2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一(下)期末数学试卷(含答案)
展开1.复数z=1+i(i是虚数单位)的共轭复数z−在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知l是平面α的一条斜线,直线m⫋α,则( )
A. 存在唯一的一条直线m,使得l⊥mB. 存在无限多条直线m,使得l⊥m
C. 存在唯一的一条直线m,使得l//mD. 存在无限多条直线m,使得l//m
3.折纸发源于中国.19世纪,折纸传入欧洲,与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具,并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图2,则下列结论成立的个数为( )
①EH//FC
②AH⋅BE=0
③EG=EH+EF
④EC⋅EH=EC⋅ED
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题:本题共1小题,共3分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
4.在空间,已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B,过直线l作平面α,使得点A、B到平面α的距离之比为1:2,则这样的平面α不可能有( )
A. 无数个B. 1个C. 2个D. 3个
三、填空题:本题共12小题,每小题3分,共36分。
5.对于复数z=1+2i(i是虚数单位),Imz= ______.
6.二面角的取值范围是______.(用区间表示)
7.化简:AB+BC−AD= ______.
8.已知α∈(π2,π),sinα=45,则tanα= ______.
9.已知向量 a=(3,1),b=(t,2),若a//b,则实数t= .
10.若−2+i(i为虚数单位)为方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则n= ______.
11.如图△O′B′C′是水平放置的△OAB的直观图,其中O′A′=3,O′B′=2,∠A′O′B′=45°,则△OAB的周长为______.
12.在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1的12条棱所在直线中,与直线AB异面的直线有______条.
13.若平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB=13OA+23OC,则|AB||BC|= ______.
14.在△ABC中,已知a、b、c分别为角A、B、C的对边,且∠A=60°,若S△ABC=3 32,且2sinB=3sinC,则边a的长等于______.
15.点P是△ABC所在平面外一点,PC=6,底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,且BC=6,AC=8,点P到△ABC三边的距离相等,且点P在平面ABC上的射影落在△ABC内,则直线CP与平面ABC所成角的大小为______.
16.在平面内,若有|a|=2,|b|=a⋅b=4,(c−a)⋅(2c−a−b)=0,则c⋅b的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共52分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知长方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N分别是BB1和BC的中点.
(1)画出直线MN与平面A1B1C1D1的公共点K.(保留辅助线,无需说明理由)(2)若AB=2,AD=1,B1B= 15,求异面直线B1D与MN所成角的大小.
18.(本小题8分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),点B(−35,45)在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).
(1)若四边形OADB是平行四边形,求点D的坐标;
(2)若点A,B,P三点共线,且AB=2AP,求OP⋅AB的值.
19.(本小题10分)
已知向量a−=(sinx,1),b−=(1,sin(π3−x)),f(x)=a−⋅b−.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期;
(2)若当x∈[0,π4]时,关于x的不等式2f(x)−1≤m有解,求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中,四边形ABCD为矩形,点P为四边形ABCD所在平面外一点,且PD⊥平面ABCD,PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.
(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(2)若PD=CD=2 2,BC=2,点F在BD上运动,试求△EFC面积的最小值.
21.(本小题14分)
通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一个向量,记a=(z1,z2),则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于a=(z1,z2),b=(z3,z4),z1、z2、z3、z4、λ∈C,我们有如下运算法则:
①a±b=(z1±z3,z2±z4);
②λa=(λz1,λz2);
③a⋅b=z1z3−+z2z4−
④|a|= a⋅a.
(1)设a=(i,1+i),b=(2,2−i),求a+b和a⋅b.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①a⋅b=b⋅a
②a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c;
(3)(λa)⋅b=a⋅(λb).
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若a=(2i,1),集合Ω={p|p=(x,y),y=2x+1,x,y∈C},b∈Ω.对于任意的c∈Ω,求出满足条件(a−b)⋅(b−c)=0的b,并将此时的b记为b0,证明对任意的b∈Ω,不等式|a−b|≥|a−b0|恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.BD
5.2
6.[0,π]
7.DC
8.−43
9.6
10.5
11.12
12.4
13.2
14. 7
15.arccs 23
16.2 3+72
17.解:(1)图形如下,
(2)连接B1C,
则B1C//MN,
又DC⊥平面BCC1B1,
所以DC⊥B1C
所以∠DB1C是异面直线B1D与MN所成角.
又B1B= 15,
在△B1DC中,B1D=2 5,B1C=4,DC=2,cs∠DB1C=20+16−42×2 5×4=2 55,
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arccs2 55.
