所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，
所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，
又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，
又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，
设直线AB的倾斜角为θ．则，，
＝＝＝＝，
当时，|ME|﹣|NE|＝0，
当时，由题知，a＝2．c＝4，．
因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴．且，，
综上所述，．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）菱形ABCD的顶点A、C的坐标分别为A（﹣4，7）、C（6，﹣5），BC边所在直线过点P（4，﹣1）．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求对角线BD所在直线的方程．
【分析】（1）由已知可得出BC∥AD，则kAD＝kCP，求出AD边所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（2）求出线段AC的垂直平分线方程，即为对角线BD所在直线的方程．
【解答】解：（1）由菱形的性质可知BC∥AD，
则，
故AD边所在直线的方程为y﹣7＝﹣2（x+4），即2x+y+1＝0；
（2）线段AC的中点为E（1，1），，
由菱形的几何性质可知，BD⊥AC且E为BD的中点，
则，
故对角线BD所在直线的方程为，即5x﹣6y+1＝0．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝8，求线段AB的中点M到准线的距离．
【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出p＝6即可求解；
（2）根据抛物线的定义可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解．
【解答】解：（1）∵双曲线E：的焦点坐标为（±3，0），
又抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，
∴，即p＝6．
∴抛物线C的方程为y2＝12x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线定义，知，
∴x1+x2＝2，于是线段AB的中点M的横坐标是1，
又准线方程是x＝﹣3，
∴点M到准线的距离等于1+3＝4．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程，同时还涉及了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
【分析】1）设圆的标准为（x﹣3）2+y2＝r2，求出r即得解；
（2）直线n斜率不存在时不成立；直线n斜率存在时，设直线n：y＝kx+t，M（x1，kx1+t），N（x2，kx2+t），求出直线的方程为y＝（+2）x+t，即得解．
【解答】解：（1）设圆的标准为（x﹣3）2+y2＝r2，由题意知 ，
故圆的标准方程为（x﹣3）2+y2＝25；
（2）证明：当直线n斜率不存在时，设M（a，b），N（a，﹣b），
∵直线AM，AN的斜率之积为2，A（0，4），
∴，即b2＝16﹣2a2，a≠0，
∵点M（a，b）在圆上，
∴（a﹣3）2+b2＝25，
联立，，与题设矛盾舍去，
当直线n斜率存在时，设直线 n：y＝kx+t，M（x1，kx1+t），N（x2，kx2+t），
联立，整理可得：（1+k2）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
kAM•kAN＝•＝2，
整理可得：（k2﹣2）x1x2+k（t﹣4）（x1+x2）+（t﹣4）2＝0，
代入整理可得（k2﹣2）（t2﹣16）+（kt﹣4k）（﹣2kt+6）+（t﹣4）2（1+k2）＝0，
化简得k＝+2或t＝4，
若t＝4，则直线n过（0，4），与题设矛盾，舍去，
∴直线n的方程为：y＝（+2）x+t，
即t•（x+6）+12x﹣6y＝0，
直线恒过两直线的交点，即，
∴x＝﹣6，y＝﹣12．
即直线恒过定点（﹣6，﹣12）．
【点评】本题考查圆的方程的求法及直线恒过定点的求法，属于中档题．
20．（12分）已知三条直线；l1：2x﹣y+a＝0，l2：4x﹣2y﹣1＝0，l3：x+y﹣1＝0，且原点到直线l1的距离是．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【分析】（1）利用原点到直线l1的距离是求解即可；
（2）假设存在满足三个条件的点P，然后根据三个条件联立解出即可．
【解答】解：（1）因为原点到直线l1的距离是，即，
所以|a|＝3⇒a＝±3；
（2）若a＞0，由（1）得a＝3，所以l1：2x﹣y+3＝0，
设存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）满足题意，
由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍可得：，
即|4m﹣2n﹣1|＝4|2m﹣n+3|＝|8m﹣4n+12|，①
点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是，即|2m﹣n+3|＝|m+n﹣1|，②
m＞0，n＞0，③
联立①②③解的：，
故存在满足上述三个条件的点．
【点评】本题考查点到直线的距离的应用，属于基础题．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆C1：x2+y2+2x﹣＝0内切，且与圆C2：x2+y2﹣2x+＝0外切，记动圆P的圆心轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k≠0）与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得，，即|PC1|+|PC2|＝4，由椭圆的定义，分析即得解；
（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得，代入Δ＝48×（3﹣m2+4k2）＞0，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，圆C1的标准方程为：，圆心，
圆C2的标准方程为，圆心，
不妨设动圆P的半径为r，
动圆P和圆C1内切，故；动圆P和圆C2外切，故，
即|PC1|+|PC2|＝4，又|C1C2|＝2＜4，
故动圆P的圆心轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，2c＝2，2a＝4，b2＝a2﹣c2＝3，
即轨迹E的方程是：．
（2）由题意，联立直线与椭圆：，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），则Δ＝64k2m2﹣16×（3+4k2）×（m2﹣3）＝48×（3﹣m2+4k2）＞0，
即3﹣m2+4k2＞0，，
线段MN的中点横坐标，纵坐标，
线段MN的垂直平分线过定点，故，
即，代入3﹣m2+4k2＞0可得，，即，
即，解得或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）动点M（x，y）与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点（1，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q、使得为定值？若存在，求出Q点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，列出方程，整理后得到曲线C的方程；
（2）假设存在点Q（t，0），先考虑直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my+1，与曲线C的方程联立后，得到两根之和，两根之积，表达出，从而当时，得到，再考虑直线l的斜率为0时，也满足，从而得到结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
化简得：；
（2）假设存在点Q（t，0），使得为定值，
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my+1，
联立得：（m2﹣4）y2+2my﹣3＝0，
所以m2﹣4≠0，且Δ＝4m2+12（m2﹣4）＞0，得m2＞3且m2≠4，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
所以，
，
则
＝
＝
＝，
由为定值，得8t﹣23＝0，
解得：，此时，
当直线l的斜率为0时，此时不妨设M（2，0），N（﹣2，0），
故，
综上：在x轴上存在点、使得为定值．
【点评】本题考查了圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，是中档题．
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