2024河南中考数学复习 点、直线与圆的位置关系 强化精练 (含答案)

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1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是( )
第1题图
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 平行
2. (2023重庆A卷)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝3，则OC的长度是( )
第2题图
A. 3 B. 2eq \r(3) C. eq \r(13) D. 6
3. (2023武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若eq \f(AB,CD)＝eq \f(1,3)，则sin C的值是( )
第3题图
A. eq \f(2,3) B. eq \f(\r(5),3) C. eq \f(3,4) D. eq \f(\r(7),4)
4. (2023滨州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．
第4题图
5. (2023徐州)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，eq \(AC,\s\up8(︵))＝2eq \(BD,\s\up8(︵)).连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB＝68°，则∠DEB＝________°.
第5题图
6. (2023福建)如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC.
(1)求证：AO∥BE；
(2)求证：AO平分∠BAC.
第6题图
7. (2023新乡一模)如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．
第7题图
拔高题
8. (2021包头)如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为________．
第8题图
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E，连接OE.
第9题图
(1)求证：DE＝AE；
(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．
10. (2023无锡)如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，过点D的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD.
(1)求∠F的度数；
(2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径．
第10题图
参考答案与解析
1. B
2. C 【解析】如解图，连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2 eq \r(3) ，∴OB＝ eq \f(\r(3),3) AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝ eq \r(BC2＋OB2) ＝ eq \r(32＋22) ＝ eq \r(13) .
第2题解图
3. B 【解析】如解图，连接DB，DE，设AB＝m，∵ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(1,3) ，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB－EB＝3m－m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE＝ eq \r(CD2－CE2) ＝ eq \r(（3m）2－（2m）2) ＝ eq \r(5) m，∴sin C＝ eq \f(DE,CD) ＝ eq \f(\r(5)m,3m) ＝ eq \f(\r(5),3) .
第3题解图
4. 62°或118° 【解析】如解图，连接CA，BC，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB＋∠PAO＋∠PBO＋∠APB＝360°，∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°，当点C在优弧AB上时，由圆周角定理知，∠ACB＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝62°；当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，综上所述∠ACB的大小为62°或118°.
第4题解图
5. 66 【解析】如解图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵＝2，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝ eq \f(1,2) ∠COA＝44°，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF＋∠CDA＝66°.
第5题解图
6. 证明：(1)∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，
由(1)知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC.
7. (1)证明：如解图①，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠BDO，
∴∠BDO＝∠CBD，
∴BC∥OD，
∵BC⊥AD，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
第7题解图①
(2)解：如解图②，连接EF，OD，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，∴sin ∠CAB＝ eq \f(2,6) ＝ eq \f(1,3) ，
设OB＝OD＝r，则OA＝6－r，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴sin ∠CAB＝sin ∠DAO＝ eq \f(OD,OA) ＝ eq \f(1,3) ，
∴ eq \f(r,6－r) ＝ eq \f(1,3) ，
解得r＝ eq \f(3,2) ，
∴OB＝OD＝ eq \f(3,2) ，BE＝3，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BFE＝90°，∵∠C＝90°，
∴FE∥CA，
∴∠FEB＝∠CAB，
∴sin ∠FEB＝ eq \f(1,3) ，
即 eq \f(BF,BE) ＝ eq \f(1,3) ，
∴BF＝1.
第7题解图②
8. 24＋6 eq \r(5) 【解析】如解图，连接OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵BE为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OEB＝90°，∴AF∥OE，由题可知AD∥BC，∴四边形AFEO为矩形．∵∠OEF＝90°，OE＝OA，∴矩形AFEO为正方形，∴AF＝EF＝OE＝AO＝ eq \f(1,2) AD＝6.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD＝12.又∵AB＝OC，∴Rt△ABF≌Rt△OCE，∴BF＝CE＝ eq \f(1,2) ×(BC－EF)＝3，在Rt△OCE中，OC＝ eq \r(OE2＋CE2) ＝3 eq \r(5) ，∴AB＝CD＝OC＝3 eq \r(5) ，∴▱ABCD的周长为(12＋3 eq \r(5) )×2＝24＋6 eq \r(5) .
第8题解图
9. (1)证明：如解图①，连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE＋∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠DBO，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE；
(2)解：如解图②，连接CD，
由(1)知，AE＝DE，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE＝EC，∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝AE＋EC＝10，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，∴CD＝6，
设BD＝x，则AB＝AD＋BD＝8＋x，
在Rt△BDC和Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝BD2＋CD2，BC2＝AB2－AC2，
∴x2＋62＝(8＋x)2－102，
解得x＝ eq \f(9,2) ，
∴BC＝ eq \r(x2＋62) ＝ eq \r(（\f(9,2)）2＋62) ＝ eq \f(15,2) .
第9题解图
10. 解：(1)如解图，连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°.
∵DF∥AB，
∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°.
∴∠ACD＝ eq \f(1,2) ∠AOD＝45°.
∵CF＝CD，
∴∠F＝∠CDF＝ eq \f(1,2) (180°－∠ACD)＝67.5°；
(2)如解图，连接AD，
由(1)得∠AOD＝90°，∠ACD＝45°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等腰直角三角形，∴∠EAD＝45°，
∴∠ACD＝∠EAD，
∵∠ADC＝∠EDA，
∴△ACD∽△EAD.
∴ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(AD,ED)
∴AD2＝CD·DE＝8.
解得AD＝2 eq \r(2) (负值已舍去).
∴OD＝AD·sin 45°＝2.
即⊙O的半径是2.
第10题解图
【解题关键点】
连接AD，证△ACD∽△EAD是解题的关键．