高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题32待定系数法【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题32待定系数法【原卷版+解析】，共31页。

【热点聚焦】
高考命题中，虽然明确独立考查待定系数法不多，但由于其应用的广泛性，特别是在求曲线方程中而成为热点.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.
【重点知识回眸】
待定系数法
待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．
（二）解题的基本步骤：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
（三）常用曲线方程形式：
1.直线：，
2.圆：；.
3.椭圆：
（1）标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）
（2）椭圆方程通式：
（3）)方程与有相同的离心率．
（4）与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
4.双曲线：
(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）
（2）双曲线方程通式：
（3）相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：
5.抛物线：
（1）标准方程：等
（2）抛物线方程通式：，
【典型考题解析】
热点一 求直线方程
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【典例2】(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【典例3】(2023·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【总结提升】
1.当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
2.在高考命题中，确定直线方程问题基本与其它曲线综合考查.
热点二 求圆的方程
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【典例5】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
(1)求C和的方程；
(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
【总结提升】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
热点三 求椭圆方程
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，的中点坐标为.求椭圆的标准方程；
【规律方法】
待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
热点四 求双曲线方程
【典例8】(2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法总结】
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为，再根据条件求λ的值．
热点五 求抛物线方程
【典例10】（2023·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
【典例12】已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
【总结提升】
求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
2．(2023·湖南·高三开学考试）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
3．(2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
4．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.
5．(2023·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
6．（2023·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
7．(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
8．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
三、解答题
9．(2023·全国·高三专题练习）求过点且与直线平行的直线方程．
10．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，求椭圆的标准方程；
11．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
12．(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
13.（山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
14．（2023·河南·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.
15．(2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
16．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
17．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
18．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
专题32 待定系数法
【热点聚焦】
高考命题中，虽然明确独立考查待定系数法不多，但由于其应用的广泛性，特别是在求曲线方程中而成为热点.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.
【重点知识回眸】
待定系数法
待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．
（二）解题的基本步骤：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
（三）常用曲线方程形式：
1.直线：，
2.圆：；.
3.椭圆：
（1）标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）
（2）椭圆方程通式：
（3）)方程与有相同的离心率．
（4）与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
4.双曲线：
(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）
（2）双曲线方程通式：
（3）相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：
5.抛物线：
（1）标准方程：等
（2）抛物线方程通式：，
【典型考题解析】
热点一 求直线方程
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
分析：根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【典例2】(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
答案：或或
分析：先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【典例3】(2023·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
答案：
分析：令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
【总结提升】
1.当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
2.在高考命题中，确定直线方程问题基本与其它曲线综合考查.
热点二 求圆的方程
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
答案：或或或；
分析：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
【典例5】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
(1)求C和的方程；
(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
答案：(1)；
(2)或
分析：（1）设的方程为，代入点的坐标得的值，得到的方程，设的方程为，联立方程组，求得，结合，求得的值，即可得到直线的方程；
（2）由（1）得线段中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.
（1）
解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．
所以焦点的坐标为，
设的方程为且，
联立方程组，整理得，
所以，
所以．
由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．
（2）
解：由（1）得线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得，或，即圆心坐标为或，
又由抛物线的准线方程为，
可得点或到准线的距离分别为或，
即圆的半径分别为或，
所以圆的方程为或．
【总结提升】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
热点三 求椭圆方程
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，的中点坐标为.求椭圆的标准方程；
答案：
分析：设，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出得椭圆标准方程．
【详解】设，，，，可得，，
两式相减得，，，
将，代入上式，得，又，
∴，
∴直线的方程为，即，即，
∴，，
∴椭圆的标准方程.
【规律方法】
待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
热点四 求双曲线方程
【典例8】(2023·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
【方法总结】
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为，再根据条件求λ的值．
热点五 求抛物线方程
【典例10】（2023·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
答案：
分析：设，代入抛物线方程相减，利用弦中点坐标，直线斜率求得，得抛物线方程．
【详解】设，，
，两式相减并化简得，，
所以抛物线方程为.
【典例12】已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
答案：x2＝4y
【解析】由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P ，则点M ，因为焦点F ，△FPM是等边三角形，所以，
解得因此抛物线方程为x2＝4y.
【总结提升】
求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，
则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，
可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，又由,,
解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
二、填空题
2．(2023·湖南·高三开学考试）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
答案：或或或（写出一个即可）
分析：根据题意设抛物线的方程及点的坐标，根据抛物线的定义与方程运算求解．
【详解】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又∵或，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或或或．（写出一个即可）
3．(2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
答案：或
分析：分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，
由圆心到切线的距离等于半径得，解得，
所以直线方程为.
故答案为：或.
4．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.
答案：（答案不唯一）
分析：根据斜率公式可得出、所满足的关系式，即可得出满足条件的一个椭圆的方程.
【详解】由题意可知、、，
则，，
所以椭圆的方程可以为（只需满足即可）.
故答案为：（只需满足即可）.
5．(2023·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
答案：
分析：由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
6．（2023·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
答案：
分析：根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
7．(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
答案：
分析：设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
8．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
答案：.
分析：根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
三、解答题
9．(2023·全国·高三专题练习）求过点且与直线平行的直线方程．
答案：2x＋3y＋10＝0
分析：设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，
将A的坐标代入，解得c即可.
【详解】设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，
由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，
故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
10．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，求椭圆的标准方程；
答案：
分析：由离心率得的一个关系式，设，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得关于的另一等式，联立可求得得椭圆标准方程．
【详解】设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
11．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
答案：
分析：已知点的坐标代入得的一个关系式，设，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得的另一等式，联立可求得得椭圆标准方程．
【详解】解：因为椭圆经过点，
所以（1），
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，
所以 （2），由（1）（2）解得，
所以椭圆方程为：.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
答案：.
分析：中点弦问题利用点差法进行处理.
【详解】解：设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
13.（山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
答案：（1）；（2）．
分析：（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.
（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.
【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，
∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，
∴，解得，则抛物线方程是．
（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，
设，，联立直线与抛物线的方程得，
消去，并整理得，于是，，
∴，
又，因此，即，
∴，解得或．
当时，直线的方程是，不满足，舍去．
当时，直线的方程是，即，
∴直线的方程是．
14．（2023·河南·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.
答案：(1)；
(2).
分析：(1)根据抛物线的定义和标准方程即可求出p的值；
(2)设直线l为，和抛物线方程联立，结合韦达定理表示出，根据二次函数性质即可求出其最大值和此时l的方程．
（1）
抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）
抛物线的焦点坐标为.
设点，，
由题意知直线的斜率不等于0，且过点，所以设直线的方程为，
由得，
恒成立，
由韦达定理得，，
∴
所以当时，取得最大值为，
此时直线的方程为.
15．(2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
答案：．
分析：分直线AB的斜率不存在、存在两种情况讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB为，，，然后联立椭圆的方程消元，得到、，然后由可得，然后可得，即可得到答案.
【详解】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
16．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
答案：(1)；
(2).
分析：（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.
（1）
解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）
解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．
17．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
答案：（1）；（2）.
分析：（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
18．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
分析：（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.