高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第29练空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第29练空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了(2023·安徽淮北·一模等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·江苏南通·模拟）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·天津三中三模）在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南郑州·二模（理））已知向量 ，且 ，则实数 ________________．
6．(2023·上海长宁·二模）已知，若，则_________．
1．(2023·江苏·金陵中学二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A．B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则D．若，则为锐角三角形
2．（2023·江西九江·三模（文））如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
3．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
4．(2023·河南洛阳·模拟（文））在正方体中，N为底面ABCD的中点，P为棱上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的序号是______．（填写所有正确结论的序号）
（1）CM与PN是异面直线
（2）
（3）过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
（4）平面平面
5．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
6．（2023·四川达州·一模（理））两个非零向量，，定义．若，，则___________．
7．（2023·浙江省杭州第二中学模拟）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.
1．（多选题）(2023·辽宁·东北育才双语学校模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．动点的轨迹长为D．与所成角的余弦值为
2．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
3．（多选题）(2023·湖南邵阳·一模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
4．(2023·湖南师大附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.
5．(2023·广西师范大学附属外国语学校模拟）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
专题09 空间向量与立体几何
第29练 空间向量及其运算的坐标表示
1．(2023·江苏南通·模拟）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
2．(2023·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影数量为，
∴点到直线的距离为.
故选：C.
4．(2023·天津三中三模）在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则
，所以，
设，则，所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
所以点到平面的距离为，
所以
故选：C
5．(2023·河南郑州·二模（理））已知向量 ，且 ，则实数 ________________．
答案：
【解析】，则，解得
故答案为：
6．(2023·上海长宁·二模）已知，若，则_________．
答案：2
【解析】因为，故，即，故，故
故答案为：2
1．(2023·江苏·金陵中学二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A．B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则D．若，则为锐角三角形
答案：C
【解析】如图（1）所示：
对于A中，正方体中，连接，
因为平面，且平面，所以，
又由且，所以平面，
因为，所以平面，所以，所以A正确；
对于B中，正方体中，连接，
可得，且，所以平面，
若平面，可得点在平面中，可得，
又由，所以，所以B正确；
对于C中，设正方体的棱长为，
当为的中点时，即时，可得，，
由余弦定理可得，可得，
所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；
对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，
则，
可得，
,
由，
令，解得或（舍去），
又由，所以，
即当时，，即为锐角，
又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：C.
2．（2023·江西九江·三模（文））如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
答案：C
【解析】如下图所示：
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、，设点，其中.
对于①，不是定值，①错误；
对于②， 在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，
所以，三棱锥的体积为定值，②正确；
对于③，，，所以，，
因此，对任意点，都有，③正确；
对于④，，，，
，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．
故选：C．
3．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
答案：②③
【解析】由题意得．则，易得，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，得，得，
又，则，故②正确；
与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，
易知当点P与M重合时，最小，
此时，当点Р与重合时，最大，
此时，此时，
故存在点P，使得与平面所成的角为，③正确；
如图建立空间直角坐标系，，设．
则有，
故不存在点P，使得与垂直，④错误．
故答案为：②③
4．(2023·河南洛阳·模拟（文））在正方体中，N为底面ABCD的中点，P为棱上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的序号是______．（填写所有正确结论的序号）
（1）CM与PN是异面直线
（2）
（3）过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
（4）平面平面
答案：（2），（4）
【解析】对于（1），连接，因为由点在上，在平面内，所以点在平面内，所以在平面内，因为在上，在平面内，所以点在平面内，所以在内，所以CM与PN不是异面直线，所以（1）错误，
对于（2），以为原点，以所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，所以（2）正确，
对于（3），当为的中点时，取的中点，连接，则∥， ，所以四边形为等腰梯形，所以（3）错误，
对于（4），因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，即平面平面，所以（4）正确，
故答案为：（2），（4）
5．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
答案：
【解析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）
则，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为t >0
所以实数t的取值范围是，
故答案为：
6．（2023·四川达州·一模（理））两个非零向量，，定义．若，，则___________．
答案：
【解析】因为，，
所以，
故，
所以，
故答案为：
7．（2023·浙江省杭州第二中学模拟）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.
答案：
【解析】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC
以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：
因，则有，设，，则的中点，
连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，
而,，，则，即，
因，即，则，即，
所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，
而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，
所以
故答案为：
1．（多选题）(2023·辽宁·东北育才双语学校模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．动点的轨迹长为D．与所成角的余弦值为
答案：BC
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，，，，，
所以，，，
由平面，
得，即，化简可得，
所以动点在直线上，
A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误；
B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确；
C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确；
D选项：，，D选项错误；
故选：BC.
2．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
答案：BCD
【解析】正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，
对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，
当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，
令，截面是等腰梯形，则，，
等腰梯形的高，
截面面积，
令，显然在上递增，，则，
所以截面面积，最大值为，C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，
三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，
三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，
由得：，即，有，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故选：BCD
3．（多选题）(2023·湖南邵阳·一模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
答案：AC
【解析】A. 当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
B. 建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，则 ，
设与所成的角为，则 ，
因为，
当时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，所以与所成角的取值范围是，故B错误；
C.因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是，
在平面内，点的轨迹是，
在平面时，如图所示：
，
作平面，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹长度为，
所以点的轨迹总长度为长度为，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，
则 ， ，
设平面的一个法向量为，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为平面，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
4．(2023·湖南师大附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.
答案：
【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，
为等边三角形，，，，
，，，
设，由得：，
整理可得：，
动点的轨迹是以为球心，为半径的球；
延长到点，使得，，，
则，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面为平面，
则点到平面的距离即为点到直线的距离，
，，，即，
点到直线的距离，
截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，
即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.
故答案为：.
5．(2023·广西师范大学附属外国语学校模拟）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
答案：2.
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2