考题猜想06 电磁感应中的动力学和能量问题（原卷版+解析版）2023-2024学年高二物理下学期期末考点大串讲（人教版2019）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32503" 01线框进出磁场产生的等效电路相关计算 PAGEREF _Tc32503 \h 2
\l "_Tc3654" 02描绘线框进出磁场区域的图像问题 PAGEREF _Tc3654 \h 6
\l "_Tc24672" 03求线框进出磁场时电阻上的生热问题 PAGEREF _Tc24672 \h 10
\l "_Tc23920" 04求线框进出磁场时通过横截面的电荷量 PAGEREF _Tc23920 \h 13
\l "_Tc29144" 05导体棒进出磁场时的加速度变化问题 PAGEREF _Tc29144 \h 18
\l "_Tc8395" 06双杆在等宽导轨上的运动问题 PAGEREF _Tc8395 \h 22
\l "_Tc25249" 07双杆在不等宽导轨上的运动问题 PAGEREF _Tc25249 \h 27
\l "_Tc14209" 08计算导轨切割磁感线电路中产生的热量 PAGEREF _Tc14209 \h 31
\l "_Tc5735" 09求导体棒运动过程中通过横截面的电荷量 PAGEREF _Tc5735 \h 35
\l "_Tc6931" 10导体棒运动时间、或某力作用时间或某个恒力的大小 PAGEREF _Tc6931 \h 39
01线框进出磁场产生的等效电路相关计算
1．（22-23高二下·江苏无锡·期末）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上放置着单匝矩形金属线框，其中MN长为，PM长为，金属线框的质量为m，其电阻恒为R，垂直于斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为（其中、k均大于零）。时刻将线框由斜面顶端静止释放，若斜面很长，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）

A．线框先加速运动最后匀速运动B．线框产生的焦耳热等于机械能的减少量
C．时线框的热功率为D．时重力的瞬时功率为
【答案】C
【详解】A．线框上下两边所受的安培力大小相等，反向相反，可以知道线框所受的合力大小恒定，线框做匀加速直线运动，故A错误；
B．对于线框，只有重力做功，机械能守恒，根据能量守恒知，磁场能转化为焦耳热，故B错误；
C．根据法拉第电磁感应定律得
时线框的热功率为
故C正确；
D．时线框竖直方向速度为
重力的瞬时功率为
故D错误。
故选C。
2．（多选）（22-23高二下·河北石家庄·期末）如图所示，相距为d的两水平虚线分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为，正方形线框边长为、质量。将线框在磁场上方高处出静止开始自由释放，当边进入磁场时速度为，边刚穿出磁场时速度也为。从边刚进入磁场到边刚穿出磁场的整个过程中（ ）

A．边刚进入磁场时，两端的电势差为
B．线框有一阶段的加速度为
C．线框产生的热量为
D．线框有一阶段做减速运动
【答案】BD
【详解】A．线框在磁场上方高处出静止释放，当边进入磁场时有
解得
边产生的感应电动势为
两端的电势差为路端电压，即
故A错误；
B．线框完全在磁场中运动时，没有感应电流产生，线框不受安培力，只受重力，加速度为g，故B正确；
C．ab边进入磁场到cd边刚穿出磁场的过程，动能不变，根据能量守恒定律可得线框产生的热量为
故C错误；
D．线框刚进入磁场时的速度是v0，完全进入磁场后做匀加速直线运动，而边刚穿出磁场时的速度也是v0，由此可判断线框离开磁场的过程做减速运动，故D正确。
故选BD。
3．（22-23高二下·北京通州·期末）如图所示，有一个单匝正方形闭合线框，边长为L，质量为m。线框下方有一水平匀强磁场，磁场方向垂直线框所在平面，磁感应强度为B磁场区域宽度为L。在磁场上方某一高度处释放线框，线框在下落过程中始终与磁场方向垂直，且边保持水平。若线框恰好以速度v匀速通过磁场，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计，求：
（1）线框进入磁场过程中，两点间的电势差U；
（2）线框通过磁场过程中产生的热量Q；
（3）若将线框从更高的地方释放，请分析说明线框通过磁场过程中的运动情况。

【答案】（1）；（2）；（3）线框可能先做加速度减小的减速运动，当速度减为v时做匀速运动，也可能通过磁场的整个过程中均做加速度减小的减速运动
【详解】（1）线框匀速通过磁场
由于
， ，
线框进入磁场过程中，两点间的电势差
解得
（2）线框通过磁场的时间为
线框通过磁场过程中产生的热量为
（3）线框从更高的位置下落，根据牛顿第二定律
线框可能先做加速度减小的减速运动，当速度减为v时做匀速运动，也可能通过磁场的整个过程中均做加速度减小的减速运动。
4．（多选）（22-23高二下·重庆江津·期末）光滑水平面上存在垂直桌面向下的匀强磁场，磁场边界如图所示。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场SP边界平行且距离为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为N的恒力F，使其在图示水平桌面上由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在垂直于SP方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，从线框开始运动到线框全部进入磁场中，下列说法正确的是（ ）

A．匀强磁场磁感应强度的大小为0.2TB．全过程线框产生焦耳热0.04J
C．整个回路通过的电荷量为5CD．磁场区域的SP边宽度为0.65m
【答案】ACD
【详解】A．ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在沿ab方向有max = Fcs
代入数据有ax = 10m/s2
在沿da方向有may = Fsin
代入数据有
ay = 10m/s2ab边进入磁场开始，ab边在沿da方向切割磁感线；ad边和bc边的部分也开始进入磁场，且在沿ab方向切割磁感线。但ad和bc边的进入磁场部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力沿ad方向，ad边的进入磁场部分受到的安培力沿ab方向，bc边的进入磁场部分受到的安培力沿ba方向，则ad边和bc边的进入磁场部分部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的沿ad方向的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在垂直于SP方向线框做匀速运动，有
Fsin- BIL = 0
E = BLvy
联立有B = 0.2T
故A正确；
B．由题知，从ab边进入磁场开始，在沿da方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有
Q = W安 = BILy
y = L
Fsin= BIL
联立解得Q = 0.4J
故B错误；
C．整个回路通过的电荷量
故C正确；
D．线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为
vy = ayt1
L = vyt2
t = t1 + t2
联立解得t = 0.3s
线框在沿ab方向一直做匀加速直线运动，则在沿ab方向有
则磁场区域的SP边宽度X = x + L = 0.65m
故D正确。
故选ACD。
02描绘线框进出磁场区域的图像问题
5．（22-23高二下·山东日照·期末）Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，是磁场边界，两磁场区域宽度均为d，方向如图所示。与磁场方向垂直的平面内有一直角边长也为d的等腰直角三角形硬导线框。现使导线框以恒定的速度水平向右穿过磁场，运动过程中始终保持一直角边与磁场边界平行。若规定顺时针方向为电流的正方向，则此过程中，导线框内感应电流与时间的关系图像，可能正确的是（ ）（图中虚线方格为等大正方形）

