专题05 函数对称性、周期性的应用（原卷版）

专题05  函数对称性、周期性的应用

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高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）

（2）关于轴对称

   在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便

（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：

若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有

② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.

2、中心对称的等价描述：

（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）

（2）关于中心对称

   在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便

（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：

若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有

② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

（二）函数的周期性

1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期

2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等

3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期

4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数

5、函数周期性的判定：

（1）：可得为周期函数，其周期

（2）的周期

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：

所以有：，即周期

注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期

（3）的周期

分析：

（4）（为常数）的周期

分析：，两式相减可得：

（5）（为常数）的周期

（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）

① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期

分析：关于轴对称

      关于轴对称

的周期为

② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期

③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期

7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”

（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）

（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为

证明：关于轴对称  

函数的周期为   

   关于轴对称

注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则 （   ）

A．的最小值为                     B．的图像关于轴对称

C．的图像关于直线对称          D．的图像关于直线对称

 例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． 

C． D．

例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.则方程根的个数为（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

例5．（2020·启航中学三模）已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）

A． B．

C． D．

例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则( )

A．0 B．6 C．12 D．18

例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集上的函数满足，且当时，是增函数，则，，的大小关系正确的是（    ）.

A． B． C． D．

例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，，现有下列结论，其中正确的是：（    ）

①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在区间上是减函数；④在区间内有8个零点.

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④

例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设为上的奇函数，满足，且当时，，则(    )

A． B．

C． D．

例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，.则（    ）

A．0 B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）

A． B． C．3 D．

2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在上的函数满足，，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数满足和，且在时，，则关于的方程在上解的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在上的函数满足时，，则（    ）

A．6 B．4

C．2 D．0

5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ）

A． B．

C． D．

7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是

A． B．

C． D．

8．（2020·全国高三三模）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程的曲线有下列说法：

①该曲线关于对称；

②该曲线关于点对称；

③该曲线不经过第三象限；

④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.

其中正确的是（    ）

A．②③ B．①④ C．②④ D．①③

11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ）

A．3 B．4

C．5 D．6

12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

13．（2020·福建高三三模）已知定义在上的函数的对称中心为，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（    ）

A．0 B． C． D．