高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题26等差数列、等比数列基本问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题26等差数列、等比数列基本问题【原卷版+解析】，共43页。

【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．
【重点知识回眸】
（一）等差数列
1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示
2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：
（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数
3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.
比如，则不一定成立
② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系：
，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，递增；，递减.
5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可
（2）由通项公式可得：
作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.
（3）当时，
因为
而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
，即偶数项和与中间两项和的联系
6、由等差数列生成的新等差数列
（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列
例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距
（2）已知等差数列，
设，
，则相邻项和成等差数列
（3）已知为等差数列，则有：
① 为等差数列，其中为常数
② 为等差数列，其中为常数
③ 为等差数列
①②③可归纳为也为等差数列
7、等差数列的判定：设数列，其前项和为
（1）定义（递推公式）：
（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）
（3）前项和公式：
注：若，则从第二项开始呈现等差关系
（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项
（二）等比数列
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
① 数列（为常数）为等比数列
② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③ 数列为等比数列
④ 数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关：
设，则有：
特别的：若
，则成等比数列
7、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
注：若，则是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于，均有
8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系
，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有
（三）等差数列性质与等比数列性质：
（四）等差数列与等比数列的互化：
（1）若为等差数列，，则成等比数列
证明：设的公差为，则为一个常数
所以成等比数列
（2）若为正项等比数列，，则成等差数列
证明：设的公比为，则为常数
所以成等差数列
【典型考题解析】
热点一 等差数列基本量的运算
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【总结提升】
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
热点二 等差数列的判定与证明
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1)．
(1)判断是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列的通项公式．
【典例4】（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
热点三 等差数列性质的应用
【典例5】（2023·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【典例6】(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
【规律方法】
利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f (na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
热点四 等差数列的前n项和及其最值
【典例7】（2023·北京·高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
热点五 等比数列基本量的运算
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【典例10】(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
【总结提升】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
热点六 等比数列的判定与证明
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【典例12】(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
热点七 等比数列性质的应用
【典例13】（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【规律方法】
应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．
热点八 数列与数学文化
【典例15】（2023·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【典例16】(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
【规律方法】
1.以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．
2. 以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等．
【精选精练】
一.单选题
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
2．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
3．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
4．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
5．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
6．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二.多选题
7．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
8．（2023·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
三、填空题
9．(2023·吉林·梅河口市第五中学高三开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是__________.
10.（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
11.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
四、解答题
12.（2023·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
13.（2023·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
14．(2023·云南省玉溪第一中学高三开学考试）数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.
15．(2023·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
16．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
17．(2023·湖北武汉·高三开学考试）记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
18．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an＋1－an)＝bn＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，若________，记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n．
在①2S2=S3-2，②b2，2a3， b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
等差数列
等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
专题26 等差数列、等比数列基本问题
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．
【重点知识回眸】
（一）等差数列
1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示
2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：
（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数
3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.
比如，则不一定成立
② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系：
，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，递增；，递减.
5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可
（2）由通项公式可得：
作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.
（3）当时，
因为
而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
，即偶数项和与中间两项和的联系
6、由等差数列生成的新等差数列
（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列
例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距
（2）已知等差数列，
设，
，则相邻项和成等差数列
（3）已知为等差数列，则有：
① 为等差数列，其中为常数
② 为等差数列，其中为常数
③ 为等差数列
①②③可归纳为也为等差数列
7、等差数列的判定：设数列，其前项和为
（1）定义（递推公式）：
（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）
（3）前项和公式：
注：若，则从第二项开始呈现等差关系
（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项
（二）等比数列
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
① 数列（为常数）为等比数列
② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③ 数列为等比数列
④ 数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关：
设，则有：
特别的：若
，则成等比数列
7、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
注：若，则是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于，均有
8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系
，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有
（三）等差数列性质与等比数列性质：
（四）等差数列与等比数列的互化：
（1）若为等差数列，，则成等比数列
证明：设的公差为，则为一个常数
所以成等比数列
（2）若为正项等比数列，，则成等差数列
证明：设的公比为，则为常数
所以成等差数列
【典型考题解析】
热点一 等差数列基本量的运算
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
【典例2】(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
答案：2
【解析】
分析：
转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【总结提升】
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
热点二 等差数列的判定与证明
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1)．
(1)判断是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)是，证明见详解
(2)2n－1
分析：（1）利用递推公式推导出，从而证明出是等差数列；
（2）在第一问的基础上求出的通项公式，从而求出数列的通项公式.
（1）
{bn}是等差数列，理由如下：
b1＝lg2(a1＋1)＝lg22＝1，
当n≥2时，
，
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）
由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＋1＝＝2n，
∴an＝2n－1.
【典例4】（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：证明见解析.
【解析】
分析：
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
热点三 等差数列性质的应用
【典例5】（2023·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【典例6】(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
答案：B
分析：根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，
所以，所以，
故选：B．
【规律方法】
利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f (na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
热点四 等差数列的前n项和及其最值
【典例7】（2023·北京·高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
答案： 0. -10.