A． B．
C．D．
【答案】B
【详解】Ⅰ区域存在向里的匀强磁场，Ⅱ区域存在向外的匀强磁场，三角形闭合导线框进入磁场Ⅰ时向里的磁通量增大，根据楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，电流为负；三角形闭合导线框进入Ⅱ时，向里的磁通量减小向外的磁通量增加，根据楞次定律可知，电流方向为顺时针方向，电流为正；三角形闭合导线框离开Ⅱ时，向外的磁通量减小，根据楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，电流为负；根据
穿过L2时离开向里的磁场同时进入向外的磁场，感应电动势为
可知每次磁场边界时有效长度l增大，感应电动势逐渐增大，电流逐渐增大，穿过l2时感应电流更大变化更快，故选B。
6．（22-23高二下·山东德州·期末）如图所示，一边长为a，电阻为R的等边三角形线框在外力作用下以速度匀速穿过宽度均为a的两个匀强磁场区域，两磁场磁感应强度的大小均为B，方向相反，线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直．以逆时针方向为电流正方向，从图示位置开始线框中感应电流Ⅰ与沿运动方向的位移s的关系图像为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】线框进入第一个磁场时，切割磁感线的有效长度在均匀变化。在位移由0到的过程中，切割磁感线的有效长度由0增到；在位移由到a的过程中，切割磁感线的有效长度由减到0；在位移时
电流为正；
线框穿越两磁场边界时，线框在两磁场中切割磁感线产生的感应电动势相等且同向，切割的有效长度也在均匀变化；在位移由a到的过程中，切割磁感线的有效长度由0增到；在位移由到2a的过程中，切割磁感线的有效长度由减到0；在位移时，
电流为负；
线框出第二个磁场时的情况与进入第一个磁场时的相似；由以上分析可知，I-x图像如图所示；

故选B。
7．（22-23高二下·云南玉溪·期末）如图所示，边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场，右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域，运动过程中线框始终垂直于磁场且bc边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程，下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据右手定则，线框进入磁场过程中、在磁场中运动的过程中、出磁场的过程中，感应电流的方向分别为逆时针、顺时针、逆时针，分别为负值、正值、负值；又因为线框在磁场中运动的过程中，两条边切割磁感线，其电流是进入磁场、出磁场时电流的2倍。
故选C。
8．（22-23高二下·北京丰台·期末）如图所示，一个边长为l的正方形导线框沿x轴正方向匀速穿过匀强磁场区域。以x轴的正方向为安培力的正方向，从线框在图示位置的时刻开始计时，关于线框所受的安培力随时间变化的图像，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在0-内，线框在磁场之外，感应电流为0，安培力为0；
在-内，由右手定则可得出感应电流的方向为逆时针的方向，维持线框以恒定速度v沿x轴运动，所以感应电动势和电流不变，根据左手定则得出安培力的方向x轴的负方向，安培力大小为
在-内，线框全部进入磁场，穿过线圈的磁通量不变，感应电流为0。安培力为0；
在-内，线框左边切割磁感线，由右手定则可得出感应电流的方向为顺时针的方向，维持线框以恒定速度v沿x轴运动，所以感应电动势和电流不变，根据左手定则得出安培力的方向x轴的负方向，大小为
则图像如图

故选D。
03求线框进出磁场时电阻上的生热问题
9．（多选）（22-23高二下·广东韶关·期末）如图所示，一半径为r、质量为m、电阻为R的n匝圆形细线圈在足够长的径向辐射状磁场中由静止开始下落，线圈下落高度h时速度达到最大值。已知线圈下落过程中环面始终水平且所经过位置的磁感应强度大小都相同，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）

A．线圈在磁场中做匀加速直线运动
B．线圈下落过程中所经过位置的磁感应强度大小为
C．线圈下落高度h的过程中产生的总焦耳热为
D．线圈下落高度h所经历的时间为
【答案】BCD
【详解】A．线圈在磁场中速度变大，感应电动势变大，感应电流变大，安培力变大，线圈在磁场中作加速度减小的加速运动，达到最大速度后，作匀速直线运动，A错误；
B．由右手定则判断知线圈下落过程中，线圈中感应电流（俯视）沿顺时针方向，根据左手定则判断知安培力方向竖直向上，当安培力与重力大小相等时，线圈的速度最大，有
根据欧姆定律得
解得
B正确；
C．根据能量守恒定律可知，线圈下落高度h的过程中产生的总焦耳热为
C正确；
D．根据法拉第电磁感应定律有
又
电荷量
得
由动量定理有
解得
D正确。
故选BCD。
10．（22-23高二下·湖南·期末）如图所示，固定的足够长的绝缘运输带与水平方向成α=30°，以v0的速度顺时针匀速传动，两虚线 1、2间存在垂直运输带向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、阻值为 R、边长为d的正方形导线框abcd 随运输带一起匀速向上运动，当 ab边越过虚线1时导线框相对运输带发生运动，当ab边到达虚线 2时导线框的速度恰好恢复到 v0，已知两虚线间的距离为 L（L>2d），导线框与运输带之间的动摩擦因数 ，重力加速度大小为g，整个过程中导线框的 ab边始终与两虚线平行。求：
（1） ab边刚越过虚线 1瞬间的加速度大小；
（2）导线框的 ab边由虚线1运动到虚线2的过程中，导线框中产生的焦耳热Q；
（3）导线框的ab边由虚线 1运动到虚线2的时间t。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1） ab边刚越过虚线 1瞬间，对导线框受力分析，根据牛顿第二定律有
根据安培力公式有
根据闭合电路欧姆定律有
解得
（2）导线框的 ab边由虚线 1运动到虚线 2的过程中，根据动能定理有

