高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题30空间向量方法……空间角【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题30空间向量方法……空间角【原卷版+解析】，共55页。

【热点聚焦】
1.利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．
2.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.
【重点知识回眸】
（一）利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq \(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量，与eq \(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
（二）利用空间向量证明垂直问题
1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2.共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
（三）异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.
（四）直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝eq \f(|e·n|,|e||n|).
（五）二面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
（六）点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up7(→))|＝eq \f (|\(AB,\s\up7(→))·n|,|n|).
【典型考题解析】
热点一 利用空间向量证明平行和垂直问题
【典例1】(2023·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点．证明：；
【典例2】(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【总结提升】
1.利用空间向量证明平行的方法
线线平行：证明两直线的方向向量共线
线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
热点二 异面直线所成的角
【典例3】(2023·浙江·高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
【典例4】(2023·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．
【总结提升】
1.向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1，v2；
(3)代入公式|cs〈v1，v2〉|＝eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．
2.两异面直线所成角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．
热点三 直线与平面所成角
【典例5】（2023·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【典例6】（2023·北京高考真题）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【规律方法】
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.
热点四 二面角
【典例7】（江苏·高考真题）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【方法总结】
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
热点五 利用向量求空间距离
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBC， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
(2)若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
【总结提升】
求空间距离常用的方法
(1)直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．
(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．
(3)向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解．
求点P到平面α的距离的步骤：
①在平面α内取一点A，确定向量eq \(PA,\s\up7(→))的坐标；
②确定平面α的法向量n；
③代入公式d＝eq \f (|\(PA,\s\up7(→))·n|,|n|)求解．
热点六 立体几何中的探索性问题
【典例10】（2023·北京·高考真题（理））如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【典例11】(2023·北京·高考真题（理））如图,在四棱锥中, 平面平面,.
（1）求证:平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.
【总结提升】
立体几何中的探索性问题
(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽·高三开学考试）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．(2023·广东·中山一中高三阶段练习）如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．异面.
三、填空题
3．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
4．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
四、解答题
5.（2023·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
6.(2023·全国·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
7．(2023·安徽蚌埠·一模）如图，在五面体中，平面平面，.
(1)求棱的长度；
(2)求与平面所成角的正弦值.
8.(2023·湖北·高三开学考试）如图1，四边形是梯形，是的中点，将沿折起至，如图2，点在线段上.
(1)若是的中点，求证：平面平面;
(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求.
9.(2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．
(1)证明：；
(2)当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．
10.（2023·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
11.(2023·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
专题30 空间向量方法……空间角
【热点聚焦】
1.利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．
2.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.
【重点知识回眸】
（一）利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq \(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量，与eq \(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
（二）利用空间向量证明垂直问题
1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2.共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
（三）异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.
（四）直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝eq \f(|e·n|,|e||n|).
（五）二面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
（六）点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up7(→))|＝eq \f (|\(AB,\s\up7(→))·n|,|n|).
【典型考题解析】
热点一 利用空间向量证明平行和垂直问题
【典例1】(2023·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点．证明：；
答案：证明见解析；
分析：建立空间直角坐标系，由空间向量求解
【详解】因为直三棱柱中，，，
所以两两垂直，
以B为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，故，
所以.
【典例2】(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）利用向量法去证明平面；
（2）利用向量法去证明平面平面．
（1）
在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2）
，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
【总结提升】
1.利用空间向量证明平行的方法
线线平行：证明两直线的方向向量共线
线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
热点二 异面直线所成的角
【典例3】(2023·浙江·高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
答案：
【解析】
分析：
试题分析：设直线与 所成角为 ．
设是 中点，由已知得 ，如图，以 为 轴， 为 轴，过 与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系，由 ， ， ，作 于 ，翻折过程中，始终与 垂直，，则 ， ，因此可设 ，则 ，与 平行的单位向量为 ，
所以＝，所以 时， 取最大值 ．
【典例4】(2023·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．
答案：(1)证明见解析
(2).
分析：（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出两条直线的方向向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.
（1）
连接交于点,连接,因为四棱锥为正四棱锥，
所以四边形为正方形，所以为的中点，因为为棱的中点，所以,因为平面，平面，
所以平面.
（2）
因为四棱锥为正四棱锥,所以为顶点在底面的射影，
所以平面，且,,
故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，则
,
因为上的点满足，所以,
设，则，所以
所以，
所以
设异面直线与所成角为，则
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【总结提升】
1.向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1，v2；
(3)代入公式|cs〈v1，v2〉|＝eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．
2.两异面直线所成角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．
热点三 直线与平面所成角
【典例5】（2023·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；
（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】
（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
【典例6】（2023·北京高考真题）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【规律方法】
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.
热点四 二面角
【典例7】（江苏·高考真题）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
答案：(1) (2)
【解析】
【详解】
试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．
（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为．
设平面的法向量为，则，
即，令，解得．
所以是平面的一个法向量，从而，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2） 因为，设，
又，则，
又，
从而，
设，
则，
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
【点睛】
解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：
一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；
二是利用空间几何体的侧面展开图；
三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
答案：（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析：
（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】
（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】
第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
【方法总结】
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
热点五 利用向量求空间距离
【典例9】(2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBC， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .
(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
(2)若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
答案：(1)存在，在平面内可以找到一点，使得直线CM平面PBE
(2)
分析：（1）先判断存在符合题意的点，再通过作辅助线找到该点，证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，通过已知的二面角度数，找到线段之间关系，从而确定相关点的坐标，然后利用向量的运算求得答案.
（1）
延长交直线于点，
点为的中点，，
，
，即，
四边形为平行四边形，即.
，
平面平面，
平面，
平面，
平面，
故在平面内可以找到一点，使得直线平面.
（2）
如图所示，，即，
且异面直线与所成的角为，即，
又平面平面.
平面，
又平面，
平面，
平面.
因此是二面角的平面角，大小为.
.
不妨设，则.
以A为坐标原点，平行于的直线为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
，
方向上的单位向量坐标为，
则在上的投影的绝对值为，
所以到直线的距离为.
【总结提升】
求空间距离常用的方法
(1)直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．
(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．
(3)向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解．
求点P到平面α的距离的步骤：
①在平面α内取一点A，确定向量eq \(PA,\s\up7(→))的坐标；
②确定平面α的法向量n；
③代入公式d＝eq \f (|\(PA,\s\up7(→))·n|,|n|)求解．
热点六 立体几何中的探索性问题
【典例10】（2023·北京·高考真题（理））如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
答案：(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
分析：
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
【典例11】(2023·北京·高考真题（理））如图,在四棱锥中, 平面平面,.
（1）求证:平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.
答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】
【详解】
分析：
试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.
试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，
所以平面.
所以.
又因为，
所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结.
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得，
.
设平面的法向量为，则
即
令，则.
所以.
又，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.
因此点.
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得.
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【总结提升】
立体几何中的探索性问题
(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽·高三开学考试）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：设正三棱柱的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则
∥，，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
所以，
设直线与所成角为，则
，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选：D
二、多选题
2．(2023·广东·中山一中高三阶段练习）如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．异面.
答案：ABC
分析：对于选项A，建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直，则其点乘积为零，可得答案；
对于选项B、C、D，根据中位线的性质，可得答案.
【详解】由点为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD和ADEF的边长为，如下图：
对于A选项，，，，，
则直线、的方向向量分别为，，
因为，所以，即，故A正确；
对于B选项，连接，如下图：
因为点分别为的中点，所以在中，，
因为平面，且平面，所以平面，
故B正确；
由选项B可知，故C正确；故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
3．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
答案：##0.5
分析：利用向量的数量积可求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则，且.
而，而，
故
，
故
故答案为：.
4．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
答案：##
分析：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
四、解答题
5.（2023·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）证明：
在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因为
所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为，则有，
设，则有，
因为QB=，所以有
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于
所以直线与平面所成角的正弦值为.
6.(2023·全国·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)在上存在点使得平面，且为的中点．
分析：（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得；
（2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论.
（1）因为，，，所以，如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，，，，，因为平面，所以存在实数、，使成立，则，解得，故在上存在点使平面，此时点为中点.
7．(2023·安徽蚌埠·一模）如图，在五面体中，平面平面，.
(1)求棱的长度；
(2)求与平面所成角的正弦值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，在直角三角形中计算得解.
（2）在平面内作交于，则，继而建立空间直角坐标系；根据空间直线与平面所成角的正弦值公式计算求解.
（1）
因为平面平面，
平面平面，
，所以平面.
又，可得平面，得，
在直角三角形中，，得.
（2）
在平面内作交于，则，
分别以为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；
因为.
可求各点坐标
，
设平面的法向量，
则，
令得，
，
设与平面所成角为，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值等于.
8.(2023·湖北·高三开学考试）如图1，四边形是梯形，是的中点，将沿折起至，如图2，点在线段上.
(1)若是的中点，求证：平面平面;
(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）由题意，取中点，得垂直，再根据线面垂直，可得线线垂直，根据面面垂直，可得答案.
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，根据向量夹角公式，求坐标，可得答案.
（1）
证明：取中点，连接，易证平面，所以.
又因为，所以，而，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）
解:易求得， 又，
所以， 可得，而.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设，则，得，
所以.
设平面的一个法向量为，
由
令，则;
易得平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，即，
解得，或（舍去）.
所以.
【点睛】
平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
9.(2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．
(1)证明：；
(2)当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．
答案：(1)证明见解析
(2)1
分析：(1)建立以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，只需证明即可证明；
(2)利用空间坐标系，求出P点坐标，即可得P点位置，作出平面与侧面的交线，再计算即可.
（1）
解：由题意两两垂直.
所以以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
则．
∵M是的中点，N是的中点，∴，
设，∴，则，
则，
所以．
（2）
解：设，则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成的锐二面角为时，
∴，即，
解得，此时，如图位置，
设为的中点，连接，交于点，由 且∥,
所以与全等，则为中点,
连接,由分别为中点，则∥,
又分别为中点，则∥，
所以∥,
所以点共面，
又,
所以共面，即面与面重合.
所以平面与侧面的交线为，
所以交线长度为.
10.（2023·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】
（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】
（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
11.(2023·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
(1)
取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)
因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
分析：（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可证明线面垂直；
（2）分别求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；
（3）首先利用向量共线，设点，利用线面角的向量公式，即可求得的值.
（1）
证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，
，，
由，取，得，
，
，
平面；
（2）
设平面的一个法向量，，，由，取，解得
设平面的一个法向量，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的大小为；
（3）
设存在点满足条件，
由，，
设，
整理得，
，
直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．