高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题07函数奇偶性、周期性、对称性及其应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题07函数奇偶性、周期性、对称性及其应用【原卷版+解析】，共39页。

【热点聚焦】
高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.
【重点知识回眸】
函数的奇偶性
1.定义
2.提醒：
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1.
②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1.
3．函数奇偶性的几个重要结论
（1）如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
（4）若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
（5）奇函数的最值性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0.特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则，且若0∈D，则f (0)＝0.
二．函数的周期性
1.周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．
3.周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图象关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图象关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图象关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
4.函数周期性的作用：
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图象：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图象可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
三．函数的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2.轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
3.中心对称的等价描述：
（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于中心对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
4.对称性的作用：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图象，再利用对称性得到另一半图象
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
5.函数图象的对称性相关结论
(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
【典型考题解析】
热点一 函数的奇偶性及其应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ）
A．B．
C．D．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【总结提升】
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.函数奇偶性的应用有四类：
（1）求函数值
（2）求解析式：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．
（3）已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．
（4）判断函数图象
热点二 函数的奇偶性与周期性
【典例7】(2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【典例8】（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
利用函数的奇偶性和周期性求解策略：
已知是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
热点三 函数的奇偶性与单调性
【典例10】（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例12】(2023·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
热点四 函数的周期性、图象的对称性及应用
【典例13】（2023·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例15】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
【总结提升】
函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法
(1)函数的奇偶性、周期性、对称性，一般是知二得一，特别是已知奇偶性和对称性，一般要先确定周期性．
(2)奇函数在x＝0处有意义，则一定有f (0)＝0，偶函数一定有f (|x|)＝f (x)，要注意这两个结论在解题中的应用．
(3)如果f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(4)如果f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(5)若函数f (x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.(类比y＝sin x的图象)
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是增函数
C．是周期函数D．的值域为
2．（2023·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
4．(2023·河南安阳·模拟预测（文））设函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（重庆·高考真题（理））若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数
6．(2023·全国·高考真题（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞b＞a
8．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题
9．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的取值范围为
C．为奇函数D．方程仅有5个不同实数解
三、双空题
13．(2023·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
四、填空题
14．（2023·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
15．（2023·全国·高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，，若当时，，则______．
17．（安徽·高考真题（文））若函数 是周期为4的奇函数，且在上的解析式为 ，则 ___________
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
专题07 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用
【热点聚焦】
高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.
【重点知识回眸】
函数的奇偶性
1.定义
2.提醒：
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1.
②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1.
3．函数奇偶性的几个重要结论
（1）如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
（4）若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
（5）奇函数的最值性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0.特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则，且若0∈D，则f (0)＝0.
二．函数的周期性
1.周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．
3.周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图象关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图象关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图象关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
4.函数周期性的作用：
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图象：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图象可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
三．函数的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2.轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
3.中心对称的等价描述：
（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于中心对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
4.对称性的作用：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图象，再利用对称性得到另一半图象
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
5.函数图象的对称性相关结论
(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
【典型考题解析】
热点一 函数的奇偶性及其应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
答案：B
【解析】
分析：
由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】
解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】
是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
答案：A
【解析】
分析：
设，，证明函数为奇函数，则有，从而可得出答案.
【详解】
解：设，，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
【总结提升】
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.函数奇偶性的应用有四类：
（1）求函数值
（2）求解析式：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．
（3）已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．
（4）判断函数图象
热点二 函数的奇偶性与周期性
【典例7】(2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
答案：A
【解析】
分析：
根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
【典例8】（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
【详解】
解：，
，
函数是周期为的周期函数，
又当时，，
所以，，，
，
故选：B．
【总结提升】
利用函数的奇偶性和周期性求解策略：
已知是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
热点三 函数的奇偶性与单调性
【典例10】（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】
由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【典例12】(2023·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.
【详解】
由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
故选：B.
