2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=1+i(i是虚数单位)的共轭复数z−在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知l是平面α的一条斜线，直线m⫋α，则( )
A. 存在唯一的一条直线m，使得l⊥mB. 存在无限多条直线m，使得l⊥m
C. 存在唯一的一条直线m，使得l/​/mD. 存在无限多条直线m，使得l/​/m
3.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为( )

①EH//FC
②AH⋅BE=0
③EG=EH+EF
④EC⋅EH=EC⋅ED
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l作平面α，使得点A、B到平面α的距离之比为1：2，则这样的平面α不可能有( )
A. 无数个B. 1个C. 2个D. 3个
三、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.对于复数z=1+2i(i是虚数单位)，Imz= ______．
6.二面角的取值范围是______.(用区间表示)
7.化简：AB+BC−AD= ______．
8.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则tanα= ______．
9.已知向量 a=(3,1)，b=(t,2)，若a/​/b，则实数t= ．
10.若−2+i(i为虚数单位)为方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n= ______．
11.如图△O′B′C′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′=3，O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的周长为______．
12.在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1的12条棱所在直线中，与直线AB异面的直线有______条．
13.若平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB=13OA+23OC，则|AB||BC|= ______．
14.在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，且∠A=60°，若S△ABC=3 32，且2sinB=3sinC，则边a的长等于______．
15.点P是△ABC所在平面外一点，PC=6，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且BC=6，AC=8，点P到△ABC三边的距离相等，且点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，则直线CP与平面ABC所成角的大小为______．
16.在平面内，若有|a|=2，|b|=a⋅b=4，(c−a)⋅(2c−a−b)=0，则c⋅b的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是BB1和BC的中点．
(1)画出直线MN与平面A1B1C1D1的公共点K.(保留辅助线，无需说明理由)(2)若AB=2，AD=1，B1B= 15，求异面直线B1D与MN所成角的大小．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)．
(1)若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；
(2)若点A，B，P三点共线，且AB=2AP，求OP⋅AB的值．
19.(本小题10分)
已知向量a−=(sinx,1)，b−=(1,sin(π3−x))，f(x)=a−⋅b−．
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当x∈[0,π4]时，关于x的不等式2f(x)−1≤m有解，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为矩形，点P为四边形ABCD所在平面外一点，且PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；
(2)若PD=CD=2 2，BC=2，点F在BD上运动，试求△EFC面积的最小值．
21.(本小题14分)
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一个向量，记a=(z1,z2)，则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=(z1,z2)，b=(z3,z4)，z1、z2、z3、z4、λ∈C，我们有如下运算法则：
①a±b=(z1±z3,z2±z4)；
②λa=(λz1,λz2)；
③a⋅b=z1z3−+z2z4−
④|a|= a⋅a．
(1)设a=(i,1+i)，b=(2,2−i)，求a+b和a⋅b．
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①a⋅b=b⋅a
②a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c；
(3)(λa)⋅b=a⋅(λb)．
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明．
(3)若a=(2i,1)，集合Ω={p|p=(x,y),y=2x+1,x,y∈C}，b∈Ω.对于任意的c∈Ω，求出满足条件(a−b)⋅(b−c)=0的b，并将此时的b记为b0，证明对任意的b∈Ω，不等式|a−b|≥|a−b0|恒成立．
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题(不需要证明)．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.BD
5.2
6.[0,π]
7.DC
8.−43
9.6
10.5
11.12
12.4
13.2
14. 7
15.arccs 23
16.2 3+72
17.解：(1)图形如下，

(2)连接B1C，

则B1C//MN，
又DC⊥平面BCC1B1，
所以DC⊥B1C
所以∠DB1C是异面直线B1D与MN所成角．
又B1B= 15，
在△B1DC中，B1D=2 5,B1C=4,DC=2，cs∠DB1C=20+16−42×2 5×4=2 55，
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arccs2 55．
18.解：(1)如图：

