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高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第42练排列、组合与二项式定理(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第42练排列、组合与二项式定理(原卷版+解析)，共16页。
1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
2．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种B．9种C．12种D．24种
3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（ ）
A．30B．30C．60D．60
6．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.
9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
10．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．
1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
2．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（ ）
A．-60B．60C．-240D．240
4．(2023·新疆·三模（理））若，则（ ）
A．270B．135C．135D．270
5．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A．216B．180C．108D．72
6．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．B．25C．D．5
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
8．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．
9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________
10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．
1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
6．(2023·江西新余·二模（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
7．(2023·河南安阳·模拟（理））已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
8．(2023·广东广州·三模）若，则___________．
9．(2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）
10．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
专题14 计数原理、随机变量及其分布
第42练 排列、组合与二项式定理
1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
答案：A
【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故选：.
2．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种B．9种C．12种D．24种
答案：C
【解析】分为三类：①甲、乙各一天，有种；②甲2天，乙1天，有种；③乙2天，甲1天，有种，6+3+3=12，故共有12种方案.故选：C
3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
答案：A
【解析】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A
4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】展开式中的常数项为.故选：B.
5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（ ）
A．30B．30C．60D．60
答案：C
【解析】由题意，当时，项的系数是
故选：C
6．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
答案：
【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．
答案：96
【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；
3个颜色互不相同的取法有：种；所以满足题意的取法共有：种.
故答案为：96.
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.
答案：65
【解析】根据题意，可得为三类：
第一类：恰好一名女生时，共有种不同的选法；
第二类：恰好两名女生时，共有种不同的选法；
第三类：恰好三名女生时，共有种不同的选法，
由分类计数原理可得，共有种不同的选法.
故答案为：.
9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
答案：10
【解析】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .
故答案为：10
10．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．
答案：1120
【解析】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，
展开式的通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故答案为：.
1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
答案：C
【解析】第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛；故选：C．
2．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
答案：C
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以共有60+90=150种.
故选：C
3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（ ）
A．-60B．60C．-240D．240
答案：D
【解析】由题知，展开式中第项，
令，得，所以展开式中常数项为.
故选：D
4．(2023·新疆·三模（理））若，则（ ）
A．270B．135C．135D．270
答案：B
【解析】，
以代替，得，
所以其通项公式为，
令，
所以，
故选：B
5．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A．216B．180C．108D．72
答案：A
【解析】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，
其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，
故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.
故选：A.
6．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．B．25C．D．5
答案：A
【解析】∵
的展开式为，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
∴的展开式中的系数为.
故选：A．
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
答案：44
【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：
第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种，
将女生插空时又分两种情形：
先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种；
空位两侧共排一名女生时计种，
共计种；
第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种，
综上，共计种．
故答案为：44
8．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．
答案：
【解析】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种,1、2、3, 分配方式有种,2、2、2，分配方式有种,
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为，
故答案为：.
9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________
答案：
【解析】解：因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，
解得，
所以二项式为，
则展开式中含x的项为，
故x的系数为-120，
故答案为：
10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．
答案：
【解析】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故答案为：．
1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故选：C
2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
【解析】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
3．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
答案：D
【解析】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得，解得，
所以原式为，
又展开式的通项公式为，
令k=3，则，所以可得一个的系数为，
令k=0，则，
又展开式的通项公式为，
令，，所以可得一个的系数为，
令，，所以可得一个的系数为，
令k=1，，所以可得一个的系数为，
综上：的系数为.
故选：D
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
答案：ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；
故选：．
5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
答案：BCD
【解析】展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，B正确；
取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；
由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.
故选：BCD.
6．(2023·江西新余·二模（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
答案：
【解析】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.
故答案为:
7．(2023·河南安阳·模拟（理））已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
答案：240
【解析】因的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则，其所有项的系数和为，
而，解得，则有展开式的通项为，
由得，于是得展开式中项为，
所以展开式中的系数为240.
故答案为：240
8．(2023·广东广州·三模）若，则___________．
答案：
【解析】由题意可知，，
展开式的通项公式为，
由，得出求的项是.
令，解得，所以.
故答案为：.
9．(2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）
答案： 60 20
【解析】先选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择；
先从2名女生中选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择.
故答案为：60；20.
10．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
答案： 5
【解析】解：因为，
所以，令，则，令，则，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展开式的第项为；
故答案为：；
1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
2．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种B．9种C．12种D．24种
3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（ ）
A．30B．30C．60D．60
6．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.
