高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题41条件概率【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题41条件概率【原卷版+解析】，共38页。

【热点聚焦】
（1）考查条件概率的计算；
（2）考查独立事件概率的计算；
（3）考查全概率公式及其应用；
（4）以选择题、填空题的形式，综合考查概率计算问题.
【重点知识回眸】
（一）条件概率
1．条件概率
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．【两点说明】
（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PAB,PA).
（二）事件的独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
2.事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
（3）如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PAPB,PA)＝P(B)．
3.牢记并理解事件中常见词语的含义
(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；
(2)A，B都发生的事件为AB；
(3)A，B都不发生的事件为eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B))；
(4)A，B恰有一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B；
(5)A，B至多一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B)).
（三）全概率公式
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai).
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)).
【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．
【典型考题解析】
热点一 条件概率
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
【典例2】(2023·湖南永州·一模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【总结提升】
1.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f (PAB,PA)，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f (nAB,nA).
2.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
热点二 全概率公式
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例5】(2023·安徽·芜湖一中模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件B相互独立
C．D．
【典例6】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
【总结提升】
1．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝叶斯公式的综合应用.
2．利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解．
3.贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq \f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
【提醒】
1.全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．
即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBiPA|Bi).
热点三 独立性与条件概率的关系
【典例7】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
【典例8】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【规律方法】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
4．求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率D．事件A、B同时发生的概率
2．(2023·全国·高三专题练习）2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲同学被选出，则乙同学也被选出的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））一个质地均匀的正八面体，八个面上分别标有数字.任意拋掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.已知事件“与地面接触的面上的数字不大于4”，“与地面接触的面上的数字为偶数”，“与地面接触的面上的数字为质数”，有以下说法：
①相互独立；
②相互独立；
③；
④.
其中正确说法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(2023·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·辽宁·高考真题（理））从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A．B．C．D．
7．(2023·湖南益阳·模拟预测）有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．(2023·山东济南·模拟预测）从装有个红球和个蓝球的袋中(，均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·福建省福州第一中学高三开学考试）甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．两两互斥
10．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）甲盒中有2个红球和4个白球，乙盒中有3个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出一球放入乙盒，记事件A=“甲盒中取出的是红球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取一个球，记M=“乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·江苏南通·高三开学考试）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A．B．一等奖与三等奖的作品数之比为
C．D．
三、填空题
13．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）已知，则___________.
14．(2023·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）盒子中有大小形状相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，先随机从盒子中取出两个小球，再从该盒中取出一个小球，则最后取出的小球为白球的概率是______．
15．(2023·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
16．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是______（填序号）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？
18．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲､乙两个配件厂家订购.已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲､乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件.
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂､乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.
20．(2023·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
21．(2023·浙江·高三开学考试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
22．（2023·全国·高三专题练习）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率
表示
P(A|B)
计算
公式
P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
疾病
人数
出现S症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500
专题41 条件概率
【热点聚焦】
（1）考查条件概率的计算；
（2）考查独立事件概率的计算；
（3）考查全概率公式及其应用；
（4）以选择题、填空题的形式，综合考查概率计算问题.
【重点知识回眸】
（一）条件概率
1．条件概率
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．【两点说明】
（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PAB,PA).
（二）事件的独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
2.事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
（3）如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PAPB,PA)＝P(B)．
3.牢记并理解事件中常见词语的含义
(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；
(2)A，B都发生的事件为AB；
(3)A，B都不发生的事件为eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B))；
(4)A，B恰有一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B；
(5)A，B至多一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B)).
（三）全概率公式
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai).
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)).
【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．
【典型考题解析】
热点一 条件概率
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
答案：A
【详解】记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
【典例2】(2023·湖南永州·一模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意，根据条件概率的公式，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.
【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为，
事件的情况数为，则事件发生的概率为，
事件与事件的交事件为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”
事件的情况数为，则事件发生的概率为，
即.
故选：C.
【典例3】(2023·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
答案：(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
分析：(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）
由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）
(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
【总结提升】
1.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f (PAB,PA)，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f (nAB,nA).