根据功能关系有Q=W安
解得
（3）导线框的 ab边由虚线 1运动到虚线 2的过程中，根据动量定理有
安培力的冲量
解得
11．（22-23高二下·安徽宣城·期末）如图所示，电阻R为的正方形单匝线圈abcd的边长L为，bc边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度B大小为。在水平拉力作用下，线圈以的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中：
（1）所受拉力的大小F；
（2）感应电流产生的热量Q。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据导体切割磁感线产生的感应电动势计算公式可得
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流为
拉力的大小等于安培力，即
解得
（2）根据功能关系可知，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即等于拉力F做的功，所以有
代入数据得
12．（22-23高二下·山东济宁·期末）世界多国都在加紧研制真空管道超高速磁悬浮列车，某研发团队想要探究其电磁刹车的效果，在遥控小车底面安装一粗细均匀的正方形单匝线圈，边长为L，其平面与水平轨道平行，小车（包含线圈）总质量为m，其俯视图如图所示，小车到站需要减速时，在前方虚线和之间设置一竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场宽度为H，且。若小车关闭引擎，线圈cd边进入磁场前的速度为，线圈ab边离开磁场时的速度为，在行驶过程中小车所受轨道阻力忽略不计，不考虑车身其它金属部分的电磁感应现象。求：
（1）cd边刚进入磁场时，cd边两端电势差U的大小和流过cd边的电流方向；
（2）ab边刚进入磁场时，小车的速度v的大小；
（3）线圈在离开磁场的过程中，ab边产生的焦耳热。

【答案】（1），流过cd边的电流方向；（2）；（3）
【详解】（1）cd边刚进入磁场时，cd边产生的电动势
cd边两端电势差
根据右手定则，流过cd边的电流方向。
（2）线圈ab边离开磁场时，根据动量定理有
ab边刚进入磁场时，根据动量定理有
可得小车的速度v的大小
（3）根据动能定理，线圈在离开磁场的过程产生的总热量
ab边产生的焦耳热
04求线框进出磁场时通过横截面的电荷量
13．（22-23高二下·天津南开·期末）如图所示，竖直虚线MN的左侧有方向垂直于线圈所在平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一面积为S，电阻为R的单匝圆形线圈以大小为v的速度向左匀速进入磁场，线圈的直径CD始终与MN平行，下列说法正确的是（ ）