9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
10．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．
1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
2．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（ ）
A．-60B．60C．-240D．240
4．(2023·新疆·三模（理））若，则（ ）
A．270B．135C．135D．270
5．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A．216B．180C．108D．72
6．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．B．25C．D．5
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
8．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．
9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________
10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．
1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
6．(2023·江西新余·二模（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
7．(2023·河南安阳·模拟（理））已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
8．(2023·广东广州·三模）若，则___________．
9．(2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）
10．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
专题14 计数原理、随机变量及其分布
第42练 排列、组合与二项式定理
1．(2023·广东汕头·三模）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
答案：A
【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故选：.
2．(2023·福建泉州·模拟）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种B．9种C．12种D．24种
答案：C
【解析】分为三类：①甲、乙各一天，有种；②甲2天，乙1天，有种；③乙2天，甲1天，有种，6+3+3=12，故共有12种方案.故选：C
3．(2023·北京丰台·一模）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
答案：A
【解析】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A
4．(2023·山东泰安·模拟）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】展开式中的常数项为.故选：B.
5．(2023·福建省福州第一中学三模）的展开式中，项的系数是（ ）
A．30B．30C．60D．60
答案：C
【解析】由题意，当时，项的系数是
故选：C
6．(2023·上海·模拟）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
答案：
【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
7．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．
答案：96
【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；
3个颜色互不相同的取法有：种；所以满足题意的取法共有：种.
故答案为：96.
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.
答案：65
【解析】根据题意，可得为三类：
第一类：恰好一名女生时，共有种不同的选法；
第二类：恰好两名女生时，共有种不同的选法；
第三类：恰好三名女生时，共有种不同的选法，
由分类计数原理可得，共有种不同的选法.
故答案为：.
9．(2023·上海·模拟）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
答案：10
【解析】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .
故答案为：10
10．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为______．
答案：1120
【解析】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，
展开式的通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故答案为：.
1．(2023·江西·九江实验中学模拟（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
答案：C
【解析】第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛；故选：C．
2．(2023·江苏盐城·三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
答案：C
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以共有60+90=150种.
故选：C
3．(2023·四川广安·模拟（理））在的展开式中，常数项为（ ）
A．-60B．60C．-240D．240
答案：D
【解析】由题知，展开式中第项，
令，得，所以展开式中常数项为.
故选：D
4．(2023·新疆·三模（理））若，则（ ）
A．270B．135C．135D．270
答案：B
【解析】，
以代替，得，
所以其通项公式为，
令，
所以，
故选：B
5．(2023·江苏苏州·模拟）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A．216B．180C．108D．72
答案：A
【解析】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，
其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，
故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.
故选：A.
6．(2023·江苏·常州高级中学模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．B．25C．D．5
答案：A
【解析】∵
的展开式为，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
∴的展开式中的系数为.
故选：A．
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
答案：44
【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：
第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种，
将女生插空时又分两种情形：
先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种；
空位两侧共排一名女生时计种，
共计种；
第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种，
综上，共计种．
故答案为：44
8．(2023·陕西·交大附中模拟（理））党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．
答案：
【解析】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种,1、2、3, 分配方式有种,2、2、2，分配方式有种,
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为，
故答案为：.
9．(2023·山东·胜利一中模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________
答案：
【解析】解：因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，
解得，
所以二项式为，
则展开式中含x的项为，
故x的系数为-120，
故答案为：
10．(2023·青海·模拟（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一个世纪的“巴塞尔问题”：计算．已知，又知，，则______．
答案：
【解析】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故答案为：．
1．(2023·江苏省滨海中学模拟）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故选：C
2．(2023·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
【解析】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
3．(2023·河南·模拟（理））已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
答案：D
【解析】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得，解得，
所以原式为，
又展开式的通项公式为，
令k=3，则，所以可得一个的系数为，
令k=0，则，
又展开式的通项公式为，
令，，所以可得一个的系数为，
令，，所以可得一个的系数为，
令k=1，，所以可得一个的系数为，
综上：的系数为.
故选：D
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
答案：ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；
故选：．
5．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
答案：BCD
【解析】展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，B正确；
取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；
由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.
故选：BCD.
6．(2023·江西新余·二模（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
答案：
【解析】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.
故答案为:
7．(2023·河南安阳·模拟（理））已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为___________．
答案：240
【解析】因的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则，其所有项的系数和为，
而，解得，则有展开式的通项为，
由得，于是得展开式中项为，
所以展开式中的系数为240.
故答案为：240
8．(2023·广东广州·三模）若，则___________．
答案：
【解析】由题意可知，，
展开式的通项公式为，
由，得出求的项是.
令，解得，所以.
故答案为：.
9．(2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）
答案： 60 20
【解析】先选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择；
先从2名女生中选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择.
故答案为：60；20.
10．(2023·浙江·杭州高级中学模拟）已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
答案： 5
【解析】解：因为，
所以，令，则，令，则，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展开式的第项为；
故答案为：；
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