河南省郑州市二七区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 （原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间90分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列Lg中，属于轴对称图形的是（ ）
A B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，能沿一条直线对折直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，据此判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B.
2. 2023年 12月 11 日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（）·弧度．已知，则用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：D．
3. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A. ①B. ②C. ③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理解答．
【详解】解：第③保留有原三角形的两个角和一条边，可以利用ASA证明两个三角形全等，
故选：C．
此题考查全等三角形的判定定理：SSS、ASA、AAS、SAS、HL，熟记各判定定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
5. 数学课上，老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）

A. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花
C. 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
D. 不透明袋子中有4个红球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据折线图，可得某事件发生的概率约为0.5，逐一进行判断即可．
【详解】解：由折线图可知，某事件发生的概率约为0.5，
A、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花是概率为，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率是，符合题意；
D、不透明的袋子中有4个红球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意；
故选C．
6. 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，下图是小睿、小轩、小涵三位同学折纸示意图（C 的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ）
A. 小睿折出的是边上的中线
B. 小轩折出的是中的平分线
C. 小涵折出的是中边上的高
D. 上述说法都错误
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折叠问题，根据折痕是角平分线，以及折叠的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、由折叠可知，，可知为边上的中线，故选项错误；
B、由折叠可知，，可知小轩折出的是中的平分线，故选项正确；
C、由折叠可知，折痕不经过点，故小涵折出的不是中边上的高，故选项错误；
D、B选项正确，故选项错误；
故选B．
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案．
【详解】解：如图：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键．
【详解】解：由七巧板的规律可得：
，，，
∵左边图形中正方形的面积为32，
∴，
故选：A．
9. 如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为（ ）
A. 4B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，将完全平方公式变形得，即可求出答案．
【详解】设长方形ABCD的边，，
根据题意可知，，
即，，
，
即长方形ABCD的面积为，
故选：B．
10. 已知：如图①，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止，的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的关系图象如图②，则、的值分别为（ ）

A. 6，10B. 6，11C. 7，11D. 7，12
【答案】C
【解析】
【分析】先通过t=5，y=40计算出BE长度和BC长度，根据BE+DE长计算a的值，b的值是整个运动路程除以速度即可．
【详解】解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t=5时，△BPC面积最大为40，也就是△BCE面积为40，
∴由勾股定理可得：BE=10．
又∵，
∴
∴BC=10．
∴ED=10-6=4．
当P点到D点时，
所用时间为：，
P点运动完整个过程需要时间t=（10+4+8）÷2=11s，
即b=11．
故选:C．
本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是___________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可
【详解】解：由点到直线的距离，垂线段最短可知，铺设垂直于排水渠的管道时，点A到上任意一点（不与B重合）的距离都大于的长，即此时用料最节约，
故答案为：垂线段最短．
本题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题的关键．
12. 如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，利用概率公式求概率，根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有种情况，由此即可得出答案．
【详解】解：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有种情况，如图：
，
∴使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是，
故答案为：．
13. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上．是的平分线，若，则的度数是_______．