A．在线圈进入磁场的过程中，线圈上产生的感应电流始终沿顺时针方向
B．在线圈进入磁场的过程中，线圈受到的安培力先水平向右后水平向左
C．当CD与MN重合时，线圈上产生的感应电动势大小为
D．从线圈开始进入至全部进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为
【答案】C
【详解】AB．在线圈进入磁场的过程中，由楞次定律可知，线圈上产生的感应电流方向为逆时针方向，再由左手定则可知，线圈所受的安培力方向水平向右，AB错误；
C．当CD与MN重合时，线圈上产生的感应电动势大小为
C正确；
D．从线圈开始进入至全部进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为
解得
D错误。
故选C。
14．（22-23高二下·宁夏银川·期末）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度大小为B，纸面内有一由均匀金属丝制成的等腰直角三角形线框abc，直角边边长为L，bc边与磁场边界平行，线框总电阻为R。线框在向左的拉力作用下以速度v匀速进入磁场。下列分析正确的是（ ）
A．线框进入磁场过程中有顺时针方向的感应电流
B．线框完全进入磁场过程中产生的热量为
C．线框ab边中点进入磁场时拉力的功率大小为
D．线框进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量为
【答案】C
【详解】A．由楞次定律可知线框进入磁场过程中有逆时针方向的感应电流，故A错误；
B．线框进入磁场的过程中所受安培力大小为
可知，F与x成二次函数关系，根据F与x的关系图像可知，线框进入磁场的过程中，力F所做的功等于图线与x轴所围成的面积，所以力F所做的功小于 ，线框进入磁场过程中产生的热量小于 ，故B错误；
C．线框ab边中点进入磁场时拉力为
功率为
故C正确；
D．线框进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量为
故D错误。
故选C。
15．（22-23高二下·北京东城·期末）如图所示，长为a、宽为b的闭合导线框质量为m，电阻为R，位于竖直平面内，图示虚线框内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，此区域的高度也为b，方向垂直纸面向外。当线框下边缘距地面高度为h处时将其从磁场区域的正上方由静止释放，刚好匀速穿过磁场区域后落到地面（下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直，重力加速度用g表示）。
（1）求线框通过磁场区域时的速度；
（2）求线框刚落到地面时的速度；
（3）若将磁场区域距离地面的高度降低一些，其他条件不变，请分析并说明：线框穿过磁场过程中线框产生的热量Q和通过线框的电荷量q分别如何变化。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）线框匀速穿过磁场区域时有
由
得到
（2）对线框从静止释放到落地的过程应用动能定理，有
其中
得到
（3）线框穿过磁场过程中线框产生的热量
若磁场区域距离地面的高度降低一些，线框刚到达磁场区域时的速度将大于，因此安培力大于重力，之后线框可能做减速运动直至速度减为后匀速穿过磁场，也可能一直减速直至离开磁场时速度仍大于，无论哪种情况都会造成，线框通过磁场过程中克服安培力做的功比以前多，因此线框穿过磁场过程中线框产生的热量Q将增加。线框通过磁场的过程满足法拉第电磁感应定律，对线圈回路
联立得到
由此可知，若磁场区域距离地面的高度降低一些，线框穿过磁场过程中通过线框的电荷量q相比以前不变。
16．（22-23高二下·广东深圳·期末）图甲为某人工智能生产线上的检测装置，让闭合和未闭合两种被测导线框随绝缘传送带通过一固定磁场区域，根据线框进入磁场后的运动情况，可将它们进行分类处理，过程简化为图乙所示。通过传送带同时输送两种（闭合和未闭合）外型相同的正方形单匝导线框，传送带以恒定速度向上运动，方向与水平方向夹角为。磁感应强度为B、方向垂直于传送带平面向下的匀强磁场分布在距离为d的平行边界、之间，、与传送带运动方向垂直。线框质量均为m，闭合框电阻为R，边长为（），线框与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g。所有线框在进入磁场前都已相对传送带静止，闭合框进入磁场后会与传送带发生相对滑动，其上边到达时恰好又与传送带的速度相同。两线框运动过程中上边始终平行于。求：
（1）闭合框的上边刚进入磁场时所受的安培力；
（2）闭合框进入磁场过程中，通过线框横截面的电荷量；
（3）两种框的上边刚进入磁场到上边刚要出磁场的过程中，电动机传送闭合框比未闭合框多消耗的电能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据安培力公式得
根据闭合电路欧姆定律得
又由法拉第电磁感应定律得
联立解得
（2）根据法拉第电磁感应定律得
电荷量
又线框进入磁场过程中
联立解得
（3）在框的上边刚进入磁场到线框的上边刚要出磁场的过程中，未闭合框：经过磁场区域没有产生感应电流，不受安培力影响，且已经与传送带共速，所以多消耗电能为
闭合框：进入磁场的过程中，产生感应电流（时间为），受安培力影响，先做减速运动，完全进入后不受安培力作用，做匀加速直线运动，最终与传送带再次共速；取沿斜面向上为正方向，设框运动时间为，根据动量定理有
又
联立解得
电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力做的功，则有
所以电动机传送闭合框比未闭合框多消耗的电能为
05导体棒进出磁场时的加速度变化问题
17．（22-23高二下·安徽亳州·期末）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一长为L、宽为d的金属矩形线圈，其电阻为R，质量为m，线圈的右侧以虚线为界存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现使线圈以垂直磁场边界大小为的速度向右运动，线圈从开始运动到静止的过程中，线圈刚进入磁场时的加速度用a表示，线圈通过的位移用x表示，通过线圈的电荷量用q表示，及线圈产生的焦耳热用Q表示。改变初速度v0大小，上述值均发生变化。上述值与线圈的初速度v0间的关系图像可能正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A．线圈刚进入磁场时，有
联立可解得
表明a与v₀成正比，A错误；
BC．对线圈由动量定理有
，
联立有
，
因
表明线圈未完全进入磁场，故q与v₀成正比，x与v₀成正比，B正确，C错误；
D．线圈的焦耳热
表明Q与v₀²成正比，D错误。
故选B。
18．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨竖直放置，金属导轨足够长，下端接一电阻R，整个空间存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场。时刻，将一金属杆ab以初速度竖直向上抛出，时金属杆ab又返回到出发位置，金属杆ab在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。下列图像能正确描述在0~这段时间内金属杆ab的速度与时间关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】竖直向上的过程中，有
解得
则金属杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，直到速度为0；竖直向下的过程中，有
解得
则金属杆ab做加速度逐渐减小的加速运动。由于安培力做负功，返回时速度的大小应该比小，故D正确，ABC错误。
故选D。
19．（21-22高三上·安徽·阶段练习）如图，在水平桌面上固定两条相距的平行且足够长的光滑金属导轨，导轨的左端连接阻值的电阻，导轨上放有垂直导轨的金属杆，金属杆的质量，接入电路的电阻，整个空间存在磁感应强度、竖直向下的匀强磁场。初始时刻金属杆在水平向右的恒力的作用下，向右做速度的匀速直线运动，经后撤去恒力。整个运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，求：
（1）水平恒力的大小；
（2）从初始时刻到金属杆停止运动的过程中，电阻上产生的热量；
（3）从初始时刻到金属杆停止运动的过程中，金属杆向右运动的位移。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属杆匀速运动时，感应电动势
根据闭合电路的欧姆定律得
金属杆所受安培力
根据金属杆受力平衡得
代入数据解得
（2）前1.5s内金属杆运动的位移
水平恒力F做的功
根据功能关系得
其中
代入数据解得
（3）撤去恒力F后，金属杆的加速度大小满足
即
等式两边同时乘以非常短的时间，即
整理得
解得
所以撤去恒力F后，金属杆继续运动的位移为
从初始时刻到金属杆停止运动的过程中，金属杆向右运动的位移
20．（22-23高二下·北京顺义·期末）在物理学的研究过程中，对变速运动的研究是从最简单的变速直线运动开始的。最简单的变速直线运动，速度应该是均匀变化的。速度随时间均匀变化的直线运动叫做匀变速直线运动，加速度为一定值。若某种变速运动的速度v是随位移x均匀变化的，请解答以下问题：
（1）类比速度随时间均匀变化的运动中加速度a的定义，写出速度随位移均匀变化的运动中加速度的定义式，使也为定值；
（2）如图所示，质量为m的金属棒放在宽度为L的光滑导轨上，导轨左侧连接阻值为R的电阻，金属棒和导轨电阻均不计。整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。给金属棒一个水平向右的初速度，运动过程中金属棒始终与导轨垂直。
①证明金属棒运动的速度v随位移x是均匀变化的，加速度为定值；
②a．请从牛顿运动定律的角度分析金属棒的加速度的变化情况；
b．请从不变的角度分析金属棒的加速度的变化情况。