【总结提升】
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
热点四 函数的周期性、图象的对称性及应用
【典例13】（2023·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】
因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【典例15】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【典例16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
答案：4
【解析】
分析：
先由对称性和奇偶性求得函数的周期，再利用函数的周期结合函数在上的解析式求值即可.
【详解】
∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，
则，∴函数的周期，又∵，∴.
故答案为：4.
【总结提升】
函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法
(1)函数的奇偶性、周期性、对称性，一般是知二得一，特别是已知奇偶性和对称性，一般要先确定周期性．
(2)奇函数在x＝0处有意义，则一定有f (0)＝0，偶函数一定有f (|x|)＝f (x)，要注意这两个结论在解题中的应用．
(3)如果f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(4)如果f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(5)若函数f (x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.(类比y＝sin x的图象)
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是增函数
C．是周期函数D．的值域为
答案：D
【解析】
分析：
根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可.
【详解】
分段函数的左右两边的函数图像不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故选:D.
2．（2023·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
3．（2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
答案：D
【解析】
分析：
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
4．(2023·河南安阳·模拟预测（文））设函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
答案：B
【解析】
分析：
根据的图象关于点对称可得为奇函数，进而求得即可
【详解】
因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，
即为奇函数，故，
所以.
故选：B.
5．（重庆·高考真题（理））若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数
答案：C
【解析】
【详解】
x1=x2=0，则，，
令x1=x，x2=-x，
则，
所以，
即，为奇函数，故选C.
6．(2023·全国·高考真题（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞b＞a
答案：B
【解析】
分析：
由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案
【详解】
解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减，
因为函数图象关于x＝1对称，
所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，
因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，
所以f(3)＜f(e)＜f(2)，
所以a＜c＜b．
故选：B．
8．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．C．2D．3
答案：B
【解析】
分析：
根据题意得到函数的周期为3，且，转化为，结合因为，即可求解.
【详解】
因为函数是奇函数且满足，可得，
则，即，所以为周期为3的函数，
又因为数列是等差数列，且，，
可得，解得，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
答案：BCD
【解析】
分析：
若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项
【详解】
函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
答案：ABC
【解析】
分析：
根据题意求得函数的周期为，结合函数的周期性和，逐项判定，即可求解.
【详解】
由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上有5个零点，所以D错误.
故选：ABC.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
答案：BD
【解析】
分析：
求出函数定义域为，A选项错误；利用定义证明函数是偶函数，B选项正确；函数在区间上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
【详解】
解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的取值范围为
C．为奇函数D．方程仅有5个不同实数解
答案：BCD
【解析】
分析：
根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.
【详解】
依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，
又，即，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
对于A，，A不正确；
对于B，当时，，有，则，
当时，，，有，
，当时，的取值范围为，B正确；
对于C，，函数为奇函数，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：
方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三、双空题
13．(2023·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
答案： ； ．
【解析】
分析：
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
四、填空题
14．（2023·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
答案：1
【解析】
分析：
利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
15．（2023·全国·高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
答案：-3
【解析】
分析：
当时，代入条件即可得解.
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，，若当时，，则______．
答案：
【解析】
分析：
得到是以周期为的周期函数，再根据为奇函数且时，求解.
【详解】
解：因为，
即是以周期为的周期函数．
为奇函数且当时，，
，
当时，，
所以，
故答案为：
17．（安徽·高考真题（文））若函数 是周期为4的奇函数，且在上的解析式为 ，则 ___________
答案：
【解析】
分析：
通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得，，由函数的解析式可得与的值，将其相加即可得答案．
【详解】
根据题意，函数是周期为4的奇函数，
则，，
又由函数在，上的解析式为
则，，
则，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
答案：①③④
【解析】
分析：
由可得的图像关于直线对称，然后结合为偶函数可判断出答案.
【详解】
因为，所以的图像关于直线对称，故①正确，②错误；
因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，
又，所以，
所以，故③正确；
因为且为偶函数，所以为偶函数，故④正确．
故答案为：①③④
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称