设D点坐标为(a,b)，因为四边形OADB是平行四边形，所以BD=OA，
所以(a+35,b−45)=(1,0)⇒a=25b=45，
所以D点坐标为(25,45)；
(2)因为点A，B，P三点共线，且AB=2AP，
所以AB=2AP或AB=−2AP，
①当AB=2AP时，OP=12AB+OA=(−45,25)+(1,0)=(15,25)，
则OP⋅AB=(15,25)⋅(−85,45)=0，
②当AB=−2AP时，OP=−12AB+OA=(95,−25)，
即OP⋅AB=(95,−25)⋅(−85,45)=−165，
综上，OP⋅AB的值为0或−165．
19.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+ 32csx=sin(x+π3)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π；
因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，
所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z；
(2)不等式2f(x)−1≤m有解，即m+12≥f(x)min；
因为x∈[0,π4]，所以π3≤x+π3≤7π12，又sin7π12=sin5π12>sinπ3，
故当x+π3=π3，即x=0时，f(x)取得最小值，且最小值为f(0)= 32，
所以m≥ 3−1．
20.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，
可得DE⊥PC，而BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC，
又因为BC⊥CD，PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
所以BC⊥DE，
又因为BC∩PC=C，
所以DE⊥平面PBC；
(2)解：因为PD=CD=2 2，BC=2，点F在BD上运动，
可得CE=12PC=12 PD2+CD2=2，为定值，且DE⊥CE，
当FE⊥CE时，则EF最小，此时△EFC的面积最小，
即F与D重合时，EF⊥CE，此时EF=DE=12PC=2，
即△EFC的面积的最小值为12×DE×CE=12×2×2=2．
△EFC面积的最小值为2．
21.解：(1)因为a=(i,1+i)，b=(2,2−i)，
所以a+b=(2+i,3)，
a⋅b=2i+(1+i)(2+i)=1+5i．
(2)设a=(z1,z2),b=(z3,z4),c=(z5,z6)，z1，z2，z3，z4，z5，z6，λ∈C，
则a⋅b=z1z3−+z2z4−，b⋅a=z3z1−+z2z4−，故①不成立，
b+c=(z3+z5,z4+z6)，a⋅b=z1z3−+z2z4−，a⋅c=z1z5−+z2z6−，
a⋅(b+c)=z1z3+z5−+z2z4+z6−，
因为z3+z5−=z3−+z5−，z4+z6−=z4−+z6−，
所以a⋅(b+c)=z1(z3−+z5−)+z2(z4−+z6−)=z1z3−+z1z5−+z2z4−+z2z6−=z1z3−+z2z4−+z1z5−+z2z6−=a⋅b+a⋅c，故②正确；
λa=(λz1,λz2),λb=(λz3,λz4)，
(λa)⋅b=λz1z3−+λz2z4−，a⋅(λb)=z1λz3−+z2λz4−，
设λ=a+bi，z3=c+di，a，b，c，d∈R，
则λz3=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，λz3−=(ac−bd)−(ad+bc)i，
λz3−=(a+bi)(c−di)=(ac+bd)−(ad−bc)i，
所以λz3−≠λz3−，故(λa)⋅b≠a⋅(λb)，即③错误；
(3)设满足条件的b=(z1,2z1+1),c=(z2,2z2+1)，z1，z2∈C，
则a−b=(2i−z1,−2z1),b−c=(z1−z2,2z1−2z2)，
因为z1−z2为任意的复数，不妨设z3=z2−z1且z3∈C，
由定义可得(2i−z1)z3−+(−2z1)×2z3−=0，即(5z1−2i)z3−=0，则5z1−2i=0，
所以z1=25i，则b0=(25i,45i+1)，
以下证明对任意的b∈Ω，不等式|a−b|≥|a−b0|恒成立，只需计算|a−b|的最小值，
不妨令b=(m+ni,2m+1+2ni)，则a−b=(−m−(n−2)i,−2m−2ni)，
则|a−b|= [−m−(n−2)i][−m+(n−2)i]+(−2m−2ni)(−2m+2ni)= m2+(n−2)2+(2m)2+4n2= 5m2+5n2−4n+4，
当m=0，n=25时取得最小值，此时b=(25i,45i+1)与之前得到的b0相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量a∉Ω，b∈Ω，若对于任意的c∈Ω，
当且仅当(a−b)(b−c)=0时，|a−b|取到最小值．