高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题22平面向量的线性运算【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题22平面向量的线性运算【原卷版+解析】，共32页。

【热点聚焦】
近几年高考对平面向量的考查，主要集中在以下几个方面：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；
（2）考查平面向量数量积及其应用，求夹角、模长或相关最值问题；
（3）常常以平面图形为载体，考查平面向量的运算，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键.
【重点知识回眸】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）平面向量基本定理
1.如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
（2）唯一性：若且，则
2.“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得.则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3.中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
（五）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
【典型考题解析】
热点一 平面向量的有关概念
【典例1】（宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
【典例2】【多选题】(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
热点二 平面向量的线性运算
【典例3】(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例5】(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
热点三 共线向量定理及其应用
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－B．C．－6D．6
【典例7】（2023·浙江·杭州四中高三开学考试）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）在△中，点D满足=，直线与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔ (O为平面内任一点，t∈R)．
热点四 平面向量基本定理及其应用
【典例9】（2023·广东肇庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例10】(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.
【规律方法】
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
热点五 平面向量的坐标运算
【典例12】（陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（ ）
A.B.C.或D.0
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，，，三点共线且向量与向量共线，若，则等于（ ）
A．B．3
C．1D．
【典例15】（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________
【典例16】（2023·全国·高三专题练习（文））根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．
【总结提升】
1.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A．1B．2C．4D．－1
3．(2023·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）设D为三角形ABC所在平面内一点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
7．(2023·湖北·高三开学考试）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
10．(2023·全国·高三专题练习）已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题
11．(2023·全国·高一专题练习）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.
14．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知平面向量，，若，则________．
15．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知向量，，且，则m＝______．
16．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知向量.若，则___________.
17．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为__．
18．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
专题22 平面向量的线性运算
【热点聚焦】
近几年高考对平面向量的考查，主要集中在以下几个方面：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；
（2）考查平面向量数量积及其应用，求夹角、模长或相关最值问题；
（3）常常以平面图形为载体，考查平面向量的运算，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键.
【重点知识回眸】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）平面向量基本定理
1.如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
（2）唯一性：若且，则
2.“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得.则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3.中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
（五）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
【典型考题解析】
热点一 平面向量的有关概念
【典例1】（宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
答案：D
【解析】
【详解】
若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.
【典例2】【多选题】(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
对移项后平方可得出：，，，对于A，，代入即可判断A；由可判断B；由，可判断C；由代入即可判断D.
【详解】
因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；
对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，所以D错误；
故选：AC.
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
热点二 平面向量的线性运算
【典例3】(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
【典例4】（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
【典例5】(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】
分析：
根据，，得到，再根据求解.
【详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
所以，
得．
故选：A
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
热点三 共线向量定理及其应用
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－B．C．－6D．6
答案：C
分析：根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】因为A，B，C三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
【典例7】（2023·浙江·杭州四中高三开学考试）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）在△中，点D满足=，直线与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出即可求解.
【详解】设,
则,
，且，共线，则，
所以
所以，解得，
此时，所以，故.
故选：C
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔ (O为平面内任一点，t∈R)．
热点四 平面向量基本定理及其应用
【典例9】（2023·广东肇庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【详解】
连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
【典例10】(2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．2
答案：A
分析：根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解．
【详解】解：在中，，
则
∴，又，
，，
，
故选：A．
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.
答案：##
分析：利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为，分别为线段，的中点，
所以,
,
,
所以
,
所以，解得，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
【规律方法】
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
热点五 平面向量的坐标运算
【典例12】（陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（ ）
A.B.C.或D.0
答案：C
【解析】
.
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：以向量 和的交点为原点建立平面直角坐标系，根据（，），利用向量相等求解.
【详解】解：以向量 和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴，
因为（，），
所以，
则，解得，
∴.
故选：D
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，，，三点共线且向量与向量共线，若，则等于（ ）
A．B．3
C．1D．
答案：D
分析：利用方程的方法以及平面向量共线、线性运算的坐标表示进行求解.
【详解】设，向量与向量共线，
所以x＋y＝0，所以，
若，
则，
即，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
故A，B，C错误.
故选：D.
【典例15】（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________
答案：
分析：
利用向量模的坐标表示，即可求解.
【详解】
，所以.
故答案为：
【典例16】（2023·全国·高三专题练习（文））根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．
答案：##-0.5
分析：建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：
【总结提升】
1.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
答案：A
分析：根据平面向量的共线定理判断即可
【详解】由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（ ）
A．1B．2C．4D．－1
答案：A
分析：根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.
【详解】解：∵M、P、Q三点共线，则与共线，
∴，即，得，解得.
故选：A.
3．(2023·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.
【详解】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，，
所以，，
所以．
故选：A
4．(2023·全国·高三专题练习）设D为三角形ABC所在平面内一点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：由平面向量的基本定理可得答案.
【详解】由题知.
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：在中，为的中点，所以，
又，所以，
所以；
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
答案：C
分析：根据，利用共线向量定理求解.
【详解】解：因为，，
所以，
又因为，且，
所以，即，
所以，
故选：C
7．(2023·湖北·高三开学考试）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：因为，分别用表示出，代入即可得出答案.
【详解】因为是的中点，是的中点，
所以，而，，
所以.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
答案：B
分析：设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数
【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
答案：D
分析：利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．
【详解】解：，
，
三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值是12.
故选：D．
10．(2023·全国·高三专题练习）已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：C
分析：根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到的中点的距离最值问题即可得解.
【详解】设M是AB的中点，因为，所以，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以．
又，所以，
所以．
故选：C.
二、多选题
11．(2023·全国·高一专题练习）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：利用向量的线性运算证明选项AC正确，，故选项B错误；，故选项D错误．
【详解】解：因为，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B错误；
由于B，E，F三点共线，所以．
又，从而解得故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：AC
三、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.
答案：3
分析：先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得.
【详解】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.
答案：
分析：根据平面向量共线定理可设，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为与共线，可设，
即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：
14．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知平面向量，，若，则________．
答案：
分析：根据求出的值，再根据模长的坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以.
所以，所以.
故答案为：
15．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知向量，，且，则m＝______．
答案：
分析：利用向量平行的坐标表示即得.
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：.
16．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知向量.若，则___________.
答案：
分析：由向量平行的坐标表示求出参数，然后由模的坐标表示计算．
【详解】因为，所以，解得.所以.
所以.
故答案为：．
17．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为__．
答案：5
分析：由题意确定在以为直径的圆上，采用三角代换，设，进而表示出向量，，结合向量的坐标运算以及模的计算，可得的表达式，结合三角恒等变换以及二次函数的性质求得答案.
【详解】设点，由得： ，
即，即，
在以为直径的圆上，不妨设，，
则，，
，
，其中为辅助角，
令，，则，．
，
令，，，
在，上单调递增，
故当时，取得最小值，
再令，，
显然在，上单调递增，
故时，取得最小值，
综上，当，时，取得最小值25．
故的最小值为5,
故答案为：5．
18．(2023·湖北·黄冈中学模拟预测）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
答案：
分析：不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，
表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.
【详解】不妨设 ， ，则由题知

又 ，所以
整理得① ，所以
又 ，
所以
而

将①代入整理得：

令 ，
，有最小值，


又 ，当且仅当时等号成立
所以 ，当时有最大值 .
故答案为： .