【答案】（1）；（2）a见解析，b见解析
【详解】（1）类比匀加速直线运动中加速度a的定义，可知
（2）①在导体棒速度从v0变为v的过程中取一极小时间∆t，设在这一段时间内，导体棒的速度从vi变为vit，因为时间极短，可认为这一段时间内安培力为一定值，根据动量定理可得-BIL∆t=mvit-mvi
电路中电流为
联立可得
整理，得
因此导体棒的运动速度v随位移x均匀变化。
②a根据牛顿第二定律
所以
所以随着速度的逐渐减小，加速度a也逐渐减小。
b根据加速度定义式，有
为定值，且以相同的，相同，变小，变大，所以随着速度的逐渐减小，加速度a也逐渐减小。
06双杆在等宽导轨上的运动问题
21．（22-23高二下·贵州遵义·期末）如图所示，在水平地面上方固定两根足够长的光滑金属导轨，两导轨平行且位于同一水平面内，间距为L。导轨右侧水平地面上固定一倾角为θ的斜面，斜面底端位于导轨右端正下方。在导轨上放置两根相距较远的金属棒ab和cd，两棒质量均为m，长度均为L，电阻均为R。金属导轨间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时cd棒静止，给ab棒一个水平向右的瞬时初速度v0，一段时间后ab棒和cd棒共速，之后cd棒离开导轨无转动地做平抛运动，cd棒落在斜面上时速度恰好与斜面垂直。两棒在导轨上运动过程中均与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻和空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）开始时cd棒的安培力大小；
（2）cd棒做平抛运动的时间；
（3）在两棒共速前，当cd棒的速度为时（），回路中电流I'的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）开始时
①
②
cd所受的安培力为③
由①②③解得④
（2）从ab棒开始运动到ab棒和cd棒共速过程中，由动量守恒定律有⑤
cd棒落到斜面上时有
⑥
⑦
由⑤⑥⑦解得⑧
（3）当cd棒速度为时，设ab棒的速度为v，对ab棒和cd棒。由动量守恒定律有⑨
解得⑩
当cd棒速度为时，对两棒有⑪
解得⑫，⑬
由⑨⑩⑪⑫⑬解得⑭
22．（22-23高二下·江西赣州·期末）如图所示，水平光滑金属导轨PQ、MN间距为，金属棒ab、cd垂直于导轨静止放置。ab棒质量，电阻；cd棒质量，电阻。整个装置处于磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中。现给ab棒一个瞬时冲量使其获得水平向左的初速度。导轨电阻不计且都足够长，两棒始终与导轨接触良好且未相撞。求：
（1）cd棒能获得的最大速度；
（2）全过程cd棒产生的焦耳热；
（3）开始时两棒至少多大的间距才能避免相撞。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意可知，ab棒切割磁感线使回路产生感应电流，从而使cd棒在安培力的作用下开始运动，分析可知ab棒做减速运动，cd棒做加速运动，最终两棒速度相同，回路中感应电流为零，两棒以共同速度做匀速直线运动，设两棒最终的共同速度为，由动量守恒定律有
代入数据解得
即cd棒能获得的最大速度为。
（2）全过程根据能量守恒有
全过程cd棒产生的焦耳热
联立解得
（3）设两棒之间的最小距离为，达到共速所用的时间为，则对cd棒由动量定理有
即
解得
而根据法拉第电磁感应定律有
而
联立解得
23．（22-23高二下·山东临沂·期末）如图所示，与水平方向成夹角θ=37°的两平行金属导轨AB、A'B'，下端连接足够长的水平金属轨道BC、B'C'，并在轨道上静止放置导体棒b。已知轨道间距均为d=1m，AB、A'B'长度L=12m，a、b棒质量均为1kg，a棒电阻为R=3Ω，b棒电阻r=1Ω，两轨道平面内均有垂直于其平面的磁场，磁感应强度均为B=2T，不计一切摩擦，导轨电阻不计，g=10m/s2。现将导体棒a自顶端AA'静止释放，先将导体棒b锁定，导体棒a运动至BB'前已匀速。求：
（1）导体棒a匀速下滑时的速度；
（2）导体棒a沿倾斜导轨下滑的过程中b棒产生的热量；
（3）导体椿a沿倾斜导轨下滑的时间；
（4）若导体棒a滑到BB'进入水平轨道时无机械能损失，同时解除对导体棒b的锁定，要使a、b棒在水平轨道上不发生碰撞，则导体棒b初始位置至少应离BB'多远。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）3m
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
则
导体棒a匀速下滑，则有
联立解得
（2）导体棒a沿倾斜导轨下滑的过程中，根据能量守恒有
而
代入数据解得
（3）根据，，
联立得
由动量定理可得
又
联立解得
（4）共速时，根据动量定理，对b棒，可得
对a棒，可得
且
联立解得，
又
解得
即则导体棒b初始位置至少应离BB'3m远。
24．（22-23高二下·广东中山·期末）如图，有两平行光滑金属导轨和，和段水平，和段倾斜，两导轨相距L，倾斜导轨和长度为d，倾斜角为，水平导轨内左端到导体棒a之间有竖直向上的匀强磁场（未知），倾斜导轨处有垂直斜面向上的匀强磁场B（已知），导体棒a、b分别放在水平导轨和倾斜导轨上，两根导体棒质量均为m，接入导轨间的电阻均为R，导体棒a离左端的距离为x，当导体棒a在外力作用下向左以匀速运动时，导体棒b恰好能静止在倾斜导轨的上端处，导体棒a运动到时，立刻停止并被锁定，此后导体棒b开始下滑，滑到底端时近似达到匀速.不计导轨的电阻，求：
（1）导体棒b静止时，b棒的电流大小；
（2）水平导轨处匀强磁场的磁感应强度；
（3）从导体棒a开始运动到导体棒b滑到的过程中，导体棒b产生的焦耳热.

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）导体棒b静止时，由平衡可知
解得b棒的电流大小
（2）对a棒向左运动时
，
解得
（3）导体棒a从开始运动到滑到最左端产生的焦耳热
导体棒b滑到底端时近似匀速，则
解得
则回路产生的焦耳热
则总焦耳热
导体棒b产生的焦耳热
07双杆在不等宽导轨上的运动问题
25．多选（22-23高二下·福建三明·期末）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b两棒分别以、的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．a棒的加速度始终等于b棒的加速度
B．a棒的加速度始终大于b棒的加速度
C．稳定时a棒的速度大小为
D．稳定时a棒的速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．由于两个导体棒中的电流始终大小相等，根据牛顿第二定律，对导体棒a有
对导体棒b有
可知
A正确，B错误；
CD．根据动量定理，对导体棒a有
对导体棒a有
当最终稳定时满足
联立解得，
C错误，D正确。
故选AD。
26．（22-23高二下·重庆渝中·期末）如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场（图中没有画出），导体棒a质量为，棒a接在电路中的电阻；导体棒b质量为，棒b接在电路中的电阻。导体棒a从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒b最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求：
（1）导体棒a刚进入磁场时电阻R的电流大小和方向；
（2）的大小；
（3）导体棒b从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒b上产生的焦耳热。（导轨与、与均足够长，导体棒a只在导轨与上运动）

【答案】（1）2A，电流的方向为由N到M；（2）；（3）
【详解】（1）根据动能定理可知
解得导体棒a刚进入磁场时的速度大小为
导体棒a产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律可得
联立解得
由右手定则可判断，此时电阻R的电流的方向为由N到M。
（2）导体棒a到达时速度方向与水平方向的夹角为，则
导体棒a到达时的速度为
由题可知在导轨与平直部分从左到右，根据动量定理可得
又
联立解得
（3）导体棒a到达时的速度为
导体棒a刚进入磁场时的速度为，则
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，则有
此过程中，对导体棒a由动量定理得
对导体棒b由动量定理得
联立解得，
该过程中整个回路产生的总焦耳热为
解得
金属棒b上产生的焦耳热为
27．（22-23高二下·江西上饶·期末）如图，平行光滑导轨的左侧AB和是竖直平面内半径为R的四分之一圆弧，BE、处于同一水平面，AC和间距为L，DE和间距为2L，AC、、DE、均足够长（MN始终位于左侧运动），AC和DE、和通过导线连接，其中右侧导轨平面都处在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中。现将长度为2L的导体棒PQ垂直导轨放置于DE和上，将长度为L的导体棒MN垂直导轨放置于端，由静止释放导体棒MN，导体棒运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒MN和PQ材料、横截面积均相同，导体棒MN质量为m，电阻为r，重力加速度为g，不计导轨电阻。求：
（1）导体棒MN刚进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒MN刚进入磁场时，导体棒PQ的加速度大小；
（3）导体棒MN最终稳定的速度大小以及从释放MN至两导体棒稳定运动的整个过程中导体棒MN产生的焦耳热。

