专题01 集合的运算--《最新高考数学命题热点聚焦与扩展》

专题01  集合的运算

【热点聚焦】

从考查内容看，集合主要考查三个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算；三是集合关系或集合运算下的求参数（范围）问题．由于集合中元素具有广泛性，因此，其最易与简单不等式的解法（数轴）、函数、方程、简单曲线（点集）等相结合.

【重点知识回眸】

一、集合的表示法

①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

②描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

③区间法：

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

二、集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

三、集合间的基本关系

1.子集、真子集、集合相等

2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

四、集合的基本运算

1.交集、并集、补集

2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．

五、常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集，C表示复数集.

【典型考题解析】

热点一 基本运算问题

【典例1】（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，，所以．

故选：A.

【典例2】（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】

由题意，，所以,

所以.

故选：D.

【典例3】（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先写出集合,然后逐项验证即可

【详解】

由题知,对比选项知，正确,错误

故选:

【典例4】（2020·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】

由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【规律方法】

（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴（区间）表示，此时要注意端点是实心还是空心．

热点二 集合中的含参数问题

【典例5】（2020·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（       ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】

求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【典例6】（2017·全国·高考真题（理））设集合，．若，则            (　   　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵ 集合，，

∴是方程的解，即

 ∴

 ∴，故选C

【典例7】已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．

【答案】(－∞，2]

【解析】

A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，

此时2－a≥1＋a，即a≤.

②若B≠∅，由B⊆A得，解得＜a≤2.

由①②知a的取值范围为(－∞，2]．

【总结提升】

（1）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．

（3）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．

热点三  集合中的“新定义”问题

【典例8】（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT

②对于任意x，yT，若x<y，则S；

下列命题正确的是（       ）

A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素

D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

【答案】A

【解析】

【分析】

分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.

【详解】

首先利用排除法：

若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；

若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；

若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；

下面来说明选项A的正确性：

设集合，且，，

则，且，则，

同理，，，，，

若，则，则，故即，

又，故，所以，

故，此时，故，矛盾，舍.

若，则，故即，

又，故，所以，

故，此时.

若， 则，故，故，

即，故，

此时即中有7个元素.

故A正确.

故选：A.

【典例9】（山东·高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．

【答案】或

【解析】

【分析】

由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.

【详解】

，得；，得；

∴，；同理，

∴．由(1)(3)可得．

∴，，．

或．

故答案为：或

【总结提升】

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

【精选精练】

一、单选题

1．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，再根据交集的定义可求.

【详解】

，故，

故选：D.

2．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合后可求.

【详解】

，故，

故选：B.

3．（2022·全国·高考真题）若集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合后可求.

【详解】

，故，

故选：D

4．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，

且，故.

因为，故，

故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为，半径为，

故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为

故选：B

5．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】

由题意可得：.

故选：B.

6．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分析可得，由此可得出结论.

【详解】

任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

10．（2020·全国·高考真题（文））已知集合，，则A∩B中元素的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】

由题意，，故中元素的个数为3.

故选：B

11．（2018·全国·高考真题（理））已知集合，则中元素的个数为（       ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，；

所以共有9个，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

12．（2017·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

13．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知集合，集合（为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合由交集的运算可得答案.

【详解】

集合，

，

.

故选：C．

14．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（       ）

A． B． C．A D．B

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，判断集合A，B的关系，再利用并集的定义计算作答.

【详解】

全集U，集合A，B为其子集，因，则有，

所以.

故选：C.

二、双空题

15．（天津·高考真题（理））已知集合，集合且则m =__________，n = __________.

【答案】-1,1

【解析】

【详解】

且

是方程的根，故

【考点定位】本题考查绝对值不等式、二次不等式的解法，考查学生利用转化思想的解题能力

三、填空题

16．（2017·江苏·高考真题）已知集合，，若则实数的值为________

【答案】1

【解析】

【详解】

由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．

17．（2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.

【答案】13

【解析】

【分析】

根据定义可求M，从而可求其含有的元素的个数.

【详解】

∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；

当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，

∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}

＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），

（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，

共13个元素，

故答案为：13

四、解答题

18．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求出集合，再根据并集的定义即可求出.

（2）由题可得，讨论和两种情况可求出.

（1）由，解得，所以，当时，，所以；

（2）由，得，当时，，解得．当时，，解得．综上实数的取值范围为．