2024河南中考数学复习 轴对称与折叠 强化精练 (含答案)

这是一份2024河南中考数学复习 轴对称与折叠 强化精练 (含答案)，共6页。

第1题图
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B(4，0)，点D，E分别是边OB，OA上的点．将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF，则点F的坐标为( )
第2题图
A. (2eq \r(3)，2eq \r(3)) B. (2eq \r(3)，4)
C. (3，4) D. (2eq \r(3)，3)
3. (2023绍兴)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°.动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
第3题图
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
4. (2023宜昌)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为________．
第4题图
5. 如图，正方形ABCD的边长为4，点F为CD边的中点，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP.将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，则线段EF长的最小值为________．
第5题图
拔高题
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，作点B关于直线EF对称的点P，连接BP，EP，FP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为________．
第6题图
7. (2023齐齐哈尔)矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为________.
参考答案与解析
1. B 【解析】∵由折叠的性质可得，四边形EFGH是菱形，∴FH＝AB＝2，EG＝BC＝4，∴S菱形EFGH＝ eq \f(1,2) FH·EG＝ eq \f(1,2) ×2×4＝4.
2. A 【解析】如解图，过A作AH⊥OB于点H，过A作AG⊥EF于点G，∵四边形AOBC是菱形，B(4，0)，∴OA＝OB＝4，∵∠AOB＝60°，∴∠OAH＝30°，∠OAC＝120°，∴OH＝ eq \f(1,2) OA＝2，AH＝ eq \r(3) OH＝2 eq \r(3) ，∴A(2，2 eq \r(3) )，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EG＝ eq \f(1,2) EF，∴cs 30°＝ eq \f(EG,AE) ，即 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(EG,AE) ，∴EG＝ eq \f(\r(3),2) AE，∴ eq \f(1,2) EF＝ eq \f(\r(3),2) AE，∴EF＝ eq \r(3) AE，由折叠的性质得OE＝EF＝ eq \r(3) AE，∵OE＋AE＝OA＝4，∴ eq \r(3) AE＋AE＝4，解得AE＝2 eq \r(3) －2，∴AF＝2 eq \r(3) －2，∵A(2，2 eq \r(3) )，AF∥x轴，∴F(2 eq \r(3) ，2 eq \r(3) ).
第2题解图
3. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠ABD＝60°，∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°，∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB，由对称的性质得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴E1F2＝E2F1.由对称的性质得∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E1DB＝60°，同理∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1，∵E1F2＝E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如解图①所示，当E，F，O三点重合时，DO＝OB，∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形；如解图②所示，当E，F分别为OB，OD的中点时，在Rt△ABD中，设AB＝2，则AD＝2 eq \r(3) ，BD＝4，连接AE，AO，∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE＝1，∴AE＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) .根据对称性可得AE1＝AE＝ eq \r(3) ，∴AD2＝12，DE eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝9，AE eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝3，∴AD2＝AE eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋DE eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，四边形E1E2F1F2是矩形；如解图③所示，当F，E分别与D，B重合时，易得△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形．
图①

图②
图③
第3题解图
4. 16 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE，由折叠得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，AE＝A′E，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′D＝A′E，∴AB－AE＝CD－A′D，∴A′C＝BE，∴四边形A′EBC是平行四边形，∴四边形A′EBC的周长＝2(A′C＋A′E)＝2(A′C＋A′D)＝2CD＝16.
5. 2 eq \r(5) －4 【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝4，∵点F为CD边的中点，∴CF＝DF＝ eq \f(1,2) CD＝ eq \f(1,2) ×4＝2，∴在Rt△BCF中，BF＝ eq \r(BC2＋CF2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∵将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，∴EB＝AB＝4，∵EF＋EB≥BF，∴EF＋4≥2 eq \r(5) ，∴EF≥2 eq \r(5) －4，∴EF的最小值为2 eq \r(5) －4.
第5题解图
6. 2 eq \r(15) 或2 eq \r(5) 【解析】由题意得，△FPE与△FBE关于直线EF对称，∴PE＝BE＝5，如解图①，当点P在BC的垂直平分线上时，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝ eq \f(1,2) BC＝6，EQ＝BQ－BE＝1，∠PQB＝90°，∴PQ＝ eq \r(PE2－EQ2) ＝ eq \r(52－12) ＝2 eq \r(6) ，在Rt△BPQ中，BP＝ eq \r(BQ2＋PQ2) ＝ eq \r(62＋（2\r(6)）2) ＝2 eq \r(15) ；如解图②，当点P落在边AB的垂直平分线上时，且点F在线段AB上时，过点P作PN⊥BC于点N，则PN＝ eq \f(1,2) AB＝4，∠PNB＝∠PNE＝90°，在Rt△PEN中，EN＝ eq \r(PE2－PN2) ＝ eq \r(52－42) ＝3，∴BN＝BE－EN＝2，BP＝ eq \r(PN2＋BN2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，当点P′落在边AB的垂直平分线上时，同理可得BN′＝5＋3＝8，∴BP′＝ eq \r(（P′N′）2＋BN′2) ＝ eq \r(82＋42) ＝4 eq \r(5) ，此时点F′在BA的延长线上，故舍去．综上所述，BP的长为2 eq \r(15) 或2 eq \r(5) .
第6题解图
7. eq \f(15,4) 或 eq \f(3\r(5),2) 【解析】由折叠的性质可知，BE＝EM，BF＝FM，EF⊥BM，∴∠EMB＝∠EBM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EMB＝∠CBM，∴∠EBM＝∠CBM，∴BE＝BF，∴四边形EBFM是菱形，设AE＝a，已知DM＝1，AB＝3，BC＝5，①如解图①，当点M在线段AD上时，则EM＝BE＝4－a，BM＝ eq \r(AB2＋AM2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋a2＝(4－a)2，解得a＝ eq \f(7,8) ，∴BE＝EM＝BF＝ eq \f(25,8) ，∴ eq \f(1,2) ·BM·EF＝AB·BF，即 eq \f(1,2) ×5EF＝3× eq \f(25,8) ，解得EF＝ eq \f(15,4) ；②如解图②，当点M在AD的延长线上时，EM＝BE＝6－a，AM＝6，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋a2＝(6－a)2，解得a＝ eq \f(9,4) ，∴BF＝BE＝EM＝6－a＝ eq \f(15,4) ，BM＝ eq \r(AB2＋AM2) ＝ eq \r(32＋62) ＝3 eq \r(5) ，∴ eq \f(1,2) ·BM·EF＝AB·BF，即 eq \f(1,2) ×3 eq \r(5) EF＝3× eq \f(15,4) ，解得EF＝ eq \f(3\r(5),2) .综上所述，EF的长度为 eq \f(15,4) 或 eq \f(3\r(5),2) .
第7题解图