【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）导体棒MN从端下滑到位置时，设其速度为，由机械能守恒定律可得
解得
（2）在导体棒MN进入磁场瞬间，产生的感应电动势
由题意可知导体棒PQ的电阻为2r，则此刻回路中的感应电流为
则此刻导体棒PQ所受安培力大小为
由牛顿第二定律可知，此刻导体棒PQ的加速度
（3）设经过时间t两导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设此刻导体棒MN、PQ的速度分别为、，则有
而在整个过程中对导体棒MN由动量定理有
对导体棒PQ由动量定理有
联立以上各式解得
显然此速度即为MN棒最终稳定的速度，设整个过程中整个回路产生的热量为，由能量守恒可得
解得
由此可知导体棒MN上产生的焦耳热为
28．（2023·福建漳州·二模）如图甲，abcd和a′b′c′d′为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，ab段和a′b′段间距为2L，cd段和c′d′段间距为L、整个导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，bcc′b′左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，bcc′b′右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，图中t0为已知量，两根相同金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc′之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一不可伸长绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，重物离地面的高度为L，细绳处于伸直状态且与M杆垂直，t=0时刻释放重物，同时在N杆中点处施加一水平拉力，使两杆在0~t0时间内均处于静止状态。已知M、N杆和重物的质量都为m，不计导轨电阻，重力加速度为g。
（1）求0~t0时间内回路的感应电动势E；
（2）求0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的函数关系式；
（3）从t0时刻开始，保持拉力F不变，若重物下落的过程中，回路产生的总热量为Q，求重物落地时N杆的速度大小v。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）0~t0时间内回路的感应电动势为
根据图乙可知
解得
（2）根据图乙可知
令0~t0时间内回路的感应为，对M有
对N有
解得
（3）根据上述，t0时刻的拉力大小
t0时刻之后，对M与重物整体进行分析有
t0时刻之后，对N进行分析有
解得
可知M、N的加速度大小相等，即M、N杆的速度在任意时刻大小均相等，则从t0时刻开始到重物落地的过程中有
解得
08计算导轨切割磁感线电路中产生的热量
29．（22-23高二下·甘肃金昌·期末）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度一端连接的电阻。导线所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。质量为的导体棒放在导轨上，其电阻，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好并始终与导轨垂直，导轨的电阻可忽略不计。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒沿导轨向右做匀速运动，速度，并开始计时。求：
（1）感应电动势和、两点间的电势差；
（2）在时间内，拉力做的功；
（3）在末，撤去拉力，导体棒会逐渐减速直至停止运动。求从开始至停止的全过程中电阻上产生的焦耳热。

【答案】（1）， ；（2）；（3）
【详解】（1）感应电动势
M、N两点间的电势差
（2）棒匀速运动，受平衡力
拉力做的功
（3）撤去拉力之前，拉力做功等于回路中产生的焦耳热，撤去之后棒动能全部转化为焦耳热
，
又因为R与r串联，R产生的焦耳热
30．（22-23高二下·山东威海·期末）如图甲所示，两根足够长的固定的平行光滑金属导轨间距为L，导轨所在平面与水平面的夹角，导轨上端接有阻值为R的电阻。长度均为L的金属棒ab、cd与导轨垂直接触，相距为d，电阻均为R。ab被锁定在导轨上，ab、cd用不可伸长的细线连接，整个装置静止且处在垂直导轨平面向上的磁场中，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。开始时开关S断开，当磁感应强度达到时，细线拉力恰好为零，此时烧断细线并闭合S。已知从闭合S到cd速度达到最大的过程中通过cd的电荷量为q，重力加速度大小为g，cd的质量为m，导轨电阻不计。求
（1）烧断细线前回路中的感应电流的大小；
（2）从开始到烧断细线的时间；
（3）从闭合开关到cd达到最大速度需要的时间；
（4）从闭合开关到cd达到最大速度的时间内ab消耗的电能。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）导体棒平衡，有，
解得电流为
（2）根据全电路的欧姆定律有
，，
解得
（3）从闭合开关到cd棒达到最大速度，需要的时间为，则
，
由动量定理有，
解得
（4）从闭合开关到速度最大，cd下滑的位移为x，则
，
，
解得
31．（22-23高二下·广东广州·期末）我国新一代航母准备采用全新的电磁阻拦技术使飞机着舰时在电磁阻尼下快速停止。现将其简化为如图所示的横型（俯视图），在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计，轨道端点M，P间接有阻值为R的电阻，一个长度也为L、阻值为r的轻质导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。质量为m的飞机水平着舰时钩住导体棒ab上的绝缘绳的同时关闭动力系统，飞机与导体棒瞬间共速，测得此时飞机的加速度大小为a，之后在磁场中一起减速滑行，不计飞机和导体棒ab受到的摩擦阻力和空气阻力。求：
（1）飞机着舰时的速度大小；
（2）飞机从着舰至停止过程中，导体棒ab中产生的焦耳热；
（3）飞机从着舰到停止过程中，通过导体棒ab的电量。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设飞机着舰时的速度大小为飞机与导体棒ab共速时，导体棒ab产生的感应电动势；
， ，
联立解得
（2）飞机从着舰至停止过程中，回路中产生的总热量
导体棒ab中产生的焦耳热
（3）导体棒ab随飞机减速至停止，由动量定理：取为正方向， ，
联立解得
32．（22-23高二下·浙江·期末）如图所示，水平金属圆环由沿半径方向的金属杆连接，外环和内环的半径分别是，。两环通过电刷分别与间距L=0.2m的平行光滑水平金属轨道PM和相连，右侧是水平绝缘导轨，并由一小段圆弧平滑连接倾角的等距金属导轨，下方连接阻值R=0.2的电阻。水平导轨接有理想电容器，电容C=1F。导体棒ab、cd，垂直静止放置于两侧，质量分别为，，电阻均为r=0.1。ab放置位置与距离足够长，所有导轨均光滑，除已知电阻外，其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，忽略磁场对电容器的影响。圆环处的金属杆做顺时针匀速转动，角速度。求：
（1）S掷向1，稳定后电容器所带电荷量的大小q；
（2）在题（1）的基础上，再将S掷向2，导体棒ab到达的速度大小；
（3）ab与cd棒发生弹性碰撞后，cd棒由水平导轨进入斜面忽略能量损失，沿斜面下滑12m距离后，速度达到最大，求电阻R上产生的焦耳热（此过程ab棒不进入斜面）。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属杆顺时针切割磁感线产生电动势为
稳定时
解得
（2）右侧是水平绝缘导轨，将S掷向2后，ab棒与电容器组成电路，当电容器两端电压与ab棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒做匀速运动，设此时ab棒速度为v，电容器带电为，则
根据动量定理可得
联合解得
（3）棒ab与cd发生弹性碰撞，则
，
解得
当cd棒做匀速运动时速度达到最大，设最大速度为，对cd棒受力分析，根据受力平衡可得
而
根据能量守恒得
联合解得
故电阻R上产生的焦耳热为
09求导体棒运动过程中通过横截面的电荷量
33．（22-23高二下·河南·期末）如图所示，两半径均为的四分之一光滑竖直平行圆轨道与水平平行轨道AB、CD分别相切于A、C两点，导轨间距均为，水平轨道间有竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小，右端B、D间接有定值电阻。长为、电阻为的导体棒PQ自圆弧轨道的最高点自由释放，整个运动过程导体棒与导轨始终垂直且接触良好，导体棒质量为，导体棒与水平导轨间的动摩擦因数，在水平导轨上运动时间后停止运动，重力加速度g取，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒运动至圆轨道AC位置时对C点的压力大小；
（2）导体棒在水平导轨上运动的最大位移。