【解析】
分析：
首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】
等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
答案：
分析：由条件得到，再由求和公式得，从而得可求解.
【详解】由，，得，
解得：，
则．故．
由于，故当或4时，.
故答案为：
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
热点五 等比数列基本量的运算
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
答案：D
【解析】
分析：
设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
【典例10】(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
答案：-1
分析：先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案
【详解】因为是等比数列，设的公比为，
若时，
由可得，
整理得，因为，所以即，
解得(舍去)或，因为，所以，
若时，，，所以舍去，
综上所述，，
故答案为：-1
【总结提升】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
热点六 等比数列的判定与证明
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
答案：（1）见解析；（2），．
【解析】
分析：
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【典例12】(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）根据等比数列的定义分析即可.
（2）由（1）可得的通项公式，构造求.
（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
热点七 等比数列性质的应用
【典例13】（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．
答案： 2 8
分析：根据等差中项可求出；利用，，成等比数列，结合基本不等式可得最小值.
【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，
又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，
所以，，成等比数列，
所以，
所以，
当且仅当即时取“＝”．
故答案为：；.
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
分析：
（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
(1)
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
【规律方法】
应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．
热点八 数列与数学文化
【典例15】（2023·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
答案：C
【解析】
分析：
第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【典例16】(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
答案： ##
分析：第一空，观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，找到规律，写出通项公式，求得答案；
第二空，由挖去的白色三角形面积可得到图中剩下的黑色三角形面积组成了等比数列，确定首项和公比，即可求得答案.
【详解】观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，
设白色三角形个数为，黑色三角形个数为，
可以知道 ，，，，
故 ，则，
即操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为40；
由题意可知，设图中黑色三角形面积为 ，则，
每次挖去的白色三角形面积都是上一个图形中对应的黑色三角形面积的，
故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图中黑色部分面积的，
故图中黑色三角形面积构成首项为 ，公比为的等比数列，
故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为 ，
则挖去的面积为，
故答案为：40；
【规律方法】
1.以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．
2. 以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等．
【精选精练】
一.单选题
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
答案：C
【解析】
分析：
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
2．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
答案：D
【解析】
分析：
设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】
设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
3．（2023·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
答案：B
【解析】
分析：
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
4．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
答案：D
分析：设等比数列的公比为，由已知求出、，则转化为求指数的最值可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则由得
，解得，，
所以，
当且仅当或时的最大值为.
故选：D.
5．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
答案：D
分析：利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
6．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.
【详解】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
二.多选题
7．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
答案：BD
分析：根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
8．（2023·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
答案：AD
分析：由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，由此可求出首项，然后逐个分析判断
【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，
所以，解得，
所以，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，
故选：AD
三、填空题
9．(2023·吉林·梅河口市第五中学高三开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是__________.
答案：
分析：利用等差数列的求和公式与等差数列的性质可得，进而可求得的取值范围.
【详解】设等差数列的公差为，
由，可得 ，
，可得，
∴，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
10.（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案：
【解析】
分析：
首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】
因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
11.(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
答案：①③④
【解析】
分析：
推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
四、解答题
12.（2023·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
答案：(1)；(2)7.
【解析】
分析：
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
13.（2023·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
14．(2023·云南省玉溪第一中学高三开学考试）数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）将代入等式，即可化简出，即可得出结论；
（2）由（1）可求出，再由，即可求出数列的通项公式.
（1）
由，
得，
，且，
故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.
（2）
由（1）知数列的首项为，公差，则数列，
即，
则.
15．(2023·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
分析：（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
（1）
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
16．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
答案：(1);(2).
分析：(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；
(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
【详解】解：(1)当n＝1时，，
∵，∴．可得，当时，，，
两式相减，得，即，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；
(2)由(1)知，，
故．
17．(2023·湖北武汉·高三开学考试）记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再结合基本不等式求解即可.
（1）由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，∵，，成等比数列，∴即，解得∴∴当且仅当，即时，的最小值为
18．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an＋1－an)＝bn＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，若________，记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n．
在①2S2=S3-2，②b2，2a3， b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
答案：(1)an＝2n-1
(2)
分析：（1）由题意可求出数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，再求出等差数列的通项公式即可得出答案.
（2）由（1）知数列{bn}为公比为2的等比数列，选①②③，代入可求出b1＝2，即可求出{bn}，再由分组求和可求出数列{cn}的前2n项和T2n．
（1）
因为bn(an＋1－an)＝bn＋1，a1＝1，a2＝3，
令n=1得2b1＝b2，
又数列{bn}为等比数列，所以公比为2，即bn＋1=2bn，
则an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，
所以an＝2n-1
（2）
由（1）知数列{bn}为公比为2的等比数列
若选①，由2S2=S3-2得2（b1+2b1）＝b1+2b1+4b1-2，所以b1＝2，则bn =
若选②，由b2，2a3， b4成等差数列得4a3= b2+ b4，即2b1+8b1＝20，
所以b1＝2，则bn =
若选③，由S6＝126得，所以b1＝2，则bn =
所以cn＝
数列{cn}的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以T2n＝
等差数列
等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列