2.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
热点二 全概率公式
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
【典例5】(2023·安徽·芜湖一中模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件B相互独立
C．D．
答案：D
分析：A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得，所以A错误；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
【典例6】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
答案：推测病人患有疾病d1较为合理．
【解析】以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，
D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知
P(D1)＝eq \f(7 750,20 000)＝0.387 5，P(D2)＝eq \f(5 250,20 000)＝0.262 5，
P(D3)＝eq \f(7 000,20 000)＝0.35，P(A|D1)＝eq \f(7 500,7 750)≈0.967 7，
P(A|D2)＝eq \f(4 200,5 250)＝0.8，P(A|D3)＝eq \f(3 500,7 000)＝0.5.
从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝eq \f(PA|D1PD1,PA)＝eq \f(0.387 5×0.967 7,0.76)≈0.493 4，
P(D2|A)＝eq \f(PA|D2PD2,PA)＝eq \f(0.262 5×0.8,0.76)≈0.276 3，
P(D3|A)＝eq \f(PA|D3PD3,PA)＝eq \f(0.35×0.5,0.76)≈0.230 3，
从而推测病人患有疾病d1较为合理．
【总结提升】
1．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝叶斯公式的综合应用.
2．利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解．
3.贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq \f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
【提醒】
1.全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．
即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBiPA|Bi).
热点三 独立性与条件概率的关系
【典例7】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
答案：见解析
【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(A∩B)＝eq \f(1,6).
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
法二：由法一可知P(B|A)＝eq \f(1,3)，
又P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，
∴P(B|A)＝P(B)，
∴事件A与B相互独立．
【典例8】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
答案：
【解析】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60).
(2)他们都失败即事件eq \(\x\t(A))，eq \(\x\t(B))，eq \(\x\t(C))同时发生，
故P(eq \(\x\t(A))∩eq \(\x\t(B))∩eq \(\x\t(C)))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5).
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(eq \(\x\t(A))∩eq \(\x\t(B))∩eq \(\x\t(C)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，结合概率的公式求解即可；
（2）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，根据题意可得所有可能的情况为，再计算即可
（1）
设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，
所以，即，解得.
（2）
由已知得，
，
，
，
设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，
则，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.
【规律方法】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
4．求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率D．事件A、B同时发生的概率
答案：A
分析：理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.
【详解】由题意可知：
表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.
故选：A.
2．(2023·全国·高三专题练习）2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲同学被选出，则乙同学也被选出的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据条件概率公式和古典概型概率公式直接计算即可.
【详解】设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件，
则，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率．
故选：A．
3．(2023·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））一个质地均匀的正八面体，八个面上分别标有数字.任意拋掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.已知事件“与地面接触的面上的数字不大于4”，“与地面接触的面上的数字为偶数”，“与地面接触的面上的数字为质数”，有以下说法：
①相互独立；
②相互独立；
③；
④.
其中正确说法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：分别写出包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判断ABC选项，根据条件概率的公式可求解D.
【详解】由题意可得，,
即得，
，
所以,，故①③④正确，②错误.
故选：C
4．(2023·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用全概率公式可构造方程求得所求概率.
【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件，
则，，；
，
，
即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故选：B.
5．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：首先设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可.
【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故选：B．
6．(2023·辽宁·高考真题（理））从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A．B．C．D．
答案：B
分析：先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
7．(2023·湖南益阳·模拟预测）有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：C
分析：由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可.
【详解】因为，故①正确；
因为，故②正确；
因为，，所以，故③正确；
由上可得，又因为，故④错误．正确的有3个.
故选：C.
8．(2023·山东济南·模拟预测）从装有个红球和个蓝球的袋中(，均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：结合已知条件分别求出，，，可判断A和C是否错误；然后利用条件概率分别计算，，可判断B和D是否错误.
【详解】由题意可知，，，，
，
从而，故AC正确；
又因为，，
故，故B正确；
，
故，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·福建省福州第一中学高三开学考试）甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．两两互斥
答案：BD
分析：根据的意义可求其概率，从而可判断B的正误，根据全概率公式可计算，故可判断A的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断CD的正误.