【答案】（1）7.5N；（2）2m
【详解】（1）导体棒从释放到AC过程，由动能定理
在AC受力分析
解得
由牛顿第三定律知导体棒C的压力大小为7.5N；
（2）对导体棒从AC到停止运动过程，由动量定理
设最大位移为x，该过程中平均电动势为
平均电流为
联立解得
34．（22-23高二下·浙江宁波·期末）电动汽车通过能量回收装置增加电池续航。在行驶过程中，踩下驱动踏板时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。某兴趣小组为研究其原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外的辐向磁场，磁场方向沿半径方向，有一根质量为、长度为、电阻为的金属棒通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴无摩擦转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：踩下驱动踏板，开关接通1，电池给金属棒供电，金属棒相当于电动机，所用电池的电动势为，内阻为；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，金属棒相当于发电机，给电容器充电，所接电容器电容为。初始时电容器不带电、金属棒静止，电路其余部分的电阻不计。
（1）踩下驱动踏板后，求金属棒刚启动时加速度的大小及开始运动后的转动方向（从上往下看）；
（2）踩下驱动踏板后，求金属棒可达到的最大转动线速度和该过程中金属棒上产生的热量；
（3）当金属棒达到最大转动速度后松开驱动踏板，在一段时间后金属棒将匀速转动，求此时电容器上的带电量。

【答案】（1），金属棒开始运动后沿顺时针转动；（2），；（3）
【详解】（1）根据左手定则判断，从往下看，金属棒开始运动后沿顺时针转动，当开关闭合的瞬间，金属棒还没有发生转动，则
金属棒在安培力作用下发生转动，其加速度大小，由牛顿第二定律
（2）当金属棒所能达到的最大线速度满足，金属棒中的无电流通过，即金属棒切割磁感线关生的感应电动势为，即
解得
金属棒从静止开始，在安培力作用下加速运动到最大速度，由动量定理
在此过程中通过金属棒的电荷量
在此过程中电源提供的电能最终转化为金属棒的动能和电路产生的热量，即
金属棒中产生的热量为
（3）当金属棒由最大速度减速至匀速转动，由动量定理可得
当电路达到稳定时，回路中无电流，电容器两端电压与金属棒切割产生的感应电动势相等
联立得
35．（22-23高二下·广东广州·期末）如图，间距为L的两平行金属导轨右端接有电阻R，固定在离地高为H的平面上，空间存在着方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，杆获得一个大小为v0的水平初速度后向左运动并离开导轨，其落地点距导轨左端的水平距离为s。已知重力加速度为g，忽略一切摩擦，杆和导轨电阻不计。求：
（1）杆即将离开轨道时的加速度大小a；
（2）杆穿过匀强磁场的过程中，克服安培力做的功W，以及流过电阻的电荷量q。

【答案】（1）；（2）,
【详解】（1）杆离开轨道后做平抛运动，则有
，
联立解得，杆离开轨道时的速度大小为
杆离开轨道时，产生的感应电动势为
感应电流大小为
杆受到的安培力大小为
根据牛顿第二定律可得
联立方程，解得杆即将离开轨道时的加速度大小为
（2）根据动能定理，可得
联立方程，解得杆穿过匀强磁场的过程中，克服安培力做的功为
根据动量定理，可得
又
解得
36．（22-23高二下·甘肃白银·期末）如图所示，绝缘水平面上固定着两根间距L = 0.4m的光滑平行金属导轨MN、PQ，M、P两点间连接一个阻值R = 7Ω的电阻，一根与平行导轨间距等长、质量m = 0.25kg、电阻r = 1Ω的金属棒ab垂直于导轨静止放置。在金属棒右侧两条虚线与导轨之间的矩形区域内有磁感应强度大小B = 2.5T、方向竖直向上的匀强磁场，初始时金属棒到磁场左边界的距离x = 1m，磁场宽度d = 35m。现对金属棒施加一个大小F = 0.5N、方向平行导轨向右的恒力。已知金属棒运动过程中与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，金属棒离开磁场前已经做了一段时间的匀速运动。求：
（1）金属棒刚进入磁场时受到的安培力的大小F安；
（2）金属棒通过磁场的过程中通过金属棒横截面的电荷量q；
（3）金属棒通过磁场的过程中电阻R产生的热量QR。