【答案】##115度
【解析】
【分析】本题考查了折叠和角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0 可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”，该“卡普雷卡尔黑洞数”为________
【答案】495
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法、数字类变化规律，选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可．
【详解】解：若选的数为729，则，
以下按照上述规则继续计算：
，
，
，
…，
∴该“卡普雷卡尔黑洞数”为，
故答案为：．
15. 已知直线，点，分别在、上，如图所示，射线绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转至后便立即逆时针回转，并不断往返旋转；射线绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转至停止，此时射线也停止转动．若射线先转20秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为________秒时，．
【答案】10或85##85或10
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及平行线的判定与性质．设射线旋转的时间为；由，可知时，，分三种情况列方程可解得答案．
【详解】解：设射线旋转的时间为；
∵，
时，，
当时，，，
，
解得；
当时，，，
，
解得；
当时，，，
，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，当射线旋转的时间为10秒或85秒时，．
故答案为：10或85．
三、解答题（共7 小题，共55分）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，整式的运算：
（1）先去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行完全平方公式和单项式乘多项式的运算，再合并同类项即可．
【详解】解：（1） 原式；
（2）原式．
17. 【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为 ，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过 的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为
证明：因为，
所以 （ ）．
因为（ ）．
所以 （等量代换），
即三角形的内角和为．
【解题反思】
平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】
（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图2，其中．若，，则的度数为 ．
【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；平角的定义；；（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，利用平角的定义得出，再等量代换即可得出答案；
（2）由平行线的性质得出，从而得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：因为，
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为（平角的定义）．
所以（等量代换），
即三角形的内角和为；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18. 观察下列各式：，，，…，个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？请借助代数式解释这一规律．
【答案】规律是：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类变化规律，设该两位数是，其中是小于10的正整数，则，由此即可得出答案，解答本题的关键是观察数字的变化得到规律．
【详解】解：规律是：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25．
理由如下：
设该两位数是，其中是小于10的正整数，
则，
∵的末尾两个数都是0，
∴的末尾两个数必是25，
即的末尾两个数总是25．
19. 随着“6·18”临近，许多商店推出一系列活动以回馈广大消费者．某商店在此期间设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元、8元、2元、0元的金额，个数如下表所示．这些小球除数字外全都相同，商店规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，若摸到标有 50元、8元、2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个；若摸到标有0元的小球，则没有奖品．根据以上信息回答下列问题：
（1）小明购买了指定商品，则他获得奖品的概率是 ，获得8元奖品的概率是
（2）假设从箱子里拿出2个标有 8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，则摸到标有2元的小球的概率是多少？
（3）为了吸引顾客，该商店想将获得8元以上（含8元）奖品的概率提高到 ，在保持小球总数不变的情况下，请你设计一种合理的方案．
【答案】（1）
（2）
（3）将2个标有“2元”的小球改为“8元”的小球
【解析】
【分析】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是解决问题的关键．
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）直接利用概率公式进行计算即可；
（3）把个标有“2元”的小球改为“8元”，由概率公式可得，，再解方程即可．
【小问1详解】
解：标有50元的小球有4个，标有8元的小球有14个，标有2元的小球有27个，标有0元的小球有5个，
所以“获奖”的概率为，
共有50个小球，标有“8元”的有14个，
因此获得“8元”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
从箱子里拿出2个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到标有2元小球的概率为：．
【小问3详解】
把个标有“2元”的小球改为“8元”，由题意得，．
解得，
因为原来有27个标有“2元”的小球，，
所以将2个标有“2元”的小球改为“8元”的小球，即可满足题意．
20. 如图，在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解．
【小问1详解】
解：如图， 射线即为所求，
【小问2详解】
解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
21. 郑州新郑国际机场每天都有来自欧美、东南亚等地区的10多架飞机满载货物抵达，又有近1000吨来自全国各地的货物从这里飞往全球．目前它的货邮吞吐量已跻身全国第六、全球前四十，成为“空中丝绸之路”的重要节点．飞机在飞行过程中，所在位置的温度与距离地面的高度之间存在着一种关系，下表给出了部分统计数据，根据下表，请回答以下问题：
（1）上表反映的两个变量中， 是自变量， 是因变量．利用表格我们可以直接看出飞机所在位置的温度和距离地面的高度对应值：如当飞机距离地面的高度为时，所在位置的温度为 ．
（2）用关系式表示上表两个变量之间的关系： ；利用关系式，我们可以方便地求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所在位置的温度 ．
（3）为了更直观地研究飞机所在位置的温度随距离地面的高度的变化规律，将它们之间的关系用如图所示的图象表示，图中点A 表示的意义是 ．
【答案】（1）距离地面的高度；所在位置的温度，8
（2）；
（3）当飞机距离的高度地面时，所在位置的温度为
【解析】
【分析】本题考查了函数图象、函数关系式、常量和变量、函数的表示方法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据函数的定义和表中的数据即可得出答案；
（2）由表格可得，每上升1千米，温度降低6，即可得出关系式，当时，代入关系式计算即可得出答案；
（3）根据点的横纵坐标即可得出答案．
【小问1详解】
解：上表反映的两个变量中，距离地面的高度是自变量，所在位置的温度是因变量．利用表格我们可以直接看出飞机所在位置的温度和距离地面的高度对应值：如当飞机距离地面的高度为时，所在位置的温度为8；
【小问2详解】
解：由表格可得，每上升1千米，温度降低6，则关系为：，
当时，所在位置的温度；
【小问3详解】
解：∵点的坐标为，
∴点A 表示的意义是：当飞机距离的高度地面时，所在位置的温度为．
22. 如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．
（1）猜想线段与的位置关系，并证明；
（2）若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒．
①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值．
【答案】（1），证明见解析
（2）①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解；
（2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
在中，为高，
，
又，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下：
，，
，
，
，，
由（1）可知，，
，
在线段上，
，
解得：；
②，
，
、当点在线段延长线上时，如图3，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
、当点在线段上时，如图4，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
综上所述，当与全等时，的值为或．
所标金额（元）
小球个数（个）
50
4
8
14
2
27
0
5
距离地面的高度
0
1
2
3
4
所在位置的温度
20
14
8
2