18.解:(1)如图:
设D点坐标为(a,b),因为四边形OADB是平行四边形,所以BD=OA,
所以(a+35,b−45)=(1,0)⇒a=25b=45,
所以D点坐标为(25,45);
(2)因为点A,B,P三点共线,且AB=2AP,
所以AB=2AP或AB=−2AP,
①当AB=2AP时,OP=12AB+OA=(−45,25)+(1,0)=(15,25),
则OP⋅AB=(15,25)⋅(−85,45)=0,
②当AB=−2AP时,OP=−12AB+OA=(95,−25),
即OP⋅AB=(95,−25)⋅(−85,45)=−165,
综上,OP⋅AB的值为0或−165.
19.解:(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+ 32csx=sin(x+π3),
所以函数f(x)的最小正周期T=2π;
因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,
所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k∈Z;
(2)不等式2f(x)−1≤m有解,即m+12≥f(x)min;
因为x∈[0,π4],所以π3≤x+π3≤7π12,又sin7π12=sin5π12>sinπ3,
故当x+π3=π3,即x=0时,f(x)取得最小值,且最小值为f(0)= 32,
所以m≥ 3−1.
20.(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,PD=CD,点E是PC的中点,
可得DE⊥PC,而BC⊂平面ABCD,
所以PD⊥BC,
又因为BC⊥CD,PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,
所以BC⊥DE,
又因为BC∩PC=C,
所以DE⊥平面PBC;
(2)解:因为PD=CD=2 2,BC=2,点F在BD上运动,
可得CE=12PC=12 PD2+CD2=2,为定值,且DE⊥CE,
当FE⊥CE时,则EF最小,此时△EFC的面积最小,
即F与D重合时,EF⊥CE,此时EF=DE=12PC=2,
即△EFC的面积的最小值为12×DE×CE=12×2×2=2.
△EFC面积的最小值为2.
21.解:(1)因为a=(i,1+i),b=(2,2−i),
所以a+b=(2+i,3),
a⋅b=2i+(1+i)(2+i)=1+5i.
(2)设a=(z1,z2),b=(z3,z4),c=(z5,z6),z1,z2,z3,z4,z5,z6,λ∈C,
则a⋅b=z1z3−+z2z4−,b⋅a=z3z1−+z2z4−,故①不成立,
b+c=(z3+z5,z4+z6),a⋅b=z1z3−+z2z4−,a⋅c=z1z5−+z2z6−,
a⋅(b+c)=z1z3+z5−+z2z4+z6−,
因为z3+z5−=z3−+z5−,z4+z6−=z4−+z6−,
所以a⋅(b+c)=z1(z3−+z5−)+z2(z4−+z6−)=z1z3−+z1z5−+z2z4−+z2z6−=z1z3−+z2z4−+z1z5−+z2z6−=a⋅b+a⋅c,故②正确;
λa=(λz1,λz2),λb=(λz3,λz4),
(λa)⋅b=λz1z3−+λz2z4−,a⋅(λb)=z1λz3−+z2λz4−,
设λ=a+bi,z3=c+di,a,b,c,d∈R,
则λz3=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,λz3−=(ac−bd)−(ad+bc)i,
λz3−=(a+bi)(c−di)=(ac+bd)−(ad−bc)i,
所以λz3−≠λz3−,故(λa)⋅b≠a⋅(λb),即③错误;
(3)设满足条件的b=(z1,2z1+1),c=(z2,2z2+1),z1,z2∈C,
则a−b=(2i−z1,−2z1),b−c=(z1−z2,2z1−2z2),
因为z1−z2为任意的复数,不妨设z3=z2−z1且z3∈C,
由定义可得(2i−z1)z3−+(−2z1)×2z3−=0,即(5z1−2i)z3−=0,则5z1−2i=0,
所以z1=25i,则b0=(25i,45i+1),
以下证明对任意的b∈Ω,不等式|a−b|≥|a−b0|恒成立,只需计算|a−b|的最小值,
不妨令b=(m+ni,2m+1+2ni),则a−b=(−m−(n−2)i,−2m−2ni),
则|a−b|= [−m−(n−2)i][−m+(n−2)i]+(−2m−2ni)(−2m+2ni)= m2+(n−2)2+(2m)2+4n2= 5m2+5n2−4n+4,
当m=0,n=25时取得最小值,此时b=(25i,45i+1)与之前得到的b0相同,结论得证;
推广结论:对于任意复向量a∉Ω,b∈Ω,若对于任意的c∈Ω,
当且仅当(a−b)(b−c)=0时,|a−b|取到最小值.
2023-2024学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(含答案): 这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(含答案),共5页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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