【答案】（1）F安 = 0.25N；（2）q = 4.375C；（3）QR = 14J
【详解】（1）金属棒ab进入磁场前做匀加速直线运动，设加速度大小为a1，金属棒进入磁场时速度大小为v1，根据牛顿第二定律和运动学规律有F=ma1，
解得
金属棒ab进入磁场时的感应电动势E=BLv1
感应电流
安培力大小F安=BIL
联立解得F安=0.25N
（2）设金属棒通过磁场的过程中，平均电流为，时间为t，则金属棒通过磁场的过程中通过金属棒械截面的电荷量
，，
联立可得q=ΔΦR+r=BLdR+r=4.375C
（3）设金属棒在磁场中匀速运动的速度为vm，对金属棒受力分析可知
解得
设金属棒通过磁场的过程中回路产生的总热量为Q，根据功能关系有
根据焦耳定律有
联立解得QR=14J
10导体棒运动时间、或某力作用时间或某个恒力的大小
37．（22-23高二下·黑龙江七台河·阶段练习）如图甲所示，光滑金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力沿导轨平面向上拉金属杆，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求：
（1）恒力的大小；
（2）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中电阻R上产生的焦耳热；
（3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态所用的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）当金属棒匀速运动时，由平衡条件得，
其中
由乙图可知，联立解得，
（2）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，
又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得，
电阻R上产生的焦耳热为
代入数据解得，
（3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态
代入数据解得
在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动
又由图可知，代入数据解得，
38．（22-23高二下·湖北武汉·期末）如图所示，两光滑倾斜金属导轨 MN、M'N'平行放置，导轨与水平面的夹角为θ，两导轨相距 L，MM'间连接一个阻值为 R的电阻。 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁场区域的宽度均为 d（未画出），相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为 s。倾斜导轨与间距也为L的水平金属导轨 N'Q、NP通过一小段光滑圆弧金属轨道连接，水平导轨处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B。一质量为 m、阻值也为 R 的导体棒 ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某位置由静止释放，导体棒在进入三个磁场区域后均做减速运动且出磁场时均恰好受力平衡，导体棒沿倾斜导轨下滑过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好，导体棒滑到倾斜导轨底端的速度大小为 v，进入水平导轨运动了x距离后停下。导体棒与水平导轨间的动摩擦因数为，倾斜、水平导轨的电阻均忽略不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒 ab释放处距磁场区域Ⅰ上边界距离；
（2）导体棒 ab从进入磁场区域Ⅰ瞬间到进入磁场区域Ⅲ瞬间电阻R产生的热量；
（3）导体棒 ab在水平导轨上运动的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设导体棒在出磁场时的速度大小为v1，根据平衡条件可得
其中，解得
设导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时的速度大小为v2，在无磁场区域，导体棒做匀加速运动，根据动能定理可得
可知，导体棒ab刚进入磁场Ⅰ时的速度大小也为v2，导体棒ab由静止释放到刚进入磁场Ⅰ的过程中，根据动能定理可得，
解得
（2）导体棒ab在进入磁场区域Ⅰ瞬间和刚进入磁场区域Ⅱ瞬间速度大小相等，在此过程中根据能量守恒定律可知电路中产生的热量为
导体棒ab从进入磁场区域Ⅰ瞬间到进入磁场区域Ⅲ瞬间回路中产生的热量
电阻R产生的热量为
解得
（3）导体棒ab在水平导轨上减速运动到停下来，取向右为正方向，由动量定理可得
而
解得
39．（22-23高二下·福建三明·期末）如图甲，、为平行放置的水平金属导轨，导轨间距，左端接有的定值电阻。宽度的区域I分布着方向竖直向上的匀强磁场，其变化规律如图乙所示。宽度的区域II无磁场，导轨、与金属棒的动摩擦因数，其余导轨均光滑。右侧区域III分布着足够长的的匀强磁场，其方向竖直向上。质量均为，电阻均为的导体棒CD、SP分别紧靠右侧、左侧。时，CD在与导轨平行的恒力的作用下由静止开始运动，与SP碰撞前瞬间撤去F，之后CD与SP发生弹性碰撞，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计导轨电阻和空气阻力，重力加速度取，求：
（1）CD从开始运动到即将与SP碰撞所用时间t；
（2）过程中CD上产生的焦耳热Q；
（3）整个运动过程中通过定值电阻R的电荷量。

【答案】（1）0.5s；（2）1J；（3）3.2C
【详解】（1）对导体棒CD，根据牛顿第二定律，
而
解得a=8m/s，t=0.5s
（2）在内，根据法拉第电磁感应定律，
由于CD、SP并联后再与R串联，因此干路电流强度
CD上产生的焦耳热
（3）在内，通过定值电阻R的电荷量
CD与SP碰前的速度
由于CD与SP质量相等，发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可知速度互换，碰后CD停止运动，而SP以v0的速度进入磁场B2，此时CD与R并联，对导体棒SP，根据动量定理
而
联立解得
而流过定值电阻R的电荷量，
整个运动过程中通过定值电阻R的电荷量，
40．（22-23高二下·福建厦门·期末）如图甲所示，在竖直平面内有一宽度为L的匀强磁场区域，其上下边界水平，磁场的方向垂直竖直平面向里，磁感应强度大小为B。从t=0时开始，一质量为m的单匝正方形闭合金属框abcd在竖直向上的恒力作用下，从静止开始向上运动，ab边刚进入磁场时，速度大小为v1；当线框的cd边离开磁场时马上撤去恒力，此时线框恰与挡板碰撞，速度立刻减为0，碰撞时间忽略不计。线框上升和下落的过程中速度大小与时间的关系如图乙所示，图中v1和v2均为已知。已知线框的边长为L、总电阻为R，在整个运动过程中线框平面始终在该竖直平面内，且ab边保持水平，重力加速度为g，求：
（1）上升过程中，线框ab边刚进入磁场时的电流大小I1；
（2）上升过程中，线框所受恒力的大小F；
（3）整个运动过程中，线框产生的焦耳热Q；
（4）从t=0时开始到线框向下运动至完全离开磁场的时间t总。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）ab边进入磁场瞬间，产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律有
联立解得
（2）由图乙可知，ab边进入磁场瞬间，线框开始做匀速直线运动，则有
且
联立解得
（3）上升通过磁场过程中，有，
联立可得
下落通过磁场的过程中，有，解得
则整个运动过程中，线框产生的焦耳热为
（4）从静止到ab边进入磁场的过程中，有
，
联立解得
上升通过磁场过程中，有，解得
下落通过磁场的过程中，对其中任一阶段有
可得
解得
则有