【详解】，
又，故B正确.
故
，故A错误.
，故，
所以事件与事件不相互独立，
根据互斥事件的定义可得两两互斥，
故选：BD.
10．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）甲盒中有2个红球和4个白球，乙盒中有3个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出一球放入乙盒，记事件A=“甲盒中取出的是红球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取一个球，记M=“乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：先利用条件概率求出， ，即可判断选项C、D；再求出，即可判断A、B.
【详解】由题意分析可知：
，故C正确；
，故D错误；
所以.
故A正确，B错误.
故选：AC
11．（2023·全国·高三专题练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：由相互独立事件的乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B；
【详解】由题意，，，
,故A正确．
所以，，所以，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
12．(2023·江苏南通·高三开学考试）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A．B．一等奖与三等奖的作品数之比为
C．D．
答案：ABD
分析：依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可.
【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，
则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，
女生获一、二、三等奖的作品数为、、，
因为，所以，
所以，故A正确；
，故C错误；
一等奖与三等奖的作品数之比为，故B正确；
，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）已知，则___________.
答案：
分析：根据条件概率得到事件A与事件B相互独立，进而得到其对立事件也相互独立，从而利用对立事件概率公式求解.
【详解】因为，
所以事件A与事件B相互独立，
则事件与事件也相互独立，
则.
故答案为：.
14．(2023·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）盒子中有大小形状相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，先随机从盒子中取出两个小球，再从该盒中取出一个小球，则最后取出的小球为白球的概率是______．
答案：
分析：由全概率公式求解
【详解】记为先取出的两个小球都为白球，为先取出的两个小球为一白一黑，为先取出的两个小球都为黑球，为最后取出的小球为白球，
则
故答案为：
15．(2023·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
答案：
分析：由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
16．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是______（填序号）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
答案：②③
分析：根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以①错误，
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以②正确，
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以③正确，
对于④，由题意可知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以④错误，
故答案为：②③
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？
答案：
分析：设事件表示某种灯管使用了，事件表示某种灯管使用了，则，，利用条件概率的计算公式能求出使用了的灯管还能继续使用到的概率．
【详解】解：设A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，则，．而所求的概率为，由于，故．
故答案为：.
18．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲､乙两个配件厂家订购.已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲､乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件.
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂､乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率.
答案：(1)5万个，3万个
(2)0.028
分析：（1）根据题意结合加权平权平均数运算求解；（2）根据全概率公式运算求解．
（1）
设使用甲厂生产的配件M的比例为a，
则使用乙厂生产的配件M的比例为，
由已知可得，解得a=0.5.
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5=5万个；
从乙厂订购配件M的数量为=3万个.
（2）
由（1）知甲厂､乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得.
（1）
解：设“第一次取到正品” “第二次取到正品”，
所以，第一次取到正品的概率为；
（2）
解：，
所以，
故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为.
20．(2023·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
答案：(1)岁；
(2)；
(3)．
分析：（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
（1）
平均年龄
（岁）．
（2）
设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）
设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
21．(2023·浙江·高三开学考试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
答案：(1)（岁）
(2)
(3)
分析：（1）根据频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间的频率即可求解；
（3）利用条件概率的概率公式即可求解.
（1）
解：估计奶茶爱好者的平均年龄（岁）
（2）
解：由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）
解：设任选一名奶茶爱好者年龄位于区间,
设任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”
由条件概率公式可得：.
22．（2023·全国·高三专题练习）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
答案：(1)
(2)
分析：（1）设＝“被挑出的是第i箱”，＝“第i次取出的零件是一等品”，
由根据条件概率计算公式计算出，，再由可得答案；
（2）由（1）得，根据条件概率公式计算出，
，
代入可得答案．
（1）
设＝“被挑出的是第i箱”，
＝“第i次取出的零件是一等品”，
则，
因为，，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是．
（2）
由（1）得，
因为，
所以
，
所以．
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率
表示
P(A|B)
计算
公式
P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
疾病
人数
出现S症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500